Exercice 5 — Fonction x + sin(x)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)=x+\sin(x)\] et \(\Gamma\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), on a : \(x-1\leqslant f(x)\leqslant x+1\).

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2. Déterminer les tangentes horizontales à \(\Gamma\).

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3. Déterminer l’équation des tangentes à \(\Gamma\) aux points d’abscisses \(\dfrac{\pi}{2}\) puis \(-\dfrac{\pi}{2}\). Que peut-on en déduire sur la courbe \(\Gamma\) ?

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4. Vérifier les résultats à l’aide de la calculatrice en traçant \(\Gamma\) et les droites d’équation \(y=x-1\) et \(y=x+1\).

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