Exercice 7 — Sinusoïde de période doublée

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=4\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\) et \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \((O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)\).

1. Vérifier que la fonction \(f\) est impaire.

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2. Montrer que la fonction \(f\) est périodique et préciser sa période.

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3. 1. a) Calculer \(f(\pi-x)\), puis \(f(\pi+x)\).

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   2. b) Que peut-on en déduire concernant la courbe \(\mathcal C\) ?

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4. Déterminer le sens de variation de \(f\) sur \([0\,;\,\pi]\).

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5. Tracer \(\mathcal C\) sur \([0\,;\,\pi]\), puis sur \([-2\pi\,;\,2\pi]\).

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Exercice(s) issu(s) de SESAMATH (https://www.sesamath.net), licence libre CC BY-SA