Exercice écrit
Exercice 25 — Encadrement de cos(x)
Exercice 25
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos(x)-1+\dfrac{x^2}{2}\) et \(g(x)=f(x)-\dfrac{x^4}{24}\).
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Se connecterÀ l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de \(\cos\left(\dfrac\pi5\right)\) et estimer sa précision.
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On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos(x)-1+\dfrac{x^2}{2}\) et \(g(x)=f(x)-\dfrac{x^4}{24}\).
Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(f(x)\geqslant0\).
Coup de pouce : dériver deux fois \(f\).
Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(g(x)\leqslant0\).
Coup de pouce : dériver quatre fois \(g\).
En déduire un encadrement de \(\cos(x)\).
Déterminer la précision \(\varepsilon(x)\) de l’encadrement, puis étudier les variations de la fonction \(\varepsilon\).
En déduire à quelle condition sur \(x\) il est pertinent d’utiliser cet encadrement.
À l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de \(\cos\left(\dfrac\pi5\right)\) et estimer sa précision.
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