Exercice 26 — Aire entre deux courbes

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,2\pi]\) par \(f(x)=-1,5\cos(x)+1,5\). On admet que la fonction \(f\) est continue sur \([0\,;\,2\pi]\). On note \(\mathcal C_1\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé (voir le graphique suivant).

1. Démontrer que la fonction \(f\) est positive sur \([0\,;\,2\pi]\).

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2. Sur la figure ci-dessus, la courbe tracée en tirets, notée \(\mathcal C_2\), est la courbe symétrique de \(\mathcal C_1\) par rapport à l’axe des abscisses.

   L’objectif est de déterminer l’aire \(\mathcal A\) délimitée par les droites d’équations \(x=0\) ; \(x=2\pi\) ; \(y=-1,5\cos(x)+1,5\) et \(y=1,5\cos(x)-1,5\) exprimée en unités d’aire.

   1. a) Pour cela, on va d’abord déterminer l’aire \(\mathcal A_1\) délimitée par les droites d’équations \(x=0\) ; \(x=2\pi\) et \(y=-1,5\cos(x)+1,5\).

      On partage cette aire à l’aide de rectangles de largeur \(\dfrac{2\pi}{n}\) avec \(n\in\mathbb{N}\) et de longueur \(f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\). Plus \(n\) est grand, plus l’aire obtenue en sommant l’aire de chaque rectangle est proche de l’aire \(\mathcal A_1\).

      Compléter le programme suivant écrit en Python permettant de calculer \(\mathcal A_1\).

      from math import*
      def aire(n) :
          s = 0
          for k in range (1,n) :
              s = s +(2*pi/n)*...
          print ("L’aire est égale à environ")
          print (s)

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   2. b) Déterminer l’aire \(\mathcal A_1\) lorsque \(n=100\).

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   3. c) Compléter le programme précédent pour pouvoir déterminer l’aire \(\mathcal A\). D’après BAC S, Nouvelle-Calédonie, 2019.

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