Second degré — Cours en classe

Le fil du chapitre

Reconnaître une fonction du second degré ; construire une forme canonique ; expliquer le sommet et les variations ; résoudre une équation ; factoriser ; construire un tableau de signes ; choisir une forme adaptée pour une lecture graphique ou un problème.

Trois vigilances à conserver

\((-2)^2=4\) mais \(-2^2=-4\). On ne divise pas une équation par une expression qui pourrait être nulle : factoriser \(x(x-3)=0\) conserve la solution \(x=0\). Enfin, multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif en inverse le sens.

Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \[\boxed{f(x)=ax^2+bx+c},\quad a,b,c\in\mathbb R,\quad a\ne0.\] C’est la forme développée réduite. \(a\) est le coefficient dominant, \(b\) le coefficient de \(x\) et \(c\) le terme constant. Sa courbe représentative est appelée une parabole.

Racine ou zéro

Un réel \(r\) est une racine de \(f\) si \(f(r)=0\). Les racines sont les antécédents de zéro. Graphiquement, ce sont les abscisses des points où la parabole coupe ou touche l’axe des abscisses.

Exemple – trois questions pour \(f(x)=x^2-4\)

L’image de \(3\) est \(f(3)=9-4=5\). \[f(x)=5\iff x^2=9\iff x=-3\text{ ou }x=3;\] \[f(x)=0\iff x^2=4\iff x=-2\text{ ou }x=2.\] Les antécédents de \(5\) ne sont donc pas les racines de \(f\).

Lire les racines dans les facteurs

Si \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\), avec \(a\ne0\) et \(r_1,r_2\in\mathbb R\), les racines sont \(r_1,r_2\). Si \(r_1=r_2=r\), on écrit \(f(x)=a(x-r)^2\) ; \(r\) est une racine double, mais une seule valeur solution.

Résoudre avant d’utiliser une formule générale

Repérer d’abord un produit déjà égal à zéro, un facteur commun, une différence de carrés ou un carré à isoler. Conserver la structure qui rend la résolution directe.

Exemples – quatre structures à reconnaître

Produit déjà nul : \[-3(2x-1)(x+4)=0\iff 2x-1=0\text{ ou }x+4=0,\] donc \(S=\{-4;\frac12\}\), car \(-3\ne0\).

Facteur commun : \[\begin{aligned}3x^2-12x\\ &= 3x(x-4),\quad 3x(x-4)\\ &= 0\\ &\iff x\\ &= 0\text{ ou }x\\ &= 4.\end{aligned}\] Diviser tout de suite par \(x\) ferait perdre la solution \(0\).

Différence de carrés : \[(x-2)^2-16=[(x-2)-4][(x-2)+4]=(x-6)(x+2).\] L’équation correspondante a pour solutions \(6\) et \(-2\).

Carré à isoler : \[\begin{aligned}2(3x-1)^2-18\\ &= 0\\ &\iff (3x-1)^2\\ &= 9\\ &\iff 3x-1\\ &= 3\text{ ou }3x-1\\ &= -3.\end{aligned}\] Ainsi \(S=\{-\frac23;\frac43\}\). Les deux branches sont nécessaires.

Piège / erreur fréquente

Le produit nul s’utilise seulement avec un produit égal à zéro. De \((x-1)(x+2)=4\), on ne déduit pas qu’un facteur vaut \(4\) : il faut d’abord ramener l’équation à zéro.

Identité de complétion

Pour tous réels \(x,u\), \[\boxed{x^2+2ux=(x+u)^2-u^2}.\]

Forme canonique

Une écriture \[\boxed{f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta},\quad a\ne0,\] est appelée forme canonique. \(a\), \(\alpha\) et \(\beta\) sont des constantes. Ainsi, dans \(-2(x+1)^2+18\), on lit \(a=-2\), \(\alpha=-1\) et \(\beta=18\), puisque \(x+1=x-(-1)\).

Méthode – compléter le carré dans un cas simple

Mettre le coefficient de \(x^2\) en facteur dans les deux termes contenant \(x\). Prendre la moitié du nouveau coefficient de \(x\), fabriquer le carré, conserver sa compensation, puis distribuer le coefficient extérieur. Contrôler en redéveloppant.

Exemple – coefficient dominant égal à \(1\)

Pour \(f(x)=x^2-8x+11\), la moitié de \(-8\) est \(-4\) : \[(x-4)^2=x^2-8x+16,\] \[\begin{aligned}f(x)&=(x-4)^2-16+11\\&=\boxed{(x-4)^2-5}.\end{aligned}\] Contrôle : \((x-4)^2-5=x^2-8x+16-5=x^2-8x+11\).

Exemple – coefficient dominant négatif

Pour \(g(x)=-2x^2+12x-13\), on factorise \(-2\) : \[\begin{aligned}g(x)&=-2(x^2-6x)-13\\&=-2[(x-3)^2-9]-13\\&=-2(x-3)^2+18-13\\&=\boxed{-2(x-3)^2+5}.\end{aligned}\] On prend la moitié de \(-6\), non celle de \(12\). La compensation \(-9\) est multipliée par \(-2\), d’où \(+18\). Contrôle : \(-2(x^2-6x+9)+5=-2x^2+12x-13\).

Toute fonction du second degré admet une unique forme canonique

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\ne0\), \[\boxed{f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}}.\] Donc \(\alpha=-\frac b{2a}\) et \(\beta=\frac{4ac-b^2}{4a}=f(\alpha)\).

Démonstration – existence de la forme canonique

Comme \(a\ne0\), on peut mettre \(a\) en facteur et diviser par \(a\) : \[f(x)=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c.\] La moitié du coefficient \(b/a\) est \(b/(2a)\). L’identité de complétion donne \[x^2+\frac ba x=\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}.\]

Démonstration – suite

On remplace, distribue \(a\) puis regroupe les constantes : \[\begin{aligned}f(x)&=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\\&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c\\&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}.\end{aligned}\] On a utilisé \(c=4ac/(4a)\) ; tous les dénominateurs sont non nuls. Les transformations sont des identités valables pour tout réel \(x\).

Démonstration – pourquoi une seule forme canonique ?

Développer une écriture \(a(x-\alpha)^2+\beta\) donne \[ax^2-2a\alpha x+a\alpha^2+\beta.\] Pour qu’elle soit égale à \(ax^2+bx+c\) pour tout \(x\), il faut \(-2a\alpha=b\). Puisque \(a\ne0\), cela impose \(\alpha=-b/(2a)\). Ensuite \(f(\alpha)=\beta\) impose aussi \(\beta\).

Comparer les coefficients est légitime : la différence des deux écritures, une fois les termes \(ax^2\) annulés, est affine. Si \(Ux+V=0\) pour tout \(x\), la substitution \(x=0\) donne \(V=0\), puis \(x=1\) donne \(U=0\).

Remarque

La formule générale explique l’existence de cette écriture et prépare la résolution générale. Pour les calculs courants, privilégier la complétion du carré dans des cas simples plutôt qu’un remplacement systématique des coefficients dans les formules fractionnaires.

Théorème

La parabole a pour sommet \(S(\alpha;\beta)\) et pour axe de symétrie la droite \(x=\alpha\). Sur \(\mathbb R\), si \(a>0\), \(\beta\) est le minimum de \(f\) ; si \(a<0\), \(\beta\) est son maximum. Il est atteint uniquement en \(x=\alpha\).

Démonstration – extremum et symétrie

Le carré \((x-\alpha)^2\) est positif ou nul et ne s’annule qu’en \(\alpha\). Si \(a>0\), \(a(x-\alpha)^2\ge0\), donc \(f(x)\ge\beta\). Si \(a<0\), la multiplication inverse le sens : \(a(x-\alpha)^2\le0\), donc \(f(x)\le\beta\). L’égalité est atteinte exactement en \(\alpha\) puisque \(a\ne0\).

Pour tout réel \(h\), \[\begin{aligned}f(\alpha-h)\\ &= a(-h)^2+\beta\\ &= ah^2+\beta\\ &= f(\alpha+h).\end{aligned}\] Les deux points ont des abscisses symétriques par rapport à \(\alpha\) et la même ordonnée : l’axe est \(x=\alpha\).

Démonstration – comparer les carrés puis regarder le signe de \(a\)

Avant \(\alpha\). Si \(u<v\le\alpha\), alors \(u-\alpha<v-\alpha\le0\). Le carré étant décroissant sur les nombres négatifs, \[(u-\alpha)^2>(v-\alpha)^2.\] Pour \(a>0\), multiplier par \(a\) puis ajouter \(\beta\) donne \(f(u)>f(v)\) : \(f\) décroît. Pour \(a<0\), la multiplication inverse le sens, donc \(f(u)<f(v)\) : \(f\) croît.

Après \(\alpha\). Si \(\alpha\le u<v\), alors \(0\le u-\alpha<v-\alpha\). Le carré est croissant sur les nombres positifs : \[(u-\alpha)^2<(v-\alpha)^2.\] Pour \(a>0\), on obtient \(f(u)<f(v)\) : \(f\) croît. Pour \(a<0\), on obtient \(f(u)>f(v)\) : \(f\) décroît.

Méthode

Écrire le domaine. Déterminer \(\alpha\) et calculer \(\beta=f(\alpha)\). Regarder le signe de \(a\) pour fixer les sens de variation. Calculer les images des bornes finies et ne garder que les parties situées dans le domaine. Placer les nombres avant les flèches ; conclure sur les extrema effectivement atteints.

Exemple de référence – \(f(x)=2x^2+8x+3\)

\[\begin{aligned}f(x)&=2(x^2+4x)+3\\&=2[(x+2)^2-4]+3\\&=2(x+2)^2-5.\end{aligned}\]

Exemple de référence – suite

On lit \(a=2>0\), \(\alpha=-2\), \(\beta=-5\). Contrôle : \(f(-2)=8-16+3=-5\).

Le domaine et le sens des mots comptent

Une borne exclue ne fournit pas automatiquement un extremum : sur \(]0;2[\), \(x^2\) vérifie \(0<x^2<4\) sans atteindre ni \(0\) ni \(4\). Par ailleurs, croissant ne signifie pas positif : les variations comparent deux images, tandis que le signe compare une image à zéro.

Définition

Le discriminant est le nombre \[\boxed{\Delta=b^2-4ac}.\] Puisque \(4ac-b^2=-\Delta\), la forme canonique donne \[\boxed{\beta=-\frac{\Delta}{4a}},\quad\boxed{f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}}.\]

Démonstration – résoudre à partir de la forme canonique

On suppose \(a,b,c\in\mathbb R\) et \(a\ne0\). Pour tout réel \(x\) : \[\begin{aligned}f(x)=0&\iff a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a}=0\\&\iff a\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac\Delta{4a}\\&\iff4a^2\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\Delta\\&\iff(2ax+b)^2=\Delta.\end{aligned}\] La multiplication par \(4a\ne0\) est réversible, même si \(a\) est négatif : il s’agit d’une égalité. On a utilisé \((2a)^2=4a^2\) et \(2a(x+b/(2a))=2ax+b\).

Si \(\Delta<0\), un carré réel ne peut pas être égal à un nombre négatif : aucune solution réelle.

Si \(\Delta=0\), on a \(2ax+b=0\), puis \(2ax=-b\). Diviser par \(2a\ne0\) donne la seule solution \(x_0=-b/(2a)\).

Si \(\Delta>0\), on a \(2ax+b=-\sqrt\Delta\) ou \(2ax+b=\sqrt\Delta\). Soustraire \(b\) puis diviser par \(2a\ne0\) donne \[\boxed{x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\quad\text{et}\quad x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}}.\] Ces deux valeurs sont distinctes puisque \(\sqrt\Delta>0\). Toutes les transformations sont réversibles : aucune solution n’est perdue ni ajoutée.

Résultat – solutions réelles d’une équation du second degré

Pour \(ax^2+bx+c=0\), \(a\ne0\) : \[\begin{array}{r|l}\Delta<0&S=\varnothing\\\Delta=0&S=\left\{-\frac b{2a}\right\}\quad(\text{racine double})\\\Delta>0&S=\left\{\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a};\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right\}.\end{array}\]

Méthode

Tout ramener dans un même membre égal à zéro. Identifier \(a,b,c\) et vérifier \(a\ne0\). Calculer \(\Delta\) avec les signes des coefficients. Choisir le cas avant d’écrire une racine carrée réelle. Calculer séparément \(-b\), \(2a\) et \(\sqrt\Delta\) si elle existe. Simplifier les fractions obtenues, conclure et contrôler.

Exemple – deux racines rationnelles

Pour \(3x^2+5x-2=0\), \(a=3\), \(b=5\), \(c=-2\) : \[\Delta=5^2-4\times3\times(-2)=25-(-24)=49.\] Donc \(\sqrt\Delta=7\), \(-b=-5\), \(2a=6\) : \[\begin{aligned}x_1\\ &= \frac{-5-7}{6}\\ &= -2,\quad x_2\\ &= \frac{-5+7}{6}\\ &= \frac13.\end{aligned}\] Contrôles : \(3(-2)^2+5(-2)-2=12-10-2=0\) et \[3\left(\frac13\right)^2+\frac53-2=\frac13+\frac53-\frac63=0.\]

Exemple – deux racines irrationnelles

Pour \(3x^2-2x-2=0\), \[\begin{aligned}\Delta\\ &= (-2)^2-4\times3\times(-2)\\ &= 28,\quad\sqrt{28}\\ &= 2\sqrt7.\end{aligned}\] Ainsi \[\begin{aligned}x_- \\ &= \frac{2-2\sqrt7}{6}\\ &= \frac{1-\sqrt7}{3},\quad x_+\\ &= \frac{2+2\sqrt7}{6}\\ &= \frac{1+\sqrt7}{3}.\end{aligned}\] On simplifie par \(2\) parce qu’il est facteur du numérateur entier ; les solutions restent exactes.

Les deux autres cas

Pour \(9x^2+12x+4=0\), \(\Delta=144-144=0\) et \(x_0=-12/18=-2/3\). On retrouve \((3x+2)^2=0\). Pour \(2x^2+2x+3=0\), \(\Delta=4-24=-20<0\) : aucune solution réelle. La forme \(2(x+\frac12)^2+\frac52>0\) explique aussi cette impossibilité.

L’ordre des racines n’est pas donné par leur nom

Pour \(-2x^2-3x+2=0\), \(\Delta=25\) et \(2a=-4\). Les formules donnent \((3-5)/(-4)=1/2\) et \((3+5)/(-4)=-2\). Avant un tableau, les ranger : \(-2<1/2\).

Théorème

Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\ne0\). Si \(\Delta>0\) et les racines sont \(x_1,x_2\), alors \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\). Si \(\Delta=0\) et la racine double est \(x_0\), alors \(f(x)=a(x-x_0)^2\). Si \(\Delta<0\), il n’existe pas de factorisation en deux facteurs du premier degré à coefficients réels.

Démonstration – réutiliser une différence de carrés

On sait que \[f(x)=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right].\] Si \(\Delta>0\), écrire \(\Delta/(4a^2)=(\sqrt\Delta/(2a))^2\) permet de factoriser : \[\begin{aligned}f(x)&=a\left(x+\frac b{2a}-\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x+\frac b{2a}+\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\\&=a\left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\right).\end{aligned}\] Ce sont les facteurs associés aux racines, à l’ordre près. Si \(\Delta=0\), la forme canonique est déjà \(a(x-x_0)^2\). Si \(\Delta<0\), un produit de deux facteurs affines réels non constants s’annulerait à leurs racines, contrairement à l’absence de solution réelle.

Méthode – ne pas oublier le coefficient dominant

Après le calcul des racines, écrire \(a(x-r_1)(x-r_2)\) ou \(a(x-r)^2\). Une racine \(-2\) donne le facteur \(x+2\). Contrôler en développant : avoir les mêmes racines ne suffit pas pour avoir la même fonction.

Exemple de référence

Pour \(3x^2+5x-2\), les racines \(-2\) et \(1/3\) donnent \[3x^2+5x-2=3(x+2)\left(x-\frac13\right)=(x+2)(3x-1).\] Contrôle : \((x+2)(3x-1)=3x^2-x+6x-2=3x^2+5x-2\). Omettre le facteur \(3\) devant \((x+2)(x-\frac13)\) changerait le coefficient de \(x^2\).

Théorème

Si \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\ne0\), possède des racines réelles \(x_1,x_2\), comptées deux fois en cas de racine double, alors \[\boxed{x_1+x_2=-\frac ba},\quad\boxed{x_1x_2=\frac ca}.\]

Démonstration – développer puis comparer

\[\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=a[x^2-x_2x-x_1x+x_1x_2]\\&=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2.\end{aligned}\] La comparaison avec \(ax^2+bx+c\) donne \(-a(x_1+x_2)=b\) et \(ax_1x_2=c\). Diviser par \(-a\ne0\) puis par \(a\ne0\) donne les deux formules. La même preuve s’applique lorsque \(x_1=x_2\).

Une racine évidente puis l’autre

Tester quelques valeurs simples quand les coefficients s’y prêtent. Si \(r\) est une racine connue, l’autre vérifie \(r+s=-b/a\) et \(rs=c/a\). La somme donne toujours \(s=-b/a-r\). Utiliser le produit pour diviser par \(r\) exige \(r\ne0\).

Exemple de référence

Pour \(P(x)=2x^2+x-3\), \(P(1)=2+1-3=0\). Le produit des racines vaut \(-3/2\) : l’autre racine est \(-3/2\). \[P(x)=2(x-1)\left(x+\frac32\right)=(x-1)(2x+3).\] Le développement donne \(2x^2+3x-2x-3=2x^2+x-3\). Si la racine connue est \(0\), le produit ne détermine pas l’autre racine : pour \(4x^2-6x\), utiliser la somme \(3/2\), ou factoriser directement \(2x(2x-3)\).

Reconnaître deux racines par leur somme et leur produit

Pour un trinôme dont les coefficients s’y prêtent, chercher une paire simple ayant la somme \(-b/a\) et le produit \(c/a\). Vérifier la factorisation obtenue par développement : la recherche d’une paire est un repérage, pas à elle seule une preuve.

Exemple de référence

Pour \(x^2-5x+6\), les nombres \(2,3\) ont pour somme \(5\) et pour produit \(6\) ; on vérifie \[(x-2)(x-3)=x^2-5x+6.\] Pour \(x^2+x-6\), les nombres \(-3,2\) ont pour somme \(-1\) et pour produit \(-6\) ; on vérifie \[(x+3)(x-2)=x^2+x-6.\] Ne pas trouver de paire entière ne prouve pas l’absence de racines réelles.

Théorème

Le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines, du signe opposé à \(a\) entre les racines, et nul en \(r_1\) et en \(r_2\).

Démonstration – signe des facteurs

Si \(x<r_1\), les facteurs \(x-r_1\) et \(x-r_2\) sont tous deux négatifs : leur produit est positif. Si \(r_1<x<r_2\), le premier est positif et le second négatif : leur produit est négatif. Si \(x>r_2\), les deux sont positifs. Le facteur \(a\) conserve ces signes lorsqu’il est positif et les inverse lorsqu’il est négatif. Aux racines, un facteur est nul.

Méthode – construire, puis lire un tableau de signes

Identifier le domaine. Déterminer les zéros, puis ranger toutes les abscisses critiques. Inscrire les facteurs utiles et combiner les signes intervalle par intervalle. Placer les zéros sous leurs abscisses, jamais dans les intervalles. La dernière ligne donne le signe de l’expression étudiée, pas son sens de variation.

Deux racines et coefficient dominant positif

Pour \(f(x)=2x^2-5x-3\), on calcule \[\Delta=(-5)^2-4\times2\times(-3)=25+24=49.\] Les racines sont \((5-7)/4=-1/2\) et \((5+7)/4=3\). Ainsi \[f(x)=2\left(x+\frac12\right)(x-3).\] Le coefficient \(2\) est positif ; les signes des deux facteurs affines donnent ceux du trinôme.

Deux racines et coefficient dominant négatif

Pour \(g(x)=-x^2+4x+5\), \(\Delta=4^2-4(-1)(5)=36\). Les formules donnent \((-4-6)/(-2)=5\) et \((-4+6)/(-2)=-1\). On range \(-1<5\) et l’on écrit \(g(x)=-(x+1)(x-5)\).

Théorème

Si \(\Delta=0\), alors \(f(x)=a(x-r)^2\). Le trinôme a le signe de \(a\) pour \(x\ne r\) et vaut \(0\) en \(r\).

Démonstration

Le carré \((x-r)^2\) est strictement positif pour \(x\ne r\), et nul seulement pour \(x=r\). Le multiplier par \(a\ne0\) donne immédiatement le résultat. Il n’y a pas de changement de signe en traversant une racine double.

Théorème

Si \(\Delta<0\), \(f(x)\) a strictement le signe de \(a\) pour tout réel \(x\).

Démonstration

La forme canonique donne \[f(x)=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right].\] Le carré est positif ou nul. Comme \(\Delta<0\) et \(4a^2>0\), le nombre \(-\Delta/(4a^2)\) est strictement positif. Le crochet est donc strictement positif ; seul le signe de \(a\) détermine celui de \(f(x)\).

Méthode

Pour comparer deux expressions, les ramener dans un même membre sans changer l’inégalité. Étudier le signe de leur différence, puis sélectionner les intervalles. Inclure un zéro pour \(\le\) ou \(\ge\) ; l’exclure pour \(<\) ou \(>\). Intersecter enfin avec le domaine initial si celui-ci est restreint.

Exemple de référence

\[\begin{aligned}x^2+1\le4x-2&\iff x^2+1-4x+2\le0\\&\iff x^2-4x+3\le0.\end{aligned}\] Le trinôme se factorise en \((x-1)(x-3)\) ; il est négatif ou nul entre les racines, donc \(S=[1;3]\). Si l’on résout plutôt \(2x^2-5x-3\le0\) sur \([0;10]\), le premier tableau donne \([-1/2;3]\) sur \(\mathbb R\) ; la réponse demandée est \([-1/2;3]\cap[0;10]=[0;3]\).

Méthode

Un quotient est défini seulement si son dénominateur est non nul. Étudier séparément le signe du numérateur et celui du dénominateur, puis les combiner. Les zéros du dénominateur sont représentés par des doubles barres et restent toujours exclus. Ne pas multiplier une inéquation par un dénominateur de signe inconnu.

Exemple de référence

Résoudre \(\frac{x^2-x-2}{x-1}\ge0\). Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{1\}\) et \[x^2-x-2=(x+1)(x-2).\] Les points à ranger sont \(-1<1<2\). Les nombres \(-1\) et \(2\) annulent le numérateur ; \(1\) est interdit.

Piège / erreur fréquente

Une simplification ne rétablit jamais une valeur interdite : \[\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\quad\text{seulement pour }x\ne2.\] Résoudre le quotient \(>0\) donne donc \(x>-2\) et \(x\ne2\), soit \(]-2;2[\cup]2;+\infty[\). Ne pas utiliser la règle du trinôme directement sur un quotient qui n’est pas lui-même un trinôme.

Tracer à partir des informations algébriques

Repérer le coefficient \(a\) et l’orientation. Déterminer le sommet et l’axe avec la forme canonique. Trouver les racines si elles existent, puis placer \((0;c)\) et, si utile, son symétrique. Tracer une courbe respectant ces points et les variations ; vérifier les unités des axes. Un dessin indique une lecture, pas une preuve d’une valeur exacte non donnée.

Une même fonction sur trois supports

Pour \(f(x)=x^2-2x-3\), on obtient \[f(x)=(x-1)^2-4=(x-3)(x+1).\] Le sommet est \(S(1;-4)\), l’axe est \(x=1\), les racines sont \(-1\) et \(3\), et \(f(0)=-3\). Les points \(A(-1;0)\),

Exemple de référence – suite

\(B(3;0)\), \(C(0;-3)\) et \(S\) déterminent le tracé ci-dessous avec la symétrie.

Propriété

Si les racines réelles sont \(r_1,r_2\), alors l’axe est \[\boxed{x=\frac{r_1+r_2}{2}=-\frac b{2a}}.\] Plus généralement, si \(p\ne q\) et \(f(p)=f(q)\), l’axe est \(x=(p+q)/2\).

Démonstration – deux points de même ordonnée

La première formule découle de \(r_1+r_2=-b/a\) et de \(\alpha=-b/(2a)\). Pour la seconde, la forme canonique donne \[a(p-\alpha)^2+\beta=a(q-\alpha)^2+\beta.\] Comme \(a\ne0\), une différence de carrés conduit à \[(p-q)(p+q-2\alpha)=0.\] Or \(p\ne q\) : il reste \(p+q-2\alpha=0\), donc \(\alpha=(p+q)/2\).

Théorème

Si \(r\) et \(s\) sont deux réels distincts, les fonctions du second degré s’annulant en \(r\) et en \(s\) sont exactement \[\boxed{f(x)=a(x-r)(x-s),\quad a\in\mathbb R\setminus\{0\}}.\] Deux racines seules ne déterminent pas le coefficient \(a\).

Démonstration

Une telle fonction a deux racines distinctes : le théorème de factorisation impose cette écriture avec son coefficient dominant \(a\). Réciproquement, pour tout \(a\ne0\), l’expression \(a(x-r)(x-s)\) est bien du second degré et s’annule en \(r,s\).

Méthode

Écrire d’abord la forme factorisée avec \(a\) inconnu. Utiliser ensuite une image \(f(t)\) : \[f(t)=a(t-r)(t-s).\] Pour isoler \(a\), il faut \(t\ne r,s\). Si l’information supplémentaire porte seulement sur une racine déjà connue, elle ne détermine pas \(a\).

Exemple de référence

Une parabole a pour racines \(-2\) et \(4\) et vérifie \(f(0)=12\). \[\begin{aligned}f(x)\\ &= a(x+2)(x-4),\quad12\\ &= a\times2\times(-4)\\ &= -8a.\end{aligned}\] Donc \(a=-3/2\) et \[\boxed{f(x)=-\frac32(x+2)(x-4)}.\] Contrôle : \(f(-2)=f(4)=0\) et \(f(0)=12\). L’axe est \(x=(-2+4)/2=1\).

Méthode

Si le sommet est \(S(\alpha;\beta)\), partir de \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\). Un point \(A(t;u)\) avec \(t\ne\alpha\) donne \(u=a(t-\alpha)^2+\beta\) et permet de trouver \(a\). Contrôler que \(a\ne0\) et que les données sont compatibles.

Exemple de référence

Le sommet est \(S(1;-3)\) et la parabole passe par \(A(3;5)\) : \[f(x)=a(x-1)^2-3,\quad5=a(3-1)^2-3=4a-3.\] Donc \(8=4a\), puis \(a=2\) ; ainsi \(\boxed{f(x)=2(x-1)^2-3}\). Vérification : \(f(1)=-3\) et \(f(3)=8-3=5\).

Un trinôme, trois formes, plusieurs questions

\[\begin{aligned}f(x)&=2x^2+4x-16\\&=2[(x+1)^2-1]-16=2(x+1)^2-18\\&=2[(x+1)^2-9]=2(x+4)(x-2).\end{aligned}\] Pour \(f(0)\), la forme développée donne immédiatement \(-16\). Pour le minimum, la forme canonique donne \(-18\) atteint en \(-1\). Pour \(f(x)=0\), la forme factorisée donne \(-4\) et \(2\). Pour \(f(x)=-16\), la forme développée est particulièrement courte : \[2x^2+4x-16=-16\iff2x^2+4x=0\iff2x(x+2)=0.\] Donc les antécédents de \(-16\) sont \(0\) et \(-2\).

Conversions : un geste différent selon le point de départ

Développée vers canonique : compléter le carré après avoir mis \(a\) en facteur. Canonique vers développée : développer le carré puis distribuer \(a\). Factorisée vers développée : double distributivité puis réduction. Développée vers factorisée : chercher une structure ou déterminer les racines. Canonique vers factorisée : isoler le carré et exploiter une différence de carrés si des racines réelles existent. Factorisée vers canonique : le milieu des racines donne \(\alpha\), puis calculer \(\beta=f(\alpha)\), ou développer et compléter le carré.

Piège / erreur fréquente

Une forme canonique et une forme développée existent toujours pour un trinôme ; une forme factorisée réelle exige \(\Delta\ge0\). Développer trop tôt peut cacher un facteur commun ou une identité remarquable. Un résultat testé sur une seule valeur ne prouve pas que deux écritures sont identiques.

Méthode

Pour résoudre \(f(x)=k\), chercher une forme adaptée au nombre \(k\), ou résoudre \(f(x)-k=0\). Pour \(f(x)=g(x)\), développer seulement si nécessaire et réduire \(f-g\). Vérifier le degré après réduction : les termes du second degré peuvent s’annuler.

Exemple de référence

Pour \(f(x)=x^2-2x-3\) et \(g(x)=x+1\), les intersections vérifient \[\begin{aligned}f(x)=g(x)&\iff x^2-2x-3=x+1\\&\iff x^2-3x-4=0\\&\iff(x-4)(x+1)=0.\end{aligned}\] Les abscisses sont \(-1\) et \(4\). Il faut encore calculer les ordonnées : \(g(-1)=0\) et \(g(4)=5\). Les points d’intersection sont donc \(\boxed{(-1;0)\text{ et }(4;5)}\).

Piège / erreur fréquente

Étudier séparément le signe de \(f\) et celui de \(g\) ne suffit pas pour les comparer : deux valeurs peuvent être positives sans qu’on sache laquelle est la plus grande. On étudie bien \(f-g\).

Méthode

Avant tout discriminant, identifier le coefficient de \(x^2\) en fonction du paramètre et séparer les valeurs pour lesquelles il s’annule. Une division par une expression contenant le paramètre exige également de distinguer son cas nul.

Le cas frontière à traiter avant la formule

Pour \(P_t(x)=(t-1)x^2+(t+1)x-2\) :

• si \(t=1\), \(P_1(x)=2x-2\) et \(P_1(x)=0\iff x=1\) ;

• si \(t\ne1\), le coefficient \(t-1\) est non nul : les méthodes du second degré s’appliquent.

Calculer d’abord \((-b\pm\sqrt\Delta)/(2a)\) sans cette séparation ferait apparaître une division par zéro pour \(t=1\).

Méthode – du problème au maximum ou au minimum

Choisir une variable et préciser son domaine. Traduire les autres grandeurs en fonction de cette variable. Écrire la grandeur à optimiser, puis utiliser une forme canonique et un tableau de variations sur le domaine du problème. Conclure par la valeur optimale, la valeur de la variable qui la réalise et les unités. Vérifier toutes les contraintes.

Les écritures à relier, avec leurs conditions

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\ne0\) : \[\begin{aligned}f(x)\\ &= a(x-\alpha)^2+\beta,\quad\alpha\\ &= -\frac b{2a},\quad\beta\\ &= f(\alpha)\\ &= -\frac\Delta{4a},\quad\Delta\\ &= b^2-4ac.\end{aligned}\] Le sommet est \(S(\alpha;\beta)\) et l’axe est \(x=\alpha\). La résolution vient de \[\boxed{f(x)=0\iff(2ax+b)^2=\Delta}.\] Si \(\Delta>0\), les deux racines sont \((-b\pm\sqrt\Delta)/(2a)\) et \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\). Si \(\Delta=0\), \(r=-b/(2a)\) est double et \(f(x)=a(x-r)^2\). Si \(\Delta<0\), aucune racine réelle ni factorisation en deux facteurs affines réels non constants. Pour deux racines réelles comptées avec multiplicité : \(r_1+r_2=-b/a\) et \(r_1r_2=c/a\).