Exercice écrit

BAC Antilles-Guyane, septembre 2005 — extrait suites

BAC — sujet officiel

Antilles-Guyane septembre 2005 5 points Récurrence et comportement global

BAC Antilles-Guyane, septembre 2005 – extrait suites

La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}=\frac12 u_n+n-1.\]

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1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 3\), on a \(u_n\geqslant 0\).
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2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 4\), on a \(u_n\geqslant n-2\).
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On définit la suite \((v_n)\) par \[v_n=4u_n-8n+24.\]
1. Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison et le premier terme.
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2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=7\left(\frac12\right)^n+2n-6.\]
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3. Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=x_n+y_n\) où \((x_n)\) est une suite géométrique et \((y_n)\) une suite arithmétique dont on précisera, pour chacune, le premier terme et la raison.
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4. En déduire l’expression de \[S_n=\sum_{k=0}^n u_k\] en fonction de \(n\).
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