Exercice 20 — Ressort à spires

Un ressort à spires est attaché à son extrémité fixe \(A\). On attache un mobile à son autre extrémité \(M\). On admet que l’abscisse du point \(M\) dans le repère \((O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)\) vérifie, pour tout \(t\) réel, \(t\geqslant0\), l’équation \((E)\) : \(f''(t)+9f(t)=8\sin(t)\) où \(t\) représente le temps exprimé en seconde et \(f''\) la fonction dérivée seconde de \(f\).

1. 1. a) Montrer que la fonction \(g\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par : \[g(t)=A\cos(3t)+B\sin(3t)+\sin(t)\] avec \(A\) et \(B\) des nombres réels, est solution de \((E)\).

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   2. b) Que représente la fonction \(g\) dans ce contexte ?

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2. On suppose qu’à l’instant \(t=0\), le ressort étant compressé, le mobile passe en \(O\) avec une vitesse de \(4\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\). Cela se traduit par le fait que \(f'(0)=4\).

   Déterminer les valeurs de \(A\) et \(B\) pour que la fonction \(g\) vérifie les conditions \(g(0)=0\) et \(g'(0)=4\).

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3. On admet dans cette question que : \(\sin(3t)=-4\sin^{3}(t)+3\sin(t)\).

   Déterminer les instants \(t\) où le mobile repasse par le point de départ, c’est-à-dire résoudre dans l’ensemble \(]0\,;\,+\infty[\) l’équation \(g(t)=0\).

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Bac STI, La Réunion, septembre 2002.

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