Exercice écrit
Limites de fonctions — Exercice 14
D1 — BAC — sujet officiel
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=2x+1-x\text{e}^{x-1}.\] On note \((\mathcal C)\) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).
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Se connecterÉtudier la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\) puis en \(+\infty\).
On pourra écrire \[x\text{e}^{x-1}=\dfrac{1}{\text{e}}x\text{e}^{x}.\]
Démontrer que la droite \(\Delta\) d’équation \(y=2x+1\) est asymptote à la courbe \((\mathcal C)\) en \(-\infty\) et préciser la position de la courbe \((\mathcal C)\) par rapport à la droite \(\Delta\).
Calculer la dérivée \(f'\) et la dérivée seconde \(f''\) de la fonction \(f\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f'\) en précisant la limite de la fonction \(f'\) en \(-\infty\).
Calculer \(f'(1)\) et en déduire le signe de \(f'\) pour tout réel \(x\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
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On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=2x+1-x\text{e}^{x-1}.\] On note \((\mathcal C)\) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).
Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\) puis en \(+\infty\).
On pourra écrire \[x\text{e}^{x-1}=\dfrac{1}{\text{e}}x\text{e}^{x}.\]
Démontrer que la droite \(\Delta\) d’équation \(y=2x+1\) est asymptote à la courbe \((\mathcal C)\) en \(-\infty\) et préciser la position de la courbe \((\mathcal C)\) par rapport à la droite \(\Delta\).
Calculer la dérivée \(f'\) et la dérivée seconde \(f''\) de la fonction \(f\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f'\) en précisant la limite de la fonction \(f'\) en \(-\infty\).
Calculer \(f'(1)\) et en déduire le signe de \(f'\) pour tout réel \(x\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
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