Exercice 21 — Rectangle dans un demi-cercle

1. Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique.

   1. a) Reproduire la figure ci-contre dans laquelle on a inscrit un rectangle \(ABCD\) dans un demi-cercle de diamètre \(2\) cm. On note \(\alpha\) l’angle \(\widehat{AOB}\).

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   2. b) Déterminer pour quelle valeur de \(\alpha\) l’aire du rectangle \(ABCD\) est maximale.

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2. Soit \(\mathcal A(\alpha)\) la fonction exprimant l’aire du rectangle \(ABCD\) en fonction de la valeur de \(\alpha\), exprimée en radians.

   1. a) Déterminer une expression de \(\mathcal A(\alpha)\).

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   2. b) Étudier les variations de \(\mathcal A\) sur l’intervalle \(]0\,;\,\pi[\).

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   3. c) Quelle est la valeur de \(\alpha\) pour laquelle l’aire de \(ABCD\) est maximale ? Déterminer cette aire maximale.

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