BAC Asie, 20 juin 2012 – extrait adapté

1. On considère la fonction Python suivante.

   from math import sqrt
   
   def moyennes(a, b, N):
       u = a
       v = b
       n = 0
       while n < N:
           n = n + 1
           u = (a + b)/2
           v = sqrt((a**2 + b**2)/2)
           a = u
           b = v
       return u, v

   Recopier et compléter le tableau suivant en exécutant la fonction pour \(a=4\), \(b=9\) et \(N=2\). Les valeurs de \(u\) et \(v\) seront arrondies au millième.

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Dans la suite, \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(0<a<b\).

On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par

\[u_0=a,\qquad v_0=b,\]

et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2} \qquad\text{et}\qquad v_{n+1}=\sqrt{\frac{u_n^2+v_n^2}{2}}.\]