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Exercice 6 — Périmètre d'un triangle
Exercice 6
On considère dans un repère orthonormal \((O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)\) direct, les points \[A(-1\,;\,0),\qquad B(0\,;\,-1)\qquad\text{et}\qquad M(\cos(x)\,;\,\sin(x))\] où \(x\) est un réel appartenant à \(\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\).
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On considère dans un repère orthonormal \((O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)\) direct, les points \[A(-1\,;\,0),\qquad B(0\,;\,-1)\qquad\text{et}\qquad M(\cos(x)\,;\,\sin(x))\] où \(x\) est un réel appartenant à \(\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\).
Calculer \(AB\) puis exprimer les longueurs \(AM\) et \(BM\) en fonction de \(x\).
Déterminer la valeur \(x_0\) pour laquelle \(ABM\) est isocèle en \(M\).
Montrer que \(p(x)=\sqrt{2}+\sqrt{2(1+\cos(x))}+\sqrt{2(1+\sin(x))}\).
Calculer \(p'(x)\) et vérifier que \(p'(x_0)=0\).
On admet que pour tout \(x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,x_0\right]\), \(p'(x)\geqslant0\) et pour tout \(x\in[x_0\,;\,\pi[\), \(p'(x)\leqslant0\). Que peut-on en déduire sur le triangle \(ABM\) ?
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