Exercice 18 - Cissoïde de Dioclès

Le problème de la duplication du cube, consistant à tracer à la règle et au compas le nombre \(\sqrt[3]{2}\) (c’est-à-dire le nombre \(a\) tel que \(a^3=2\)), a longtemps tenu les mathématiciens en échec jusqu’à ce que l’on démontre l’impossibilité d’une telle construction. La cissoïde de Dioclès en est l’une des tentatives.

A – Construction de la cissoïde

Dans un repère orthonormé \((O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})\), on considère la droite \(d\) d’équation \(x=1\) et le cercle \(\mathcal C\) de diamètre \([OI]\). Un point \(P\) sur \(d\) détermine une droite \((OP)\) ; celle-ci coupe \(\mathcal C\) en un point \(N\). On définit alors le point \(M\) par \[\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{NP}.\]

1. Construire cette figure avec GeoGebra. Afficher la trace du point \(M\) puis faire varier \(P\) sur la droite \(d\). Cette courbe est la cissoïde de Dioclès.

2. Tracer sur cette même feuille la courbe représentative de \[f:x\mapsto\sqrt{\frac{x^3}{1-x}}.\] Que constate-t-on ? Quelle fonction est représentée par l’autre morceau de la cissoïde ?

B – Équation de la cissoïde

Soit un réel \(t\) tel que \(P(1;t)\).

2. En déduire que \[M\left(\frac{t^2}{1+t^2}\,;\,\frac{t^3}{1+t^2}\right).\]

3. Montrer que les coordonnées de \(M\) vérifient l’équation \[x(x^2+y^2)-y^2=0.\] On en déduit que la cissoïde est contenue dans l’ensemble \(\mathcal E\) des points du plan défini par cette équation.

4. Montrer que \(\mathcal E\) est la réunion de la courbe représentative de \(f\), définie précédemment, et de sa symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

C – Détermination de \(\sqrt[3]{2}\)

1. Montrer que \((IM)\) coupe l’axe des ordonnées au point \(R(0;t^3)\).

2. En déduire une manière d’obtenir géométriquement \(\sqrt[3]{2}\) grâce à la cissoïde.