Exercice écrit
Limites de fonctions — Exercice 31
D1 — BAC — sujet officiel
On désigne par \(f\) la fonction définie sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels par \[f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-x}}.\] On note \(\mathcal C\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).
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Se connecterVérifier que, pour tout nombre réel \(x\) : \[f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}.\]
Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Calculer \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\). En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Dresser le tableau des variations de \(f\).
Tracer la courbe \(\mathcal C\) et ses asymptotes éventuelles dans le repère \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).
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On désigne par \(f\) la fonction définie sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels par \[f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-x}}.\] On note \(\mathcal C\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).
Vérifier que, pour tout nombre réel \(x\) : \[f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}.\]
Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Calculer \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\). En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Dresser le tableau des variations de \(f\).
Tracer la courbe \(\mathcal C\) et ses asymptotes éventuelles dans le repère \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).
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