Limites de fonctions — Exercice 10

Partie A

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = x \text{e}^{1 - x}.\]

1. Vérifier que pour tout réel \(x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}\).

2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(- \infty\).

3. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\). Interpréter graphiquement cette limite.

Partie B

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on considère les fonctions \(g_{n}\) et \(h_{n}\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \ \text{et}\ h_{n}(x) = 1 + 2x + \cdots + nx^{n-1}.\]

1. Vérifier que, pour tout réel \(x :\: (1 - x)g_{n}(x) = 1 - x^{n+1}\).

   On obtient alors, pour tout réel \(x \neq 1 :\:\: g_{n}(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}\).

2. Comparer les fonctions \(h_{n}\) et \(g'_{n}\), \(g'_{n}\) étant la dérivée de la fonction \(g_{n}\).

   En déduire que, pour tout réel \(x \neq 1 :\: h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}\).

3. Soit \(S_{n} = f(1) + f(2) + ... + f(n)\), \(f\) étant la fonction définie dans la partie A.

   En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de \(S_{n}\) puis sa limite quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).