Limites de fonctions — Exercice 02

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\), on désigne par \(\mathcal{C}_u\) la courbe représentative de la fonction \(u\) définie sur l’intervalle \(]0 ; + \infty[\) par :

\[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\]

où \(a, b\) et \(c\) sont des réels fixés.

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_u\) et la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y = 1\).

On précise que la courbe \(\mathcal{C}_u\) passe par les points A(1 ; 0) et B(4 ; 0) et que l’axe des ordonnées et la droite \(\mathcal{D}\) sont asymptotes à la courbe \(\mathcal{C}_u\).

1. Donner les valeurs de \(u(1)\) et \(u(4)\).

2. Donner \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)\). En déduire la valeur de \(a\).

3. En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}\).