Exercice 13 - Coniques

Dans un plan muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j)\), on considère la courbe \(\mathcal H\) d’équation \[y^2-x^2=9.\]

1. Tracer \(\mathcal H\) à la calculatrice en prenant \([-6;6]\) pour \(x\) et \([-7;7]\) pour \(y\). Que peut-on conjecturer en \(-\infty\) et en \(+\infty\) ?

2. Soit \(f:x\mapsto\sqrt{x^2+9}\) définie sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(\mathcal H\) est l’union de \(\mathcal C_0\), la courbe représentative de \(f\), et de \(\mathcal C_1\), celle de \(-f\).

3. Dresser le tableau de variations de \(f\). Préciser ses limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).

4. Soit \(d\) la droite d’équation \(y=x\). Déterminer \[\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}(-f(x)-x).\] Qu’en déduit-on sur \(\mathcal C_0\) et \(d\) ? puis sur \(\mathcal C_1\) et \(d\) ?

5. Déterminer l’équation de la deuxième asymptote, en justifiant.

\(\mathcal H\) est une hyperbole ; elle fait partie des coniques, obtenues par intersection entre un cône et un plan de l’espace.