Exercice écrit
Exercice 19
Exercice
On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un entretien annuel doit être réalisé. Deux sociétés d'ascensoristes, notées A et B, se partagent ce travail. En 2017, la société A entretient \(30%\) des ascenseurs. On estime que, chaque année :
\(3%\) des ascenseurs entretenus par la société A seront entretenus par la société B l'année suivante ;
\(5%\) des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l'année suivante ;
les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés A et B.
On note \(a_n\) la proportion d'ascenseurs entretenus par la société A pendant l'année \((2017+n)\). De même, on note \(b_n\) la proportion d'ascenseurs entretenus par la société B lors de l'année \((2017+n)\). On a donc \(a_0=0{,}3\) et \(b_0=0{,}7\).
1. Calculer \(a_1\). Interpréter le résultat.
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Se connecter2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a
puis en déduire que
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Se connecter3. Déterminer l'expression de \(a_n\) en fonction de \(n\).
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Se connecter4. Déterminer la limite de la suite \((a_n)\) et l'interpréter avec le contexte.
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Se connecterD'après Bac 2018
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On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un entretien annuel doit être réalisé. Deux sociétés d'ascensoristes, notées A et B, se partagent ce travail. En 2017, la société A entretient \(30%\) des ascenseurs. On estime que, chaque année :
\(3%\) des ascenseurs entretenus par la société A seront entretenus par la société B l'année suivante ;
\(5%\) des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l'année suivante ;
les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés A et B.
On note \(a_n\) la proportion d'ascenseurs entretenus par la société A pendant l'année \((2017+n)\). De même, on note \(b_n\) la proportion d'ascenseurs entretenus par la société B lors de l'année \((2017+n)\). On a donc \(a_0=0{,}3\) et \(b_0=0{,}7\).
1. Calculer \(a_1\). Interpréter le résultat.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a
puis en déduire que
3. Déterminer l'expression de \(a_n\) en fonction de \(n\).
4. Déterminer la limite de la suite \((a_n)\) et l'interpréter avec le contexte.
D'après Bac 2018
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