SUITES NUMÉRIQUES

Première — Spécialité mathématiques

Comprendre une évolution, calculer, démontrer et modéliser

Une suite permet d’étudier une quantité à des étapes numérotées : le nombre d’équipements installés chaque semaine, une longueur après chaque construction, une quantité restante après plusieurs transformations. L’enjeu n’est pas seulement de calculer quelques nombres : il est de comprendre la règle qui les relie, de savoir ce qu’elle permet de prévoir et de justifier les conclusions.

À la fin du chapitre, tu dois notamment savoir : définir une suite et interpréter ses indices ; calculer des termes ; passer entre un énoncé, une formule, un tableau, un graphique et un algorithme ; étudier des variations ; reconnaître et utiliser les suites arithmétiques et géométriques ; calculer des sommes ; construire un modèle ; chercher un seuil ; distinguer une observation d’une démonstration.

Organisation des démonstrations. Les résultats centraux sur les termes généraux et les sommes sont démontrés. Les rappels de calcul sont identifiés comme tels. La dernière partie consacrée aux limites reste intuitive. Les approfondissements sont séparés du parcours principal.

Les outils de départ, avec leurs explications

Les suites utilisent surtout des outils déjà rencontrés : calcul littéral, puissances, fractions, inégalités et pourcentages. Les rappels suivants servent directement les calculs du chapitre.

Remplacer une lettre sans perdre les parenthèses

Pour remplacer \(x\) par une expression, le principe reste identique. Ainsi, remplacer \(x\) par \(n+1\) signifie conserver \(n+1\) comme un bloc.

Soustraire des fractions

Pour \(n\geq0\), les nombres \(n+1\) et \(n+2\) sont strictement positifs. On peut donc écrire : \[\frac1{n+1} =\frac{1\times(n+2)}{(n+1)(n+2)}, \qquad \frac1{n+2} =\frac{1\times(n+1)}{(n+2)(n+1)}.\] Les deux fractions ont maintenant le même dénominateur : \[\begin{aligned} \frac1{n+1}-\frac1{n+2} &=\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{n+2-n-1}{(n+1)(n+2)}\\ &=\frac1{(n+1)(n+2)}. \end{aligned}\] Le signe moins agit sur toute la seconde parenthèse.

Puissances et exposants

Pour une base \(a\neq0\), les règles utiles sont : \[a^p a^q=a^{p+q}, \qquad \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}, \qquad (a^p)^q=a^{pq}.\] Pour un entier positif \(m\), \(a^{-m}=1/a^m\). Dans ce cours, on n’utilise pas \(0^0\).

Un pourcentage agit par multiplication

Augmenter une quantité \(V\) de \(t\,\%\), c’est ajouter \(\frac{t}{100}V\) : \[V+\frac{t}{100}V =\left(1+\frac{t}{100}\right)V.\] Diminuer \(V\) de \(t\,\%\), c’est la multiplier par \(1-\frac{t}{100}\).

Pour reprendre après une erreur.  Si le premier calcul bloque, reviens aux quatre produits du carré. Si le dernier bloque, distingue la solution réelle \(n>11\) du premier entier autorisé, \(12\).

À reprendre plus tard, avant de relire.  Refais ces questions en remplaçant respectivement \(2\) par \(3\), \(-3\) par \(-4\), \(12\,\%\) par \(7\,\%\), puis l’inégalité par \(4n+3\geq27\). Les réponses sont \(6n+9\), \(16\) et \(-16\), \(0{,}93\), puis \(n\geq6\). Pour justifier la première, écris \((n+3)^2=n^2+3n+3n+9\). Pour la dernière, \(4n\geq24\), donc \(n\geq6\), avec la borne incluse.

Une suite : un nombre pour chaque rang

Pourquoi numéroter les étapes ?

Dans un projet fictif de mobilité, une commune dispose de \(24\) places de stationnement pour vélos au départ. Elle en ajoute \(6\) chaque semaine. Les nombres obtenus sont \[24,\quad30,\quad36,\quad42,\quad48,\quad\ldots\] On souhaite distinguer la semaine observée et le nombre de places à cette semaine.

Vocabulaire et notations. \(n\) est le rang, ou l’indice. \(u_n\) est le terme de rang \(n\). La suite entière se note \(u\), \((u_n)\) ou \((u_n)_{n\geq n_0}\).

Le nombre \(u_n\) et la suite \((u_n)\) ne sont pas le même objet : le premier est une valeur ; la seconde est l’association de tous les rangs à leurs valeurs.

Démonstration.  Le premier terme correspond à \(n_0\). Pour atteindre le \(k\)-ième terme, on effectue \(k-1\) déplacements d’indice. L’indice obtenu est donc \(n_0+k-1\).

\(\square\)

Une suite n’est pas nécessairement une devinette

Connaître quelques termes ne détermine généralement pas toute la suite.

Les formules \[u_n=n+2,\qquad v_n=n+2+n(n-1)(n-2)\] donnent toutes les deux \(2,3,4\) aux rangs \(0,1,2\). Le facteur \(n(n-1)(n-2)\) est nul à chacun de ces rangs.

Pourtant, \[u_3=5,\qquad v_3=5+3\times2\times1=11.\] Observer trois valeurs peut suggérer une règle, mais ne prouve pas qu’elle est la seule règle possible.

À reprendre plus tard, avant de relire.  Une autre suite commence au rang \(2\). Son cinquième terme est \(u_{2+5-1}=u_6\). Justifie cette réponse en écrivant \(u_2,u_3,u_4,u_5,u_6\), pas seulement en citant une formule.

Définir une suite par une formule explicite

Lire \(u_{n+1}\), \(u_n+1\), \(u_{2n}\) et \(2u_n\)

Prenons maintenant \[u_n=2n^2+n-1.\]

Le domaine ne disparaît pas

Pour \(u_n=\sqrt{n-2}\), le nombre sous la racine doit être positif ou nul. La suite peut être définie pour tous les entiers \(n\geq2\).

Pour \(v_n=1/(n-4)\), le rang \(4\) est interdit. Une définition sur tous les entiers \(n\geq5\) est possible. Une définition sur tout \(\mathbb{N}\), avec cette même formule, ne l’est pas.

Pour reprendre après une erreur.  Si tu as écrit \(a_{n+1}=3n^2-2n+2\), tu as ajouté \(1\) à la valeur. Reprends avec la formule simple \(b_n=5n\) : \(b_{n+1}=5(n+1)=5n+5\), tandis que \(b_n+1=5n+1\). Reviens ensuite à la substitution de \(n+1\) dans chaque occurrence de \(n\).

À reprendre plus tard, avant de relire.  Pour \(c_n=n^2+3n\), retrouve \[c_{n+1}=(n+1)^2+3(n+1)=n^2+5n+4.\] La justification attendue fait apparaître les deux remplacements.

Définir une suite de proche en proche

Pourquoi faut-il un terme initial ?

La même transformation peut produire plusieurs suites. Avec \(u_{n+1}=\frac12u_n+3\) : \[\begin{array}{c|cccc} \text{Départ} &u_0&u_1&u_2&u_3\\ \hline 4&4&5&5{,}5&5{,}75\\ 10&10&8&7&6{,}5\\ 6&6&6&6&6 \end{array}\] La règle seule ne choisit pas entre ces évolutions.

Démonstration.  Leurs termes initiaux sont égaux. La règle appliquée à ce même nombre donne le même terme suivant. En répétant ce calcul jusqu’à n’importe quel rang fixé, on obtient les mêmes termes à chaque étape. Il n’existe donc pas de premier rang où les deux constructions pourraient donner des valeurs différentes.

\(\square\)

Remarque.  Une définition par récurrence est une manière de construire une suite. Ce n’est pas, à elle seule, une démonstration par récurrence. Dans ce cours de Première, nous démontrons les formules centrales par des calculs et des sommes finies.

La règle peut aussi dépendre du rang

Par exemple, \[w_0=2,\qquad w_{n+1}=w_n+n+1.\] On obtient : \[w_1=2+0+1=3,\qquad w_2=3+1+1=5,\qquad w_3=5+2+1=8.\] Cette relation reste une relation de récurrence. Elle utilise à la fois le terme \(w_n\) et le rang \(n\).

Une relation peut également utiliser deux termes précédents ; il faut alors fournir suffisamment de termes initiaux.

Une règle écrite n’est pas toujours applicable indéfiniment

À reprendre plus tard, avant de relire.  Pour \(c_0=-1\) et \(c_{n+1}=3c_n+2\), on obtient \(c_1=3(-1)+2=-1\), puis \(c_2=-1\). Explique pourquoi la même valeur se reproduit : la transformation \(x\mapsto3x+2\) renvoie \(-1\) sur \(-1\).

Construire une suite à partir d’un motif

Lecture de la figure. Le carré central contient \(4^2=16\) carreaux. Le carré extérieur en contient \(6^2=36\). Les \(20\) carreaux restants forment la bordure, conformément à \(b_4=4\times4+4=20\). La figure illustre un cas ; la soustraction des deux aires de carreaux justifie la formule pour chaque entier \(n\geq1\).

Comme \[b_{n+1}-b_n=[4(n+1)+4]-(4n+4)=4,\] on peut aussi décrire la même suite par \[b_1=8,\qquad b_{n+1}=b_n+4.\]

Représenter une suite et lire ses termes

Le nuage de points \((n;u_n)\)

Lecture. Le terme \(u_3\) est l’ordonnée \(7\) du point d’abscisse \(3\). La courbe en pointillés représente \(f(x)=x^2-2x+4\), pour des valeurs réelles de \(x\). Seuls ses points d’abscisse entière appartiennent à la représentation de la suite.

Lire une récurrence avec \(y=f(x)\) et \(y=x\)

Pour \(v_{n+1}=f(v_n)\), l’entrée de \(f\) est \(v_n\), et non \(n\). On utilise :

1. la courbe de \(f\), pour obtenir l’image ;

2. la droite \(y=x\), pour reporter cette valeur comme nouvelle abscisse.

Attention : ce dessin construit les valeurs de la suite sur les axes. Les points \((v_n;v_{n+1})\) ne sont pas les points \((n;v_n)\) du nuage habituel.

Étudier le sens de variation

Définitions et portée

Une suite constante est à la fois croissante et décroissante au sens large. Une suite peut aussi devenir monotone seulement à partir d’un certain rang.

Méthode de la différence

Démonstration.  On passe d’une inégalité à l’autre en soustrayant ou en ajoutant \(u_n\) aux deux membres. Ces opérations conservent le sens. Le même raisonnement vaut pour les inégalités strictes ou inverses.

\(\square\)

Bon réflexe.  Une seconde écriture peut éclairer le sens : \[\frac{3n+2}{n+1} =\frac{3(n+1)-1}{n+1} =3-\frac1{n+1}.\] Quand \(n\) augmente, \(1/(n+1)\) diminue ; son opposé augmente. Ce contrôle complète le calcul précédent.

Méthode du quotient : une condition importante

Démonstration.  On divise les deux membres par le nombre strictement positif \(u_n\). Une division par un nombre positif conserve le sens de l’inégalité.

\(\square\)

Utiliser une fonction associée

Démonstration.  Pour tout indice autorisé, \(n<n+1\). Si \(f\) est croissante, alors \(f(n)\leq f(n+1)\). Comme \(u_n=f(n)\) et \(u_{n+1}=f(n+1)\), on obtient \(u_n\leq u_{n+1}\).

\(\square\)

Remarque.  La réciproque de la proposition sur \(u_n=f(n)\) est également fausse en général. Une fonction peut diminuer entre deux indices entiers, alors que ses valeurs aux seuls entiers augmentent. Il faut distinguer la courbe entière et le nuage de la suite.

À reprendre plus tard, avant de relire.  Pour \(d_n=n^2-3n\), retrouve \(d_{n+1}-d_n=2n-2\). La différence est négative pour \(n=0\), nulle pour \(n=1\), positive pour \(n\geq2\). Explique quelles paires de termes correspondent à ces indices.

Les suites arithmétiques : ajouter toujours la même quantité

Le mot raison désigne ici un paramètre mathématique. Il peut être positif, négatif ou nul.

Démonstration.  Soustraire \(u_n\) à \(u_{n+1}=u_n+r\) donne la différence \(r\). Inversement, ajouter \(u_n\) à la différence \(u_{n+1}-u_n=r\) donne la relation de définition.

\(\square\)

Le terme général et sa démonstration

Démonstration.  Supposons d’abord \(n>p\). Écrivons les \(n-p\) différences : \[u_{p+1}-u_p=r,\quad u_{p+2}-u_{p+1}=r,\quad\ldots,\quad u_n-u_{n-1}=r.\] En les additionnant, les termes intermédiaires s’annulent : \[u_n-u_p=(n-p)r.\] D’où \(u_n=u_p+(n-p)r\).

Si \(n=p\), la formule devient \(u_p=u_p\).

Si \(n<p\), on applique le cas précédent de \(n\) à \(p\) : \(u_p-u_n=(p-n)r\). On isole \(u_n\) et on obtient encore \(u_n=u_p+(n-p)r\).

\(\square\)

Démonstration.  Le théorème donne \(u_n=u_p+(n-p)r=rn+(u_p-pr)\), une expression affine en \(n\). Réciproquement, \[u_{n+1}-u_n=a(n+1)+b-(an+b)=a.\] La différence constante caractérise une suite arithmétique.

\(\square\)

Remarque.  Les points \((n;u_n)\) d’une suite arithmétique appartiennent donc à une même droite. Une apparence d’alignement sur quelques points permet une conjecture, pas une preuve portant sur tous les rangs.

Retrouver la raison à partir de deux termes

Variations

Démonstration.  Sa différence \(u_{n+1}-u_n\) est précisément \(r\). On applique le critère de variation par la différence.

\(\square\)

Démonstration.  On a \(u_{n-1}=u_n-r\) et \(u_{n+1}=u_n+r\). La somme vaut \(2u_n\), car \(-r+r=0\). On divise par \(2\).

\(\square\)

À reprendre plus tard, avant de relire.  Une suite arithmétique vérifie \(b_1=12\) et \(b_4=0\). Retrouve \[r=\frac{0-12}{4-1}=-4,\qquad b_n=12-4(n-1)=16-4n.\] Le terme \(b_0=16\) n’est utilisable que si le rang \(0\) appartient bien à l’ensemble de définition donné.

Les suites géométriques : multiplier toujours par le même nombre

Nous autorisons ici \(q=0\) dans la relation de définition. Ce cas sera traité séparément dès qu’une formule pourrait faire apparaître \(0^0\) ou une division par zéro.

Reconnaître la suite sans division interdite

Démonstration.  On divise la relation \(u_{n+1}=qu_n\) par \(u_n\neq0\). Réciproquement, on multiplie l’égalité du quotient par \(u_n\).

\(\square\)

Le terme général

Démonstration.  Si \(n>p\), on applique \(n-p\) fois la multiplication par \(q\) : \[u_{p+1}=qu_p,\quad u_{p+2}=q(qu_p)=q^2u_p,\quad\ldots,\quad u_n=q^{n-p}u_p.\] Pour un rang fixé, il s’agit d’un nombre fini de multiplications. Cette lecture reste valable lorsque \(u_p=0\), sans diviser par ce terme.

Si \(n=p\), \(q^0=1\), d’où l’égalité.

Si \(n<p\), on part de \(u_p=u_nq^{p-n}\). Comme \(q\neq0\), on divise par \(q^{p-n}\) : \[u_n=u_p\frac1{q^{p-n}}=u_pq^{n-p}.\]

\(\square\)

Démonstration.  Le premier calcul donne \(0\times u_{n_0}=0\). Chaque calcul suivant donne encore \(0\times0=0\).

\(\square\)

Remarque.  Si un terme d’une suite géométrique est nul, tous les suivants le sont. Si \(q\neq0\), on peut également remonter par division : tous les termes précédents définis sont alors nuls.

Si le terme initial est non nul, la raison est unique : \(q=u_{n_0+1}/u_{n_0}\). Pour la suite nulle, plusieurs raisons conviennent.

Deux termes ne donnent pas toujours une raison unique

Variations : raison et signe des termes

Démonstration.  Pour \(q>0\), toutes les puissances \(q^n\) sont positives. Les termes conservent donc le signe du terme initial. On étudie alors le produit \((q-1)u_n\) avec la règle des signes.

\(\square\)

Si le terme initial est nul, la suite est constante et nulle.

Si \(q<0\) et si le terme initial est non nul, les signes alternent. On trouve successivement un passage d’un positif à un négatif, puis un passage d’un négatif à un positif, ou l’inverse. La suite n’est donc ni croissante ni décroissante.

Pour \(q=0\), une suite de départ positif est décroissante au sens large, puis constante à partir du terme suivant. Avec un départ négatif, elle est croissante au sens large, puis constante.

Le lien avec un taux constant

Si une quantité est multipliée par \(q>0\) à chaque étape, son taux d’évolution entre deux étapes est \[\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n} =\frac{qu_n-u_n}{u_n}=q-1\] lorsque \(u_n\neq0\).

Une hausse de \(t\,\%\) correspond à \(q=1+t/100\). Une baisse de \(t\,\%\) correspond à \(q=1-t/100\).

À reprendre plus tard, avant de relire.  Pour \(c_1=-3\) et \(q=2\), le cinquième terme est \(c_5=-3\times2^4=-48\). La suite est strictement décroissante : \((q-1)c_n=c_n<0\).

Additionner des termes sans se tromper de nombre

Le nombre de termes et la notation sigma

Démonstration.  En soustrayant \(p\) à chaque indice, on obtient \(0,1,\ldots,n-p\). Cette liste contient \(n-p+1\) entiers : le terme de rang zéro compte lui aussi.

\(\square\)

Notation. \[\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n.\] La lettre \(k\) parcourt les indices. Les nombres \(p\) et \(n\) fixent les bornes. Changer le nom de \(k\) ne change pas la somme : \(\sum_{j=p}^{n}u_j\) désigne la même quantité.

Sommes arithmétiques

Démonstration.  Appelons \(S\) la somme et écrivons-la dans les deux sens : \[\begin{aligned} S&=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_{n-1}+u_n,\\ S&=u_n+u_{n-1}+\cdots+u_{p+1}+u_p. \end{aligned}\] Pour chaque entier \(j\) entre \(0\) et \(n-p\), \[u_{p+j}=u_p+jr,\qquad u_{n-j}=u_n-jr.\] La somme de deux termes superposés vaut donc \(u_p+u_n\). Il y a \(n-p+1\) colonnes : \[2S=(n-p+1)(u_p+u_n).\] On divise par \(2\). Ce raisonnement fonctionne aussi avec un nombre impair de termes : on additionne deux écritures complètes de la somme.

\(\square\)

Démonstration.  Les entiers \(1,2,\ldots,n\) forment une suite arithmétique de raison \(1\). Il y a \(n\) termes, de premier terme \(1\) et de dernier terme \(n\). Le théorème donne \(n(1+n)/2\).

\(\square\)

Sommes géométriques

Démonstration.  Pour \(n\geq1\), posons \[S=1+q+\cdots+q^n.\] Alors \[qS=q+q^2+\cdots+q^{n+1}.\] La soustraction annule les termes communs : \[S-qS=1-q^{n+1}.\] En factorisant, \[(1-q)S=1-q^{n+1}.\] Comme \(q\neq1\), \(1-q\neq0\), donc la division est autorisée. Pour \(n=0\), la formule se vérifie directement. Pour \(q=1\), on additionne \(n+1\) fois le nombre \(1\).

\(\square\)

Démonstration.  Pour \(q\neq0\), les termes s’écrivent \(u_p,u_pq,\ldots,u_pq^{N-1}\). On factorise \(u_p\), puis on applique le théorème précédent avec \(n=N-1\).

Pour \(q=0\), tous les termes après \(u_p\) sont nuls : la somme vaut \(u_p\), comme la formule. La formule ne divise pas par \(u_p\) ; elle reste donc valable si le premier terme est nul.

\(\square\)

À reprendre plus tard, avant de relire.  Calcule \(10+13+\cdots+40\). Il y a \((40-10)/3+1=11\) termes : \(S=11(10+40)/2=275\). Explique séparément pourquoi il y a dix passages mais onze termes.

Modéliser une situation et interpréter les résultats

Ajout fixe ou taux fixe ?

Remarque.  Une hausse de \(20\,\%\) ne correspond pas à l’ajout de \(20\) kg. L’ajout effectif est \(0{,}2b_n\), qui dépend de la quantité actuelle.

Pour cet exemple, le dépassement se conserve ensuite. En effet, \(b_n\) est croissante et \(b_2=34{,}56>30\). Pour \(n\geq2\), \[(b_{n+1}-a_{n+1})-(b_n-a_n)=0{,}2b_n-6>0.\] L’écart est donc croissant à partir de ce rang. Puisqu’il est positif au rang \(4\), il reste positif après.

Le terme d’une période n’est pas le total cumulé

Si \(a_n\) représente les kilogrammes collectés pendant la semaine \(n\), le total des semaines \(0\) à \(4\) est \[a_0+a_1+a_2+a_3+a_4,\] et non \(a_4\).

À l’inverse, si une suite représente déjà le nombre total d’équipements installés depuis le départ, additionner ses termes compterait plusieurs fois les anciens équipements.

L’ordre des opérations compte

Lien avec une évolution exponentielle continue

Une suite géométrique modélise des observations à des étapes entières. Lorsque la fonction exponentielle a été étudiée, on peut comparer ce modèle à \(F(t)=C\mathrm{e}^{kt}\). Pour des entiers \(n\), \[F(n+1)=C\mathrm{e}^{k(n+1)} =C\mathrm{e}^{kn}\mathrm{e}^k=\mathrm{e}^kF(n).\] Les valeurs prises aux entiers forment une suite géométrique de raison \(\mathrm{e}^k\).

Ce lien ne transforme pas automatiquement une règle discrète en description de ce qui se passe entre deux instants d’observation.

Étude guidée : faire apparaître une suite géométrique

Cette section montre comment une suite auxiliaire peut simplifier un problème. Il s’agit d’une démarche expliquée, pas d’une nouvelle formule générale à apprendre sans compréhension.

On reprend : \[u_0=80,\qquad u_{n+1}=\frac34u_n+8.\]

Chercher une valeur conservée par la transformation

Une valeur \(c\) serait conservée si \[c=\frac34c+8.\] On soustrait \(\frac34c\) : \[c-\frac34c=8,\qquad \frac14c=8.\] On multiplie les deux membres par \(4\) : \[c=32.\]

Définir la suite auxiliaire

Posons \(v_n=u_n-32\). Alors \[\begin{aligned} v_{n+1} &=u_{n+1}-32\\ &=\frac34u_n+8-32\\ &=\frac34u_n-24\\ &=\frac34u_n-\frac34\times32\\ &=\frac34(u_n-32)\\ &=\frac34v_n. \end{aligned}\] Le choix de \(32\) a permis la factorisation.

La suite \((v_n)\) est géométrique, avec \[v_0=80-32=48.\] Par le théorème du terme général : \[v_n=48\left(\frac34\right)^n.\] Comme \(u_n=v_n+32\), \[\boxed{u_n=32+48\left(\frac34\right)^n.}\]

Contrôle.  Au rang \(0\), la formule donne \(32+48=80\). Au rang \(1\), elle donne \(32+36=68\). Enfin, remplacer \(u_n\) dans la récurrence donne : \[\frac34\left[32+48\left(\frac34\right)^n\right]+8 =32+48\left(\frac34\right)^{n+1}.\] La formule est compatible avec le départ et la transformation.

Ce que la formule permet de justifier

Pour chaque \(n\), \(0<(3/4)^n\leq1\), donc \[32<u_n\leq80.\] De plus, \[\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=48\left(\frac34\right)^n \left(\frac34-1\right)\\ &=-12\left(\frac34\right)^n<0. \end{aligned}\] La suite est strictement décroissante. Elle ne devient jamais égale à \(32\) à un rang fini.

Chercher un seuil et prouver qu’il est le premier

Algorithmes, Python et tableur

Les programmes de cette section utilisent des entrées entières dans les domaines annoncés. Le raisonnement porte sur le nombre de mises à jour, l’état des variables et la sortie attendue.

Calculer un terme par une boucle

Pour \[u_0=4,\qquad u_{n+1}=\frac12u_n+3,\] la variable u stocke d’abord \(u_0\). Chaque mise à jour la remplace par le terme suivant.

        def terme(N):
        if N < 0:
        raise ValueError("N doit etre un entier naturel")
        u = 4
        for k in range(N):
        u = 0.5 * u + 3
        return u

Lecture. range(N) fournit \(N\) tours de boucle. Après zéro mise à jour, u vaut \(u_0\). Après une mise à jour, elle vaut \(u_1\). Après \(N\) mises à jour, elle vaut \(u_N\).

\[\begin{array}{c|c} \text{Nombre de mises à jour}&\texttt{u}\\ \hline 0&4\\ 1&5\\ 2&5{,}5\\ 3&5{,}75 \end{array}\]

Produire une liste

        def liste_termes(N):
        if N < 0:
        raise ValueError("N doit etre un entier naturel")
        u = 4
        L = [u]
        for k in range(N):
        u = 0.5 * u + 3
        L.append(u)
        return L

La liste contient ici les termes de \(u_0\) à \(u_N\), donc \(N+1\) valeurs. Dans cette convention, L[k] correspond à \(u_k\).

Pour une suite explicite \(v_n=n^2-2n+4\), on peut écrire :

        def liste_explicite(N):
        if N < 0:
        raise ValueError("N doit etre un entier naturel")
        return [n*n - 2*n + 4 for n in range(N+1)]

Une liste calculée ne contient qu’un nombre fini de termes. Elle n’est pas toute la suite.

Calculer une somme

        def somme_termes(N):
        if N < 0:
        raise ValueError("N doit etre un entier naturel")
        u = 4
        S = u
        for k in range(N):
        u = 0.5 * u + 3
        S = S + u
        return S

Avant la boucle, S contient \(u_0\). À chaque tour, on calcule le nouveau terme, puis on l’ajoute. Pour \(N=2\), la somme obtenue est \[4+5+5{,}5=14{,}5.\] Intervertir les deux lignes de la boucle ajouterait le mauvais terme.

Chercher un seuil en contrôlant la sortie

Le programme suivant recherche un premier terme strictement supérieur à \(A\), jusqu’au rang Nmax inclus :

        def premier_depassement(A, Nmax):
        if Nmax < 0:
        raise ValueError("Nmax doit etre un entier naturel")
        n = 0
        u = 4
        while u <= A and n < Nmax:
        u = 0.5 * u + 3
        n = n + 1
        if u > A:
        return n, u
        return None

La condition u <= A signifie que le seuil strict n’est pas encore dépassé. La limite Nmax garantit un nombre fini de tours.

None signifie seulement : « aucun dépassement trouvé parmi les rangs examinés ». Ce résultat ne constitue pas, à lui seul, une preuve d’impossibilité pour tous les rangs.

Utiliser un tableur

On peut organiser trois colonnes : rang \(n\), terme \(u_n\), somme cumulée.

Selon les réglages du logiciel, le séparateur décimal peut être le point ou la virgule. En recopiant la ligne 3 vers le bas, les références relatives évoluent.

La cellule B4 doit utiliser B3, non B2 : elle calcule le terme suivant. Une référence absolue telle que $E$2 sert au contraire à conserver une cellule de paramètre lors de la recopie.

            u = 3
            for k in range(3):
            u = 2*u + 1

À reprendre plus tard, avant de relire.  Refais la trace avec range(2) et la même valeur initiale. La sortie attendue devient \(15\), soit \(u_2\). Explique pourquoi elle n’est ni \(u_1\) ni \(u_3\).

Approcher intuitivement l’idée de limite

Cette partie apprend à décrire un comportement à long terme. On s’appuie sur des expressions, des tableaux, des représentations et des recherches de seuil. On ne développe pas ici les définitions formelles et les théorèmes de convergence étudiés ultérieurement.

Se rapprocher d’une valeur

Lecture. Les points sont au-dessus de la droite d’ordonnée \(2\) et s’en rapprochent. Aucun terme n’est égal à \(2\), puisque \(1/(n+1)>0\).

Une précision concrète plutôt qu’une impression

Cherchons à partir de quel rang l’écart à \(2\) est strictement inférieur à \(0{,}02\) : \[\frac1{n+1}<0{,}02=\frac1{50}.\] Comme les dénominateurs sont positifs, cela revient à \(n+1>50\), donc \(n>49\). Le premier rang est \(50\).

Au rang \(49\), l’écart vaut exactement \(0{,}02\), ce qui ne convient pas à l’inégalité stricte. Au rang \(50\), il vaut \(1/51<1/50\). La décroissance de l’écart garantit que les rangs suivants conviennent.

Une suite peut osciller tout en se rapprochant

Considérons \[v_n=2+\frac{(-1)^n}{n+1}.\] Les termes commencent par \[3,\quad\frac32,\quad\frac73,\quad\frac74,\quad\ldots\] Ils sont alternativement au-dessus et au-dessous de \(2\). L’écart en valeur absolue vaut encore \(1/(n+1)\).

On peut donc se rapprocher d’une valeur sans être monotone. Le zigzag des signes ne suffit pas à conclure à l’absence de limite.

Grandir sans borne ou ne pas avoir de limite

Pour \(a_n=n^2\), les valeurs deviennent de plus en plus grandes. On décrit ce comportement en disant que la suite tend vers \(+\infty\).

Pour \(b_n=-n\), elles deviennent de plus en plus négatives : on parle de limite \(-\infty\).

Pour \(c_n=(-1)^n\), on retrouve indéfiniment les deux valeurs \(1\) et \(-1\). Les termes ne se rapprochent pas d’une même valeur, et ne partent pas tous vers un même infini. Cette suite n’a pas de limite.

Trois exemples algorithmiques classiques

La factorielle : multiplier des entiers consécutifs

\[1!=1,\quad2!=2,\quad3!=6,\quad4!=24,\quad5!=120.\] Pour \(n\geq0\), \[(n+1)!=(n+1)n!.\]

        def factorielle(n):
        if n < 0:
        raise ValueError("n doit etre un entier naturel")
        produit = 1
        for k in range(1, n+1):
        produit = produit * k
        return produit

Pour \(n=0\), la boucle n’effectue aucun tour et renvoie \(1\), conformément à la convention. Initialiser le produit à \(0\) serait une erreur : toutes les multiplications suivantes resteraient nulles.

Fibonacci : conserver les deux valeurs utiles

On définit \[F_0=0,\qquad F_1=1,\qquad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.\] Les termes commencent par \[0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13.\]

        def fibonacci(N):
        if N < 0:
        raise ValueError("N doit etre un entier naturel")
        if N == 0:
        return [0]
        L = [0, 1]
        for k in range(2, N+1):
        suivant = L[k-1] + L[k-2]
        L.append(suivant)
        return L

La fonction renvoie les termes de \(F_0\) à \(F_N\). Pour calculer \(F_k\), la liste contient déjà \(F_{k-1}\) et \(F_{k-2}\). Deux termes initiaux sont nécessaires à cette construction.

Syracuse : choisir une règle selon la parité

On part d’un entier strictement positif. Si le terme est pair, le suivant est sa moitié. S’il est impair, le suivant est trois fois ce terme, plus \(1\).

        def syracuse(depart, N):
        if depart < 1 or N < 0:
        raise ValueError("Entrees entieres hors domaine")
        u = depart
        L = [u]
        for k in range(N):
        if u % 2 == 0:
        u = u // 2
        else:
        u = 3*u + 1
        L.append(u)
        return L

u % 2 est le reste de la division entière par \(2\). Il vaut zéro exactement lorsque \(u\) est pair. Dans cette branche, u // 2 donne donc exactement sa moitié.

Avec le départ \(10\), les six premières transformations donnent \[10,\ 5,\ 16,\ 8,\ 4,\ 2,\ 1.\] Le programme calcule un nombre fixé d’étapes. Il ne prétend pas démontrer que tous les départs atteignent \(1\).

Approfondissements facultatifs

Les développements suivants enrichissent le chapitre. Ils ne sont pas nécessaires pour réussir le parcours principal. Leur intérêt est de réutiliser les outils déjà construits : sommes finies, suites géométriques et changements de point de vue.

Somme des carrés

Démonstration.  On utilise d’abord l’identité, obtenue en développant le cube : \[(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1.\] En additionnant de \(k=1\) à \(k=n\), le membre de gauche se simplifie : \[(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+\cdots+((n+1)^3-n^3) =(n+1)^3-1.\] Notons \(Q=1^2+\cdots+n^2\). On obtient \[(n+1)^3-1=3Q+3\frac{n(n+1)}2+n.\] On isole \(3Q\) : \[\begin{aligned} 3Q &=n^3+3n^2+3n-\frac{3n(n+1)}2-n\\ &=\frac{2n^3+6n^2+4n-3n^2-3n}{2}\\ &=\frac{2n^3+3n^2+n}{2}\\ &=\frac{n(2n^2+3n+1)}2\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}2. \end{aligned}\] Dans la dernière factorisation, \((n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1\). On divise enfin par \(3\).

\(\square\)

Contrôle.  Pour \(n=3\), \(1+4+9=14\), et \(3\times4\times7/6=14\). Ce contrôle vérifie un cas ; la preuve est le calcul général précédent.

Somme des cubes

Posons \(T_n=n(n+1)/2\), avec \(T_0=0\). On calcule : \[T_n-T_{n-1}=n,\qquad T_n+T_{n-1}=n^2.\] En effet, \[\frac{n(n+1)-n(n-1)}2=n, \qquad \frac{n(n+1)+n(n-1)}2=n^2.\] Ainsi \[T_n^2-T_{n-1}^2 =(T_n-T_{n-1})(T_n+T_{n-1})=n^3.\] En additionnant ces différences : \[\boxed{ 1^3+2^3+\cdots+n^3 =\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2. }\] Tous les carrés intermédiaires s’annulent, et \(T_0^2=0\).

Les tours de Hanoï

On dispose de trois tiges et de disques de tailles différentes. Un déplacement transporte un seul disque. Un grand disque ne peut jamais être posé sur un plus petit.

Notons \(H_n\) le nombre minimal de déplacements permettant de transporter \(n\) disques d’une tige à une autre. On pose \(H_0=0\).

Pour déplacer \(n+1\) disques, il faut d’abord libérer le plus grand : les \(n\) plus petits doivent être sur la troisième tige. Il faut au moins \(H_n\) déplacements. On déplace ensuite le plus grand disque, puis on transporte les \(n\) petits sur lui : au moins \(H_n\) déplacements supplémentaires.

Ce procédé peut effectivement être réalisé. Il donne donc : \[H_{n+1}=2H_n+1.\] Posons \(V_n=H_n+1\). Alors \[V_{n+1}=2H_n+2=2(H_n+1)=2V_n.\] Comme \(V_0=1\), \(V_n=2^n\), donc \[\boxed{H_n=2^n-1.}\] Pour trois disques, il faut \(2^3-1=7\) déplacements.

Un modèle de remboursement à échéances constantes

Cette étude est un modèle mathématique fictif, pas une description complète d’un contrat financier réel.

On emprunte un capital \(C>0\). À chaque période, la dette est multipliée par \(q=1+i\), où \(i>0\) est le taux périodique, puis on rembourse une somme fixe \(A\). La dette restante vérifie : \[D_0=C,\qquad D_{n+1}=qD_n-A.\]

Après \(N\) périodes, le déroulement de la relation donne : \[D_N=Cq^N-A(1+q+\cdots+q^{N-1}).\] Chaque remboursement est lui-même affecté par les périodes qui le suivent. La somme géométrique conduit à \[D_N=Cq^N-A\frac{q^N-1}{q-1}.\] Pour annuler la dette au rang \(N\), on résout \(D_N=0\) : \[\boxed{A=C\frac{(q-1)q^N}{q^N-1}.}\] Ici \(q>1\), donc les dénominateurs sont non nuls. Si le taux est nul, on traite séparément le cas \(q=1\) : \(A=C/N\).

Choisir une méthode et éviter les confusions

Mini-test de synthèse et corrections

Mode d’emploi. Essaie d’abord sans consulter les exemples. La calculatrice n’est pas nécessaire aux questions 1 à 7. Pour les questions de programme, réalise une trace sur papier. Les corrections suivent les questions ; couvre-les pendant ta tentative.

Questions

1. On définit \(u_n=3n^2-2n+1\) pour \(n\in\mathbb{N}\). Calcule \(u_2\), donne le cinquième terme et exprime \(u_{n+1}\).

2. On donne \(v_1=5\) et \(v_{n+1}=2v_n-3\). Calcule \(v_2\) et \(v_3\). Ces trois termes suffisent-ils à réfuter la nature arithmétique ?

3. Pour \(w_n=(n+2)/(n+1)\), étudie le sens de variation. La conclusion doit être justifiée pour tous les rangs.

4. Une suite arithmétique vérifie \(a_2=9\) et \(a_7=24\). Détermine sa raison, puis calcule \(a_2+a_3+\cdots+a_7\).

5. Une suite géométrique a pour premier terme \(b_0=-2\) et pour raison \(1/2\). Calcule \(b_3\), étudie ses variations et additionne ses quatre premiers termes.

6. Une quantité initiale de \(120\) kg augmente de \(5\) kg chaque période. Une autre, également de \(120\) kg, augmente de \(5\,\%\) par période. Écris les deux modèles et calcule leur valeur après deux périodes.

7. On connaît seulement \(c_0=2,c_1=4,c_2=8,c_3=16\). Quels points place-t-on dans le nuage de la suite ? Peut-on déjà démontrer qu’elle est géométrique ?

8. Un programme initialise u à \(3\), puis exécute trois fois u = 2*u + 1. Quelle est sa valeur finale ? Que donneraient zéro puis deux tours ?

9. On considère \(d_n=n/(n+1)\). Quelle limite les valeurs suggèrent-elles ? Trouve le premier rang tel que \(d_n>0{,}99\).

10. Un élève affirme : « J’ai obtenu les mêmes différences aux deux premiers rangs ; j’ai donc démontré que ma suite est arithmétique. » Explique ce qui manque. Indique aussi comment on peut démontrer qu’une suite n’est pas arithmétique.

Corrections détaillées

Je dois savoir refaire seul

Une reprise utile. Choisis une question du mini-test qui t’a posé problème. Écris ta tentative, entoure la première ligne où tu hésites, retrouve la règle locale et refais un essai analogue. À une séance suivante, retente la question avant de regarder la correction.

Pour formuler une demande d’aide précise. Indique l’énoncé, ta première étape, la ligne incomprise et la règle que tu as essayé d’utiliser. « Je ne comprends pas pourquoi on divise par l’écart des indices » est une question plus exploitable que « je ne comprends pas les suites ».

Idée finale. Une suite relie un rang à une valeur. Avant de chercher une formule, demande-toi toujours : qu’est-ce qui est numéroté, qu’est-ce qui est mesuré, et quelle règle relie deux étapes ?