Exercice écrit
Limites de fonctions — Exercice 01
D1 — BAC — sujet officiel
Dans tout ce qui suit, \(m\) désigne un nombre réel quelconque.
Partie A
Soit \(f\) la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) telle que:
\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]
Signaler un problème dans l’énoncé
Connectez-vous pour signaler un problème.
Se connecterCalculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) et \(- \infty\).
On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Démontrer que pour tout réel \(x\), \(f'(x) = (x + 2)\text{e}^x\).Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Partie B
On définit la fonction \(g_m\) sur \(\mathbb{R}\) par:
\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note \(\mathcal{C}_m\) la courbe de la fonction \(g_m\) dans un repère \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\) du plan.
Signaler un problème dans l’énoncé
Connectez-vous pour signaler un problème.
Se connecterDémontrer que \(g_m(x) = 0\) si et seulement si \(f(x) = m\).
On a représenté ci-dessous les courbes \(\mathcal{C}_0\), \(\mathcal{C}_{\mathrm{e}}\), et \(\mathcal{C}_{-\text{e}}\) (obtenues en prenant respectivement pour \(m\) les valeurs 0, \(\text{e}\) et \(-\text{e}\)).
Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l’annexe en justifiant.
Étudier la position de la courbe \(\mathcal{C}_m\) par rapport à la droite \(\mathcal{D}\) d’équation
\(y = x + 1\) suivant les valeurs du réel \(m\).
Tout l’exercice
Dans tout ce qui suit, \(m\) désigne un nombre réel quelconque.
Partie A
Soit \(f\) la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) telle que:
\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]
Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) et \(- \infty\).
On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Démontrer que pour tout réel \(x\), \(f'(x) = (x + 2)\text{e}^x\).Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Partie B
On définit la fonction \(g_m\) sur \(\mathbb{R}\) par:
\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note \(\mathcal{C}_m\) la courbe de la fonction \(g_m\) dans un repère \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\) du plan.
Démontrer que \(g_m(x) = 0\) si et seulement si \(f(x) = m\).
On a représenté ci-dessous les courbes \(\mathcal{C}_0\), \(\mathcal{C}_{\mathrm{e}}\), et \(\mathcal{C}_{-\text{e}}\) (obtenues en prenant respectivement pour \(m\) les valeurs 0, \(\text{e}\) et \(-\text{e}\)).
Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l’annexe en justifiant.
Étudier la position de la courbe \(\mathcal{C}_m\) par rapport à la droite \(\mathcal{D}\) d’équation
\(y = x + 1\) suivant les valeurs du réel \(m\).
Toutes les réponses
Toutes les réponses
Connecte-toi pour consulter les réponses standard de cet exercice.
Même dossier
Continuer dans ce dossier
Les exercices voisins de « Dossier BAC — Limites de fonctions », dans l’ordre du dossier.