Exercice écrit

BAC Antilles-Guyane, 19 juin 2014, 5 points

BAC — sujet officiel

Antilles-Guyane 19 juin 2014 5 points Raisonnement par récurrence / suites

BAC Antilles-Guyane, 19 juin 2014, 5 points

Soit la suite \((u_n)\) définie par \[u_0=2,\qquad u_{n+1}=\frac15u_n+3\times0,5^n.\]

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1. On considère la fonction Python suivante.
```
def suite(N):
    u = 2
    print(0, round(u,2))
    for n in range(N):
        u = u/5 + 3*0.5**n
        print(n+1, round(u,2))
```
  Compléter, à l’aide de la calculatrice, le tableau ci-dessous obtenu par l’exécution de suite(8).
  
  \(n\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
  
  \(u_n\) 2
  
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2. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite \((u_n)\).
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1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul, \[u_n\ge\frac{15}{4}\times0,5^n.\]
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2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul, \[u_{n+1}-u_n\le0.\]
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3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
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On se propose de déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Soit \((v_n)\) définie par \[v_n=u_n-10\times0,5^n.\]
1. Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac15\) et préciser son premier terme.
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2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n=-8\left(\frac15\right)^n+10\times0,5^n.\]
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3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
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On souhaite déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \[u_n\le0,01.\]

La fonction Python suivante est incomplète.
```
def seuil():
    n = 0
    u = 2
    while ..........:
        ..............
        ..............
    return n
```
Recopier cette fonction et compléter les lignes manquantes.
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