Exercice écrit
Exercice 17 — Transformation de Fourier discrète
Exercice
La transformée de Fourier discrète est un outil mathématique utilisé en traitement du signal.
On pose \(\displaystyle\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}\), avec \(n\geqslant2\), et on considère une séquence de \(n\) nombres complexes \((x_0\,;x_1\,;\ldots\,;x_{n-1})\). La transformée de Fourier discrète de \((x_0\,;x_1\,;\ldots\,;x_{n-1})\) est \((X_0\,;X_1\,;\ldots\,;X_{n-1})\) avec \[X_\ell=\sum_{k=0}^{n-1}x_k\,\omega^{-k\ell}\qquad\text{pour}\ \text{}0\leqslant\ell\leqslant n-1.\]
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Déterminer la transformée de Fourier de \((x_0\,;x_1\,;x_2)\).
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La transformée de Fourier discrète est un outil mathématique utilisé en traitement du signal.
On pose \(\displaystyle\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}\), avec \(n\geqslant2\), et on considère une séquence de \(n\) nombres complexes \((x_0\,;x_1\,;\ldots\,;x_{n-1})\). La transformée de Fourier discrète de \((x_0\,;x_1\,;\ldots\,;x_{n-1})\) est \((X_0\,;X_1\,;\ldots\,;X_{n-1})\) avec \[X_\ell=\sum_{k=0}^{n-1}x_k\,\omega^{-k\ell}\qquad\text{pour}\ \text{}0\leqslant\ell\leqslant n-1.\]
Premier cas particulier : \(n=2\). Déterminer la transformée de Fourier de \((x_0\,;x_1)\).
Deuxième cas particulier : \(n=3\).
Déterminer la transformée de Fourier de \((x_0\,;x_1\,;x_2)\).
En déduire la transformée de Fourier de \((1\,;0\,;1)\).
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