Exercice écrit

BAC Polynésie, 9 septembre 2024 — extrait récurrence adapté

BAC — sujet officiel

Polynésie 9 septembre 2024 6 points Récurrence et comportement global

BAC Polynésie, 9 septembre 2024 – extrait récurrence adapté

Un marchand empile des oranges en pyramide à base carrée. Pour tout entier \(n\geqslant 1\), on note \(u_n\) le nombre de boules qui composent le \(n\)-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, \(u_n=n^2\).

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Calculer le nombre total de boules d’une pyramide de 4 étages.
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On considère la suite \((S_n)\) définie pour tout entier \(n\geqslant 1\) par \[S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n.\]
1. Calculer \(S_5\).
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2. On considère la fonction pyramide ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python.
```
def pyramide(n):
    S = 0
    for i in range(1, n+1):
        S = ..........
    return ..........
```
  Compléter cette fonction de sorte que, pour tout entier naturel non nul \(n\), l’instruction pyramide(n) renvoie le nombre de boules composant une pyramide de \(n\) étages.
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3. Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), \[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.\]
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4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), \[S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]
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