Exercice écrit

BAC Centres étrangers, 10 juin 2015, 7 points

BAC — sujet officiel

Centres étrangers 10 juin 2015 7 points Raisonnement par récurrence / suites

BAC Centres étrangers, 10 juin 2015, 7 points

Soit \(a\) un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite \(\left(u_n\right)\) définie par :

\[u_0 = a\quad \text{et, pour tout}\: n\: \text{de}\:\: \mathbb{N},\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\]

On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : \(u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)\).

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Soit \(g\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par

\[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]
1. Calculer \(g '(x)\) et prouver que, pour tout réel \(x\) : \(g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)\).
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2. Déterminer les variations de la fonction \(g\) et donner la valeur de son minimum.
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3. En remarquant que \(u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)\), étudier le sens de variation de la suite \(\left(u_n\right)\).
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Dans cette question, on suppose que \(a \leqslant 0\).
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant 0\).
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2. Déduire des questions précédentes que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.
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3. Dans le cas où \(a\) vaut \(0\), donner la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
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Dans cette question, on suppose que \(a > 0\).

La suite \(\left(u_n\right)\) étant croissante, la question 1. permet d’affirmer que, pour tout entier naturel \(n\),\(u_n\geqslant a\).
1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)\).
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2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :
  
  \(u_n \geqslant a + n \times g(a)\).
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3. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).
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Dans cette question, on prend \(a=0,02\).

On souhaite déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n>M\), où \(M\) désigne un réel strictement positif.

On considère la fonction Python suivante, incomplète :
```
from math import exp

def seuil(M):
    u = 0.02
    n = 0
    while .......... :
        ..............
        ..............
    return n
```
1. Recopier cette fonction sur la copie et compléter les lignes manquantes.
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2. À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur renvoyée par cette fonction lorsque \(M=60\).
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