E3C G1SSMAT02622 — 4 (5 points)

Exercice 4 (5 points) D’après l’ADEME, chaque français a produit une masse moyenne de \(365\,\text{kg}\) de déchets ménagers en \(2018\). Un maire, étant informé que la masse moyenne de déchets ménagers dans sa commune en \(2018\) était de \(400\,\text{kg}\) par habitant, décide d’une campagne annuelle de sensibilisation au recyclage qui conduit à une réduction de cette production de \(1{,}5\,\%\) par an, et cela dès l’année \(2019\). On modélise alors la masse moyenne de déchets ménagers par habitant calculée en fin d’année dans cette commune par une suite \((u_n)\) où, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) correspond à la masse moyenne de déchets ménagers par habitant, en kg, pour l’année \(2018+n\). Ainsi, \(u_0=400\).

1. Prouver que \(u_1=394\). Interpréter ce résultat.

2. 1. Déterminer la nature de la suite \((u_n)\). Préciser sa raison et son premier terme.

   2. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

3. 1. D’après le tableau de valeurs suivant, en quelle année la masse moyenne de déchets ménagers par habitant deviendra-t-elle inférieure à \(365\,\text{kg}\) ? \[\begin{array}{c|ccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline u_n & 400 & 394 & 388{,}09 & 382{,}27 & 376{,}53 & 370{,}89 & 365{,}32 & 359{,}84 & 354{,}45 \end{array}\]

   2. Écrire une fonction Python qui retourne l’année à laquelle la masse moyenne de déchets ménagers par habitant de la commune devient inférieure à \(365\,\text{kg}\).