SUITES NUMÉRIQUES

Première - Spécialité mathématiques

Version courte pour le cours en classe

Une suite permet de décrire une quantité qui évolue étape après étape. Dans cette version courte, on garde le noyau indispensable du chapitre : définir et calculer des termes, représenter une suite, étudier ses variations, reconnaître les suites arithmétiques et géométriques, calculer des sommes, modéliser une évolution et conjecturer un comportement à long terme.

À retenir - Objectifs essentiels

À la fin du chapitre, tu dois savoir :

• calculer des termes d’une suite définie explicitement ou par récurrence ;

• lire et construire la représentation graphique d’une suite ;

• étudier le sens de variation d’une suite ;

• reconnaître et utiliser les suites arithmétiques et géométriques ;

• calculer des sommes de termes consécutifs ;

• modéliser une évolution à accroissement constant ou à taux constant ;

• utiliser un algorithme ou un tableur pour calculer des termes, une somme ou un seuil ;

• conjecturer intuitivement la limite éventuelle d’une suite.

Définir une suite

Définition - Suite numérique

Une suite numérique réelle associe à chaque entier naturel \(n\) de son ensemble de définition un unique réel \(u_n\). Le nombre \(n\) est le rang (ou indice) et \(u_n\) est le terme de rang \(n\).

Une suite peut commencer au rang \(0\), au rang \(1\), ou plus généralement à un rang \(n_0\). Il faut donc toujours regarder le premier indice annoncé.

Piège - Indice et numéro d’ordre

Si le premier terme est \(u_0\), le dixième terme est \(u_9\). Si le premier terme est \(u_1\), le dixième terme est \(u_{10}\).

Suite définie explicitement

Définition - Formule explicite

Une suite est définie explicitement lorsque \(u_n\) est donné directement en fonction de \(n\) : \[u_n=f(n).\] On peut calculer un terme sans connaître les précédents.

Méthode - Calculer un terme explicite

Remplacer chaque occurrence de \(n\) par le rang demandé, en conservant les parenthèses nécessaires.

Exemple - Calcul direct

Si \(u_n=n^2-2n+4\), alors \[u_3=3^2-2\times3+4=7.\] De même, \[u_{n+1}=(n+1)^2-2(n+1)+4=n^2+3.\]

Piège - Changer le rang n’est pas ajouter 1 au terme

En général, \[u_{n+1}\neq u_n+1.\] Pour calculer \(u_{n+1}\), on remplace \(n\) par \(n+1\) dans toute la formule.

Suite définie par récurrence

Définition - Relation de récurrence

Une suite est définie par récurrence lorsque l’on donne un ou plusieurs termes initiaux et une règle permettant de calculer un terme à partir de termes précédents. Dans le cas le plus fréquent : \[u_0=a,\qquad u_{n+1}=f(u_n).\]

Exemple - Calcul de proche en proche

On donne \[u_0=4,\qquad u_{n+1}=\frac12u_n+3.\] Alors \[u_1=5,\qquad u_2=5{,}5,\qquad u_3=5{,}75.\]

Méthode - Premier geste

Pour calculer \(u_{n+1}\), utiliser la valeur de \(u_n\), et non le rang \(n\). Le terme initial est indispensable : la même règle peut engendrer des suites différentes avec des départs différents.

Représenter une suite

Définition - Nuage de points

Dans un repère, la représentation graphique de la suite \((u_n)\) est l’ensemble des points \[M_n(n;u_n).\] L’abscisse est le rang, l’ordonnée est le terme.

Pour \(u_n=n^2-2n+4\), on place seulement les points d’abscisse entière. Relier les points peut guider l’œil, mais ne crée pas de terme \(u_{2{,}5}\).

Cas d’une récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\)

Pour construire graphiquement les termes d’une suite récurrente, on peut utiliser la courbe de \(f\) et la droite \(y=x\) : on part de \(u_n\) sur l’axe horizontal, on rejoint la courbe, puis la droite \(y=x\), et on recommence.

Piège - Deux représentations différentes

La construction avec \(y=f(x)\) et \(y=x\) sert à lire les valeurs successives \(u_n\). Elle ne doit pas être confondue avec le nuage des points \((n;u_n)\).

Étudier le sens de variation

Définition - Croissance et décroissance

Une suite est croissante si, pour tout rang étudié, \[u_{n+1}\ge u_n.\] Elle est décroissante si \[u_{n+1}\le u_n.\] Elle est constante si \(u_{n+1}=u_n\). Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Méthode 1 : étudier la différence

Méthode - Méthode générale

Calculer \(u_{n+1}-u_n\), simplifier, puis étudier son signe.

Exemple - Différence de deux termes consécutifs

Soit \[u_n=\frac{n+2}{n+1}\qquad(n\ge0).\] Alors \[\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=\frac{n+3}{n+2}-\frac{n+2}{n+1}\\ &=-\frac1{(n+1)(n+2)}<0. \end{aligned}\] La suite est strictement décroissante.

Méthode 2 : utiliser un quotient

Propriété - Suite à termes strictement positifs

Si \(u_n>0\), alors \[\frac{u_{n+1}}{u_n}>1\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n,\] et \[\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\Longleftrightarrow u_{n+1}<u_n.\]

Piège - Condition essentielle

La méthode du quotient n’est sûre sous cette forme que lorsque les termes étudiés sont strictement positifs.

Méthode 3 : utiliser une fonction associée

Propriété - Transmission des variations

Si \(u_n=f(n)\) et si \(f\) est croissante sur un intervalle contenant tous les indices étudiés, alors \((u_n)\) est croissante. Même résultat pour la décroissance.

Suites arithmétiques

Définition - Suite arithmétique

Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\), appelé raison, tel que \[\boxed{u_{n+1}=u_n+r}.\] On ajoute toujours la même quantité.

Méthode - Reconnaître une suite arithmétique

Montrer que la différence \(u_{n+1}-u_n\) est constante.

Théorème - Terme général

Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\), alors, pour deux rangs autorisés \(p\) et \(n\), \[\boxed{u_n=u_p+(n-p)r}.\] En particulier, \[\boxed{u_n=u_0+nr}.\]

Démonstration.

Entre les rangs \(p\) et \(n\), on effectue \(n-p\) passages. À chaque passage, on ajoute \(r\). On ajoute donc au total \((n-p)r\) à \(u_p\). \(\square\)

Propriété - Sens de variation

Pour une suite arithmétique :

• si \(r>0\), elle est strictement croissante ;

• si \(r<0\), elle est strictement décroissante ;

• si \(r=0\), elle est constante.

Méthode - Trouver la raison avec deux termes

Si \(p\neq n\), \[\boxed{r=\frac{u_n-u_p}{n-p}}.\]

Exemple - Deux termes éloignés

Si \(u_3=11\) et \(u_8=-4\), alors \[r=\frac{-4-11}{8-3}=-3.\]

Suites géométriques

Définition - Suite géométrique

Une suite \((u_n)\) est géométrique s’il existe un réel \(q\), appelé raison, tel que \[\boxed{u_{n+1}=qu_n}.\] On multiplie toujours par la même quantité.

Méthode - Reconnaître une suite géométrique

Montrer directement que \(u_{n+1}=qu_n\). Lorsque les termes sont non nuls, on peut aussi montrer que \(u_{n+1}/u_n\) est constant.

Théorème - Terme général

Si \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\neq0\), alors \[\boxed{u_n=u_pq^{\,n-p}}.\] En particulier, \[\boxed{u_n=u_0q^n}.\]

Démonstration.

Pour passer de \(u_p\) à \(u_n\), on effectue \(n-p\) multiplications successives par \(q\), d’où \(u_n=u_pq^{n-p}\). \(\square\)

Sens de variation

Pour une suite géométrique de raison \(q>0\), on utilise \[u_{n+1}-u_n=(q-1)u_n.\] Ainsi, le sens dépend à la fois de \(q\) et du signe des termes.

Si \(q<0\) et le premier terme est non nul, les signes alternent : la suite n’est pas monotone.

Lien avec un taux constant

Une hausse de \(t\,\%\) correspond à \[q=1+\frac{t}{100},\] et une baisse de \(t\,\%\) à \[q=1-\frac{t}{100}.\]

Sommes de termes consécutifs

À retenir - Compter d’abord les termes

De l’indice \(p\) à l’indice \(n\), extrémités incluses, il y a \[\boxed{n-p+1}\] termes.

Somme arithmétique

Théorème - Somme de termes consécutifs

Si \((u_n)\) est arithmétique, alors \[\boxed{u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}}.\]

Démonstration.

On écrit la somme dans l’ordre puis dans l’ordre inverse. En additionnant terme à terme, chaque paire vaut \(u_p+u_n\). Il y a \(n-p+1\) paires, puis on divise par \(2\). \(\square\)

Propriété - Somme des premiers entiers

Pour \(n\ge1\), \[\boxed{1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2}.\]

Somme géométrique

Théorème - Somme de puissances successives

Pour \(q\neq1\), \[\boxed{1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}.\] Si \(q=1\), la somme vaut \(n+1\).

Démonstration.

Posons \(S=1+q+\cdots+q^n\). Alors \(qS=q+q^2+\cdots+q^{n+1}\). En soustrayant, \[S-qS=1-q^{n+1}.\] Comme \(q\neq1\), on divise par \(1-q\). \(\square\)

Propriété - Somme de \(N\) termes géométriques

Si \(q\neq1\), \[\boxed{u_p+u_{p+1}+\cdots+u_{p+N-1}=u_p\frac{1-q^N}{1-q}}.\]

Modéliser une évolution

Méthode - Traduire une situation

1. Définir précisément \(u_n\) : quantité, unité, instant ou étape.

2. Fixer le rang initial.

3. Traduire l’évolution entre deux étapes.

4. Identifier éventuellement une suite arithmétique ou géométrique.

5. Répondre dans le contexte.

Exemple - Accroissement constant

Une quantité vaut \(24\) au départ et augmente de \(6\) à chaque étape : \[u_0=24,\qquad u_{n+1}=u_n+6,\qquad u_n=24+6n.\]

Exemple - Taux constant

Une quantité vaut \(24\) au départ et augmente de \(20\,\%\) à chaque étape : \[v_0=24,\qquad v_{n+1}=1{,}2v_n,\qquad v_n=24(1{,}2)^n.\]

Piège - Ajout fixe et taux fixe

« Augmenter de \(20\,\%\) » ne signifie pas « ajouter \(20\) ». Le pourcentage agit sur la valeur actuelle.

Algorithme, tableur et seuil

Calculer un terme par une boucle

Pour \[u_0=4,\qquad u_{n+1}=0{,}5u_n+3,\] un programme peut effectuer exactement \(N\) mises à jour :

def terme(N):
    u = 4
    for k in range(N):
        u = 0.5*u + 3
    return u

Après \(N\) tours, la variable u contient \(u_N\). Le cas \(N=0\) doit rendre le terme initial.

Utiliser un tableur

On peut placer les rangs dans une colonne et les termes dans la colonne voisine. Pour la suite précédente, si B2 contient \(u_0=4\), alors la cellule suivante peut contenir une formule du type \[\texttt{=0,5*B2+3}\] puis être recopiée vers le bas. Les références relatives évoluent automatiquement.

Chercher un premier seuil

Chercher le premier rang tel que \(u_n>A\), c’est chercher le plus petit indice qui vérifie l’inégalité. On vérifie le rang trouvé et, lorsque c’est utile, le rang précédent.

Exemple - Seuil arithmétique

Pour \(u_n=24+6n\), cherchons le premier rang tel que \(u_n>100\) : \[24+6n>100\Longleftrightarrow n>\frac{38}{3}.\] Le premier entier est \(13\), et \[u_{12}=96\le100,\qquad u_{13}=102>100.\]

Approche intuitive de la limite

Dans ce chapitre de Première, on décrit le comportement des termes lorsque \(n\) devient très grand. Il s’agit d’une approche intuitive : on observe des expressions, des tableaux, des graphiques ou des seuils.

Exemple - Une limite finie

Pour \[u_n=2+\frac1{n+1},\] les termes se rapprochent de \(2\) : \[u_0=3,\qquad u_9=2{,}1,\qquad u_{99}=2{,}01.\] On écrit intuitivement \[\lim_{n\to+\infty}u_n=2.\] Aucun terme n’est pourtant égal à \(2\).

À retenir - Trois comportements simples

• \(n^2\) grandit sans borne : on dit que la suite tend vers \(+\infty\) ;

• \(-n\) décroît sans borne : on dit qu’elle tend vers \(-\infty\) ;

• \((-1)^n\) alterne entre \(1\) et \(-1\) : elle n’a pas de limite.

Piège - Conjecture et preuve

Un tableau ou un graphique comportant un nombre fini de termes peut suggérer un comportement, mais ne suffit pas à le démontrer pour tous les rangs.

Synthèse des choix de méthode

À retenir - Ce qui est volontairement laissé au cours long

La version longue conserve les rappels détaillés de calcul, les analogies développées, la suite auxiliaire, les exemples algorithmiques classiques (factorielle, Fibonacci, Syracuse), les approfondissements (sommes de carrés/cubes, Hanoï, remboursement), les exercices guidés, les corrections de mini-test et les parcours de remédiation. Cette version courte se concentre sur le cours qu’un professeur peut effectivement installer et faire utiliser en classe dans un temps raisonnable.