Exercice écrit

BAC Asie, 20 juin 2012, 5 points

BAC — sujet officiel

Asie 20 juin 2012 5 points Raisonnement par récurrence / suites

BAC Asie, 20 juin 2012, 5 points

On considère la fonction Python suivante.
```
from math import sqrt

def moyennes(a, b, N):
    u = a
    v = b
    for _ in range(N):
        u = (a + b)/2
        v = sqrt((a**2 + b**2)/2)
        a = u
        b = v
    return u, v
```
Recopier et compléter le tableau suivant en exécutant la fonction pour \(a=4\), \(b=9\) et \(N=2\). Les valeurs de \(u\) et \(v\) seront arrondies au millième.

\(n\) \(a\) \(b\) \(u\) \(v\)

Dans la suite, \(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(0<a<b\).

On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par

\[u_0=a,\qquad v_0=b,\]

et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2} \qquad\text{et}\qquad v_{n+1}=\sqrt{\frac{u_n^2+v_n^2}{2}}.\]
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1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n>0\quad\text{et}\quad v_n>0.\]
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2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\left(\frac{u_n-v_n}{2}\right)^2.\]
  
  En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \[u_n\le v_n.\]
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1. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
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2. Comparer \(v_{n+1}^2\) et \(v_n^2\). En déduire le sens de variation de la suite \((v_n)\).
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Démontrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes.
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