Exercice écrit
Exercice 4 — Fonction x + sin²(x)
Exercice 4
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+\sin^{2}(x)\) et \(\Gamma\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
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(Indication : pour tout nombre \(a\), \(\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)\).)
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Tout l’exercice
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+\sin^{2}(x)\) et \(\Gamma\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Montrer que, pour tout réel \(x\), on a : \(x\leqslant f(x)\leqslant x+1\) et \(f(x+\pi)=f(x)+\pi\).
En s’aidant de la question précédente, déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
Calculer \(f'(x)\).
Déterminer le tableau de variations de \(f\) sur \([0\,;\,\pi]\).
(Indication : pour tout nombre \(a\), \(\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)\).)
En s’aidant du résultat de la question 1., déterminer comment tracer \(\Gamma\) à partir de la représentation de \(f\) sur \([0\,;\,\pi]\).
Tracer \(\Gamma\) sur \([0\,;\,\pi]\), puis sur \([0\,;\,2\pi]\).
Exercice(s) issu(s) de SESAMATH (https://www.sesamath.net), licence libre CC BY-SA
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