Exercice écrit
Exercice 16 — Les nombres premiers au-dessus de trois
Exercice
Parcours 4 — Démontrer, généraliser et transférer
Soit \(p\) un nombre premier strictement supérieur à \(3\).
1. Pourquoi \(p\) est-il impair et non divisible par \(3\) ?
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Se connecter2. Montrer que parmi les deux entiers pairs \(p-1\) et \(p+1\), l’un est divisible par \(4\). En déduire que \((p-1)(p+1)\) est divisible par \(8\).
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Se connecter4. En déduire que \(p^2-1\) est un multiple de \(24\). Pourquoi les nombres premiers \(2\) et \(3\) sont-ils exclus ?
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Parcours 4 — Démontrer, généraliser et transférer
Soit \(p\) un nombre premier strictement supérieur à \(3\).
1. Pourquoi \(p\) est-il impair et non divisible par \(3\) ?
2. Montrer que parmi les deux entiers pairs \(p-1\) et \(p+1\), l’un est divisible par \(4\). En déduire que \((p-1)(p+1)\) est divisible par \(8\).
3. Prouver que ce produit est aussi divisible par \(3\).
4. En déduire que \(p^2-1\) est un multiple de \(24\). Pourquoi les nombres premiers \(2\) et \(3\) sont-ils exclus ?
5. \(\star\) Le nombre \(p\) doit-il obligatoirement être premier pour que la conclusion soit vraie ? Justifier.
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