Exercice 22 — Transformation au rugby

Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point \(E\) situé à l’extérieur du segment \([AB]\). La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point \(T\) que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment \([EM]\) perpendiculaire à la droite \((AB)\) sauf en \(E\). La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points \(A\) et \(B\) sur la figure.

Le but de cet exercice est de chercher s’il existe une position du point \(T\) sur \([EM]\) pour laquelle l’angle \(\widehat{ATB}\) est maximal et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans la suite de l’exercice, on note \(x\) la longueur \(ET\). On a \(EM=50\) m, \(EA=25\) m et \(AB=5,6\) m, et on note \(\alpha\) la mesure en radians de l’angle \(\widehat{ETA}\), \(\beta\) la mesure en radians de l’angle \(\widehat{ETB}\) et \(\gamma\) la mesure en radians de l’angle \(\widehat{ATB}\).

1. La fonction tangente est définie sur \(\left]0\,;\,\dfrac\pi2\right[\) par : \(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

   Exprimer \(\tan(\alpha)\) et \(\tan(\beta)\) en fonction de \(x\) dans les triangles rectangles \(ETA\) et \(ETB\).

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2. Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur \(\left]0\,;\,\dfrac\pi2\right[\).

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3. L’angle \(\widehat{ATB}\) admet une mesure \(\gamma\) appartenant à \(\left]0\,;\,\dfrac\pi2\right[\) (résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure). On admet que, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(\left]0\,;\,\dfrac\pi2\right[\) : \[\tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\times\tan(b)}.\] Montrer que \(\tan(\gamma)=\dfrac{5,6x}{x^2+765}\).

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4. 1. a) L’angle \(\widehat{ATB}\) est maximal lorsque sa mesure \(\gamma\) est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur \(]0\,;\,50]\) de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x+\dfrac{765}{x}\).

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   2. b) Montrer qu’il existe une unique valeur de \(x\) pour laquelle \(\widehat{ATB}\) est maximal et déterminer cette valeur de \(x\) au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle \(\widehat{ATB}\) à \(0,01\) radian près.

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D’après Bac S, France métropolitaine, juin 2016.

Exercice(s) issu(s) de SESAMATH (https://www.sesamath.net), licence libre CC BY-SA