BAC Antille-Guyanne, 10 septembre 2019, 5 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. On considère la suite \(\left(p_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\), par

   \[p_n = n^2 - 42n + 4.\]

   Affirmation 1 : La suite \(\left(p_n\right)\) est strictement décroissante.

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2. Soit \(a\) un nombre réel. On considère les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) définies par :

   • \(U_0 = a\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\sqrt{u_n^2 + 8}\) ;

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   • \(v_n = u_n^2 - 1\) pour tout entier naturel \(n\).

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   Affirmation 2 : La suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique.

3. On considère une suite \(\left(w_n\right)\) qui vérifie, pour tout entier naturel \(n\),

   \[n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n.\]

   Affirmation 3 : La suite \(\left(w_n\right)\) converge.

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Partie B

On considère la suite \(\left(U_n\right)\) définie par \(U_0 = \dfrac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[U_{n+1} = \dfrac{2U_n}{1 + U_n}.\]

1. Calculer \(U_1\) que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.

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2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\),

   \[U_n = \dfrac{2^n}{1 + 2^n}.\]

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3. On considère les trois fonctions Python suivantes.

   Une seule d’entre elles ne renvoie pas le terme \(U_n\) de la suite.

   Déterminer laquelle en justifiant votre réponse.

   def algo1(n):
       u = 1/2
       i = 0
       while i < n:
           u = 2*u/(u+1)
           i += 1
       return u

   def algo2(n):
       u = 1/2
       for i in range(n+1):
           u = 2*u/(u+1)
       return u

   def algo3(n):
       p = 2**n
       u = p/(p+1)
       return u