Limites de fonctions — Exercice 07

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\left\{\begin{array}{l c l} f(x) & = &\dfrac{x\text{e}^x}{\text{e}^x - 1} \text{si} x \neq 0\\ f(0)& = &1.\\ \end{array}\right.\)
On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. 1. Déterminer la limite de \(f\) en \(- \infty\).

   2. Établir que, pour tout nombre réel \(x\) non nul, on a \(f(x) = x \left(1 + \dfrac{1}{\text{e}^x - 1}\right)\).

      En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

2. 1. Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\), on a : \(\text{e}^x \geqslant x + 1\), et que l’égalité n’a lieu que pour \(x = 0\).

   2. Calculer la dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) et déterminer la fonction \(g\) telle que, pour tout nombre réel \(x\) non nul, \(f'(x) = \dfrac{\text{e}^x g(x)}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2}\).

   3. Donner le tableau des variations de \(f\).

3. Soient \(x\) un nombre réel non nul et les points \(M(x ; f(x))\) et \(M'(- x ; f(- x))\) de la courbe \(\mathcal{C}\).

   1. Établir que \(f(- x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - 1}\), puis déterminer le coefficient directeur de la droite \((MM')\).

   2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable en \(0\). Que suggère alors le résultat précédent ?