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Exercice 11 — Exponentielle et cosinus
Exercice 11
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=(2+\cos(x))\mathrm{e}^{1-x}.\]
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Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=(2+\cos(x))\mathrm{e}^{1-x}.\]
Montrer que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \(f(x)>0\).
On admet que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \[\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos(x)+\sin(x).\] Démontrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
a) Montrer que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \(\mathrm{e}^{1-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\mathrm{e}^{1-x}\).
b) En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).
c) Écrire un algorithme permettant de déterminer un réel \(x_0\) tel que, pour tout \(x\geqslant x_0\), \(0\leqslant f(x)\leqslant 10^{-6}\). Interpréter graphiquement ce résultat.
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