BAC Antilles-Guyane, 19 juin 2014 – extrait

Soit la suite \((u_n)\) définie par \[u_0=2,\qquad u_{n+1}=\frac15u_n+3\times0,5^n.\]

1. 1. On considère la fonction Python suivante.

      def suite(N):
          u = 2
          print(0, round(u,2))
          for n in range(N):
              u = u/5 + 3*0.5**n
              print(n+1, round(u,2))

      Aide Python. round(u, 2) renvoie la valeur de u arrondie à 2 décimales, c’est-à-dire au centième. Python peut ne pas afficher un zéro final inutile ; par exemple, round(3.456, 2) renvoie 3.46.

      Compléter, à l’aide de la calculatrice, le tableau ci-dessous obtenu par l’exécution de suite(8).

      \(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
      \(u_n\)	2

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   2. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite \((u_n)\).

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2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul, \[u_n\ge\frac{15}{4}\times0,5^n.\]

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   2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul, \[u_{n+1}-u_n\le0.\]

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