Un point indique une position. Un vecteur décrit un déplacement : deux flèches de mêmes direction, sens et longueur représentent le même vecteur, même si leurs départs diffèrent. Le vecteur nul \(\vec0=\overrightarrow{AA}\) a une longueur nulle, sans direction ni sens. La relation de Chasles traduit l’enchaînement : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Une base du plan est un couple ordonné \((\vec i,\vec j)\) de deux vecteurs non colinéaires. Un repère \((O;\vec i,\vec j)\) ajoute à cette base une origine \(O\). La base est orthonormée si ses deux vecteurs sont perpendiculaires et ont chacun pour norme \(1\) dans l’unité de longueur choisie.

Tout vecteur se décompose de façon unique sous la forme \(\vec u=x\vec i+y\vec j\). Les réels \(x\) et \(y\) sont ses coordonnées, notées \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) ou \(\vec u(x;y)\) : abscisse d’abord, ordonnée ensuite. La colonne n’est pas une fraction. Le point \(M(x;y)\) est défini par \(\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j\).

Dans une base \((\vec i,\vec j)\), chaque vecteur possède exactement un couple de coordonnées. Démonstration. Représentons-le par \(\overrightarrow{OM}\). La parallèle à \(\vec j\) passant par \(M\) coupe l’axe de \(\vec i\) en un unique point \(H\), puisque les deux directions sont distinctes. Sur les axes orientés, on écrit de façon unique \(\overrightarrow{OH}=x\vec i\) et \(\overrightarrow{HM}=y\vec j\). Chasles donne \(\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j\). Une autre décomposition imposerait une autre intersection avec la même parallèle, ce qui est impossible. On utilise les propriétés antérieures des parallèles du plan. \(\square\) Ainsi, deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs deux coordonnées sont égales. Le vecteur nul a pour coordonnées \(\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\).

Repérer d’abord les unités et les sens des deux axes, puis le départ et l’arrivée. Pour lire une flèche, décomposer le déplacement en \(x\vec i\) puis \(y\vec j\). Pour représenter \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), choisir un départ, effectuer ces deux déplacements, puis tracer la flèche du départ à l’arrivée. Les nombres sont signés ; on compte des unités de base, pas nécessairement des carreaux. Contrôler en refaisant les deux déplacements.

Dans un repère, pour \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\),

Pour \(A(-3;5)\) et \(B(4;-2)\),

\(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\) : ses deux coordonnées sont opposées. De plus, \(\overrightarrow{AB}=\vec0\) si et seulement si \(A=B\). En effet, les différences sont toutes deux nulles exactement lorsque les abscisses et les ordonnées des deux points sont égales.

Si \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\), écrire départ \(+\) déplacement \(=\) arrivée :

Dans une même base, si \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\) et \(k\) est réel,

Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\),

La norme d’un vecteur \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), notée \(\left\lVert \vec u\right\rVert\), est la longueur \(AB\). Elle ne dépend pas du représentant choisi et est positive ou nulle. Ne pas confondre le vecteur \(\overrightarrow{AB}\), la longueur \(AB\) et son carré \(AB^2\).

Dans une base orthonormée, pour \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\),

Vérifier d’abord l’orthonormalité, calculer les deux différences, leurs carrés et leur somme. Pour obtenir la longueur, prendre enfin la racine ; conserver la valeur exacte avant d’arrondir.

Pour comparer des longueurs positives ou nulles, comparer leurs carrés suffit. En effet, \(b^2-a^2=(b-a)(b+a)\) a le même signe que \(b-a\) lorsque \(b+a>0\) ; le seul autre cas est \(a=b=0\). On évite ainsi des approximations inutiles.

Dans un repère seulement orthogonal avec \(\left\lVert \vec i\right\rVert=2\) et \(\left\lVert \vec j\right\rVert=1\) centimètres, le vecteur \((1;1)\) a pour norme \(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\) centimètres, pas \(\sqrt2\). Les coordonnées ne sont pas directement des longueurs. De même, \(\sqrt{9+16}=5\), et non \(3+4\) : la racine ne se distribue pas sur une somme.

Le milieu \(I\) de \([AB]\) est le point de ce segment tel que \(IA=IB\). Si \(A=B\), le milieu est ce point. La seule égalité \(IA=IB\) ne suffit pas sans l’appartenance au segment : un sommet de triangle isocèle peut être équidistant de \(A\) et \(B\).

Les quatre affirmations suivantes sont équivalentes :

Dans un repère, le milieu de \([AB]\) est

Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(B\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(I\). Écrire d’abord les deux équations du milieu, puis isoler les inconnues : \(x_B=2x_I-x_A\) et \(y_B=2y_I-y_A\).

Exemple. Avec \(I(2;-1)\) et \(A(-4;3)\),

Pour un quadrilatère non aplati, avec les sommets dans l’ordre \(A,B,C,D\) :

\(A(0;0)\), \(B(4;0)\) et \(C(4;3)\) sont trois sommets successifs. Pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme, on impose \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) :

Piège : pour l’ordre \(ABCD\), on compare \(\overrightarrow{AB}\) à \(\overrightarrow{DC}\), pas à \(\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}\). Commencer par un croquis de l’ordre des sommets.

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est un multiple de l’autre : il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) ou \(\vec u=k\vec v\). Deux vecteurs non nuls sont donc colinéaires s’ils ont la même direction, sans nécessairement avoir le même sens ni la même longueur. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, puisque \(\vec0=0\vec v\) ; il n’a pas de direction.

Si \(\vec u\ne\vec0\), alors \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\). Ce coefficient est unique, y compris si \(\vec v=\vec0\) (alors \(k=0\)). Démonstration. Une égalité \(\vec v=k\vec u\) suffit par définition. Inversement, si la définition donne \(\vec u=t\vec v\), alors \(t\ne0\) puisque \(\vec u\ne\vec0\) ; on obtient \(\vec v=(1/t)\vec u\). Enfin, au moins une coordonnée de \(\vec u\) est non nulle : l’égalité sur cette coordonnée détermine un seul coefficient par division. \(\square\) Vigilance : si \(\vec u=\vec0\) et \(\vec v\ne\vec0\), les vecteurs sont colinéaires, mais aucune égalité \(\vec v=k\vec u\) n’est possible. L’hypothèse ne peut pas être supprimée.

Dans la base orthonormée choisie, si \(\vec u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\),

Sens direct. Si \(\vec u\ne\vec0\) et les vecteurs sont colinéaires, on écrit \(\vec v=k\vec u\), donc \(x'=kx\) et \(y'=ky\). Alors

• Si \(x\ne0\), l’égalité donne \(xy'=yx'\), puis \(y'=(x'/x)y\) en divisant par \(x\ne0\). Avec \(k=x'/x\), on a \(kx=x'\) et \(ky=y'\) : donc \(\vec v=k\vec u\).

• Si \(x=0\), alors \(y\ne0\). L’égalité devient \(-yx'=0\), donc \(x'=0\) après division par \(-y\ne0\). Avec \(k=y'/y\), on a \(kx=0=x'\) et \(ky=y'\) : de nouveau \(\vec v=k\vec u\).

Les deux cas couvrent tous les vecteurs non nuls. On a construit le coefficient commun, ce qui prouve la réciproque, y compris lorsqu’une coordonnée est nulle. \(\square\) La preuve n’utilise pas l’orthonormalité : le test \(xy'-yx'=0\) reste valable dans une base quelconque. L’orthonormalité est nécessaire aux formules usuelles de longueur.

Voie de référence : le déterminant. Écrire les coordonnées dans le bon ordre, calculer \(xy'\) et \(yx'\) en parenthésant les négatifs, puis soustraire. Zéro signifie colinéaires ; un résultat non nul signifie non colinéaires. Cette voie ne comporte aucune division.

Alternative : un coefficient simple. Traiter d’abord le vecteur nul. Sinon choisir un vecteur de référence non nul, trouver le coefficient avec une coordonnée non nulle, puis le tester sur l’autre coordonnée. Un quotient à dénominateur nul est interdit. Le coefficient contrôle aussi le résultat du déterminant et indique le sens relatif.

Pour \(\vec u=\begin{pmatrix}3/4\\-2/5\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}-15/8\\1\end{pmatrix}\),

Des points sont alignés si une même droite les contient. Deux droites du plan sont parallèles si elles sont confondues ou n’ont aucun point commun. Ici, le mot est pris au sens large. Elles sont strictement parallèles si elles sont parallèles et distinctes. Une droite \((AB)\) n’est définie par ses deux points que si \(A\ne B\).

Si \(A\ne B\),

Choisir deux points distincts, puis calculer de préférence \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), de même origine. Tester leur colinéarité et conclure sur les points. Comparer \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) ne donne aucune information sur un troisième point \(C\).

Pour \(A(-2;1)\), \(B(1;3)\) et \(C(4;5)\), on a \(A\ne B\) et

Si \(A\ne B\) et \(C\ne D\),

Sous les hypothèses \(A\ne B\), \(C\ne D\) et \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0\) :

• si \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\), les droites sont confondues ;

• sinon, elles sont strictement parallèles.

Démonstration. Le second test décide si \(C\) appartient à \((AB)\). Si oui, les deux parallèles passent par \(C\) et sont la même droite. Sinon, elles sont distinctes, puisqu’un point de \((CD)\) n’appartient pas à \((AB)\). \(\square\)

Vérifier les deux paires de points distincts. Calculer un vecteur porté par chaque droite et tester leur colinéarité. Pour préciser « strictement parallèles » ou « confondues », faire un second test, d’alignement cette fois, avec \(A,B,C\). L’égalité des deux vecteurs suffit pour la direction, mais n’est pas nécessaire.

Pour \(A(-2;0)\), \(B(1;2)\), \(C(-1;3)\) et \(D(2;5)\), les deux paires sont distinctes.

Partir de la conclusion cherchée : une longueur, un milieu, un alignement ou un parallélisme. Choisir la propriété adaptée aux données. Si une lettre figure dans les coordonnées, écrire d’abord la condition géométrique, résoudre l’équation obtenue, puis remplacer la valeur dans les données initiales. Si une configuration géométrique suffit, un repère est inutile.

Pour quelle valeur du réel \(t\), les vecteurs \(\vec u=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec v=\begin{pmatrix}t\\4\end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ? La condition équivaut à

Dans un repère orthonormé, \(A(0;0)\), \(B(3;1)\) et \(C(2;4)\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}=(3;1)\) et \(\overrightarrow{AC}=(2;4)\) ont pour déterminant \(3\times4-1\times2=10\ne0\) : les trois points forment un triangle non aplati.

Dans un triangle non aplati \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([AC]\). Montrons que \((IJ)\parallel(BC)\).

Géométrie : le théorème des milieux, connu du collège, donne directement le parallélisme. C’est la voie la plus courte avec ces données.

Vecteurs sans repère : par Chasles et les caractérisations des milieux,

Coordonnées : le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) est possible car le triangle est non aplati. On a \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\), puis \(I(\frac12;0)\) et \(J(0;\frac12)\). Donc \(\overrightarrow{IJ}=(-\frac12;\frac12)=\frac12(-1;1)=\frac12\overrightarrow{BC}\). Ce repère n’est pas nécessairement orthonormé : cela convient pour les milieux et la colinéarité, mais pas pour appliquer les formules usuelles de longueur.

# Domaine annonce : les six coordonnees sont des entiers.
def coord(ax, ay, bx, by):
    return bx - ax, by - ay


def det(ax, ay, bx, by, cx, cy):
    ux, uy = coord(ax, ay, bx, by)
    vx, vy = coord(ax, ay, cx, cy)
    p = ux * vy
    q = uy * vx
    d = p - q
    return d


def alignes(ax, ay, bx, by, cx, cy):
    return det(ax, ay, bx, by, cx, cy) == 0

coord renvoie deux nombres ; det renvoie le déterminant ; alignes renvoie True (vrai) ou False (faux). Les six arguments sont donnés dans l’ordre \(a_x,a_y,b_x,b_y,c_x,c_y\). \(=\) affecte une valeur à une variable ; == compare deux valeurs sans les modifier. return renvoie le résultat et termine l’appel. Les coordonnées d’entrée ne changent pas.

Pour \(A(-3;2)\), \(B(1;-1)\), \(C(5;-4)\), on appelle alignes(-3, 2, 1, -1, 5, -4).

Les points sont alignés. Contrôle indépendant : \(\overrightarrow{AC}=(8;-6)=2(4;-3)=2\overrightarrow{AB}\). Une variable locale reçoit sa valeur à sa ligne d’affectation ; la ligne de d doit venir après celles de p et de q.

Pour \(\vec u=(x;y)\), \(\vec v=(x';y')\) dans une même base et un réel \(k\) :

• Une coordonnée peut être négative ; une norme ne l’est jamais.

• Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs, mais ne donne pas une direction.

• Le déterminant ne comporte pas de division : les coordonnées nulles sont autorisées.

• Pour \((AB)\) et \((CD)\), exiger \(A\ne B\) et \(C\ne D\) avant de conclure au parallélisme.

• Un déterminant nul signifie colinéarité, pas égalité ; un déterminant non nul ne signifie pas perpendicularité.

• La formule du milieu fonctionne dans tout repère. Les formules de longueur exigent un repère orthonormé. Un dessin ou un arrondi ne remplace pas une justification exacte.