Limites de fonctions — Exercice 26

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=1+\text{e}^{-x}-2\text{e}^{-2x}\] et \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. 1. Soit le polynôme \(P\) défini sur \(\mathbb{R}\) par \[P(X)=1+X-2X^2.\] Étudier le signe de \(P(X)\).

   2. En déduire le signe de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

   3. Que peut-on en déduire pour la courbe \(\mathcal C\) ?

2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\). Qu’en déduire pour la courbe \(\mathcal C\) ?

3. Vérifier que \[f(x)=\text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x}+\text{e}^x-2\right),\] puis déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\).

4. 1. Soit \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\), calculer \(f'(x)\).

   2. Montrer que \(f'(x)\) a le même signe que \(\left(4-\text{e}^x\right)\), puis étudier le signe de \(f'(x)\).

   3. Dresser le tableau de variations de \(f\). On montrera que le maximum est un nombre rationnel.

5. 1. Démontrer que la courbe \(\mathcal C\) et la droite \(\mathcal D\) d’équation \(y=1\) n’ont qu’un point d’intersection \(A\) dont on déterminera les coordonnées.

   2. Étudier la position de la courbe \(\mathcal C\) par rapport à la droite \(\mathcal D\).