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Exercice écrit

Exercice 9 - Branches infinies (2)

  • Terminale spé math
  • Limites de fonctions

Exercice

Limites de fonctions — Vers le supérieur Limites de fonctions

Soit \[f:x\mapsto\frac{2x^2+x}{x+1} \qquad\text{et}\qquad g:x\mapsto\frac{x^2+x\sqrt{x}}{x+1}.\]

Dans le cas où \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=a\) avec \(a\) réel, la vitesse de croissance de \(f\) est identique à celle de \(x\mapsto ax\) ; il est donc possible que \(f\) admette une asymptote oblique d’équation \(y=ax+b\).

  1. Soit \(d\) une droite d’équation \(y=a_fx+b\). Supposons que \(d\) soit une asymptote oblique à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).

  2. En appliquant le même raisonnement avec \(a_g\), montrer que la courbe de \(g\) n’admet pas d’asymptote oblique. On dit alors que la courbe de \(g\) admet une branche parabolique d’axe \(y=a_gx\).

  3. Calculer \[\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-a_fx\bigr) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\bigl(g(x)-a_gx\bigr).\] Que retrouve-t-on pour \(f\) ?

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