Exercice écrit
Exercice 45 – Des cadres carrés concentriques
Exercice
À l'étape \(0\), on a un seul carré unité. À chaque étape \(n\ge1\), on ajoute autour de la figure un cadre d'épaisseur \(1\); la figure devient alors un carré de côté \(2n+1\). On note \(a_n\) le nombre total de carrés unité.
a) Calculer \(a_0,a_1,a_2,a_3\).
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Se connecterc) En déduire une relation de récurrence entre \(a_n\) et \(a_{n-1}\).
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À l'étape \(0\), on a un seul carré unité. À chaque étape \(n\ge1\), on ajoute autour de la figure un cadre d'épaisseur \(1\); la figure devient alors un carré de côté \(2n+1\). On note \(a_n\) le nombre total de carrés unité.
a) Calculer \(a_0,a_1,a_2,a_3\).
b) Montrer que le nouveau cadre ajouté à l'étape \(n\) contient \(8n\) carrés.
c) En déduire une relation de récurrence entre \(a_n\) et \(a_{n-1}\).
d) Retrouver \(a_n=(2n+1)^2\) en utilisant \(1+2+\cdots+n\).
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