Exercice écrit
Exercice 12 — Calcul exact de cos(2π/5)
Terminale mathématiques expertes — Nombres complexes
On veut déterminer une valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\). On pose \(\omega=e^{2i\pi/5}\).
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Exprimer \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\) en fonction de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\) et \(\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\).
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Se connecterEn utilisant les formules de duplication, exprimer \(\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\) en fonction de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\).
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Se connecterEn utilisant les questions précédentes, en déduire que \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\) est solution de l’équation \(4x^2+2x-1=0\).
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Tout l’exercice
On veut déterminer une valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\). On pose \(\omega=e^{2i\pi/5}\).
Calculer \(\omega^5\).
Factoriser \(\omega^5-1\) par \(\omega-1\).
En déduire que \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0\).
Exprimer \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\) en fonction de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\) et \(\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\).
En utilisant les formules de duplication, exprimer \(\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\) en fonction de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\).
En utilisant les questions précédentes, en déduire que \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\) est solution de l’équation \(4x^2+2x-1=0\).
En déduire la valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\).
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