Trois usages du même cours

Découvrir. Suivre les sections 1 à 13 dans l’ordre. Dans chaque exemple, cacher la ligne suivante, essayer le calcul, puis comparer les opérations, pas seulement le résultat.

Reprendre une difficulté. Utiliser les encadrés « Reprendre après une erreur » et la section 15. Ils reviennent à une ligne précise, rappellent la règle puis proposent un nouvel essai corrigé.

Réviser. Consulter la table des méthodes en section 10, la synthèse en section 18 et les signets du PDF. Une formule doit toujours être relue avec ses conditions.

Ce que les quatre supports ne disent pas de la même manière

Une expression permet de calculer. Un tableau de signes indique où les valeurs sont positives, négatives ou nulles. Un tableau de variations indique comment les valeurs évoluent lorsque \(x\) augmente. Une courbe permet de relier visuellement ces informations. Le cours montrera comment passer d’un support à l’autre sans confondre leurs rôles.

Piège / erreur fréquente

\((-2)^2=4\), tandis que \(-2^2=-(2\times2)=-4\). Dans le second calcul, le carré porte sur \(2\), puis on prend l’opposé. Pour remplacer \(x\) par une valeur négative dans \(x^2\), on écrit donc des parenthèses.

Repérage puis essai guidé

Calculer \(B(-3)\) pour \(B(x)=-x^2+2x+5\). Écrire d’abord \(-(-3)^2+2\times(-3)+5\), puis traiter séparément le carré et le produit.

Correction expliquée

\[\begin{aligned} B(-3)&=-[(-3)\times(-3)]+2\times(-3)+5\\ &=-9-6+5\\ &=-15+5=-10. \end{aligned}\] Le signe placé devant le carré ne disparaît pas : \(-(-3)^2=-9\).

Les trois identités remarquables

Pour tous réels \(u,v\) : \[\boxed{(u+v)^2=u^2+2uv+v^2},\qquad \boxed{(u-v)^2=u^2-2uv+v^2},\] \[\boxed{u^2-v^2=(u-v)(u+v)}.\] La dernière identité se vérifie par les quatre produits : \(u^2+uv-vu-v^2=u^2-v^2\).

Exemple – le carré porte sur toute la parenthèse

\[\begin{aligned} (2x-3)^2 &=(2x)(2x)+(2x)(-3)+(-3)(2x)+(-3)(-3)\\ &=4x^2-6x-6x+9\\ &=4x^2-12x+9. \end{aligned}\] Le terme du milieu ne peut pas être supprimé : à \(x=1\), \((2-3)^2=1\), alors que \(4+9=13\).

À toi – essaie avant de lire la correction

Développer \(-(x-4)^2+3\). Justifier pourquoi le terme en \(x\) sera positif après distribution du signe moins.

Correction expliquée

\[\begin{aligned} (x-4)^2&=x\times x+x\times(-4)+(-4)\times x+(-4)\times(-4)\\ &=x^2-4x-4x+16=x^2-8x+16,\\ -(x-4)^2+3&=-x^2+8x-16+3\\ &=-x^2+8x-13. \end{aligned}\] Le terme \(-8x\) est multiplié par \(-1\), d’où \(+8x\). En \(x=4\), la forme de départ vaut \(3\) ; la forme développée vaut \(-16+32-13=3\).

Exemple – factoriser une différence de carrés

Dans \((x+1)^2-25\), on repère \(u=x+1\) et \(v=5\), car \(25=5^2\) : \[\begin{aligned} (x+1)^2-25&=[(x+1)-5][(x+1)+5]\\ &=(x-4)(x+6). \end{aligned}\] Contrôle : \((x-4)(x+6)=x^2+6x-4x-24=x^2+2x-24\) et \((x+1)^2-25=x^2+2x+1-25=x^2+2x-24\).

Produit nul

Un produit de nombres réels vaut zéro si et seulement si au moins un de ses facteurs vaut zéro : \[AB=0\iff A=0\ \text{ou}\ B=0.\] La règle concerne un produit égal à zéro, pas une somme ni un produit égal à un autre nombre.

Exemple – deux équations plus simples

\[(2x-1)(x+3)=0\iff 2x-1=0\quad\text{ou}\quad x+3=0.\] Premier cas : \(2x-1+1=0+1\), donc \(2x=1\), puis \(\frac{2x}{2}=\frac12\), d’où \(x=\frac12\). Second cas : \(x+3-3=0-3\), donc \(x=-3\). L’ensemble des solutions est \(\mathcal S=\{-3;\frac12\}\).

Exemple – isoler le carré avant de prendre les deux signes

Résoudre \(2(x-4)^2-14=0\) : \[\begin{aligned} 2(x-4)^2-14+14&=0+14,\\ 2(x-4)^2&=14,\\ \frac{2(x-4)^2}{2}&=\frac{14}{2},\\ (x-4)^2&=7. \end{aligned}\] On obtient \(x-4=\sqrt7\) ou \(x-4=-\sqrt7\). En ajoutant \(4\) aux deux membres dans chaque cas : \[\boxed{\mathcal S=\{4-\sqrt7;4+\sqrt7\}}.\] Contrôle pour \(x=4-\sqrt7\) : \(2[(4-\sqrt7)-4]^2-14=2(-\sqrt7)^2-14=2\times7-14=0\).

Méthode – signe de \(mx+p\), avec \(m\neq0\)

Résoudre d’abord \(mx+p=0\) : soustraire \(p\), puis diviser par \(m\neq0\), donne \(r=-\frac pm\). Écrire \(mx+p=m(x-r)\). À gauche de \(r\), \(x-r\) est négatif ; à droite il est positif. Si \(m>0\), conserver ces signes ; si \(m<0\), les inverser. Placer \(0\) sous \(r\).

Positif ne signifie pas croissant

Entre \(-3\) et \(-2\), les carrés sont positifs, mais ils diminuent. Un tableau de signes répond à « au-dessus ou au-dessous de zéro ? » ; un tableau de variations répond à « ça monte ou ça descend ? ». Aucune de ces questions ne remplace l’autre.

À toi – essaie avant de lire la correction

Sans calculatrice, développer \((x-3)^2-16\) ; factoriser \(x^2-25\) ; résoudre \((x-4)^2=7\) et \((2x-1)(x+3)=0\). Construire ensuite le tableau de signes de \((x-2)(x+5)\) et le tableau de variations de la fonction carré. Les modèles précédents servent de correction aux deux tableaux : les reconstruire plutôt que les recopier.

Correction expliquée

Développement. \[(x-3)^2-16=x^2-3x-3x+9-16=x^2-6x-7.\] Factorisation. \(25=5^2\), donc \(x^2-25=(x-5)(x+5)\). Le redéveloppement donne \(x^2+5x-5x-25=x^2-25\).

Carré. \(x-4=\sqrt7\) ou \(x-4=-\sqrt7\) ; en ajoutant \(4\) de chaque côté, \(x=4+\sqrt7\) ou \(x=4-\sqrt7\).

Produit nul. \(2x-1=0\) donne \(2x=1\), puis \(x=\frac12\) ; \(x+3=0\) donne \(x=-3\).

Tableaux. Pour le produit, les bornes sont \(-5\) et \(2\), les signes successifs \(+,0,-,0,+\). Pour le carré, les flèches descendent de \(+\infty\) vers \(0\), puis remontent vers \(+\infty\). Les deux tableaux sont dessinés et expliqués aux paragraphes 1.7 et 1.9.

Reprise – j’ai oublié de distribuer le moins

L’écriture \(-(x-2)^2=-x^2-4x+4\) est fausse. La première ligne à réparer est la distribution de \(-1\). Plus simple : \(-(x+3)=-x-3\) car \((-1)\times x+(-1)\times3=-x-3\). Dans le calcul initial, \((x-2)^2=x^2-4x+4\), donc \(-(x-2)^2=-x^2+4x-4\).

Nouvel essai : développer \(-(x+1)^2+2\). Correction : \(-(x^2+2x+1)+2=-x^2-2x-1+2=-x^2-2x+1\). Revenir au calcul initial et vérifier que chacun des trois termes a changé de signe.

À reprendre plus tard

À une autre séance, reprendre sans modèle \(C(x)=-2(x-1)^2+3\) : développer et calculer \(C(-1)\). Construire aussi le tableau de signes de \(1-2x\).

Correction expliquée

\((x-1)^2=x^2-x-x+1=x^2-2x+1\). Ainsi \(C(x)=-2x^2+4x-2+3=-2x^2+4x+1\). \[C(-1)=-2\times1+4\times(-1)+1=-2-4+1=-5.\] Contrôle dans la forme de départ : \(-2(-1-1)^2+3=-2\times4+3=-5\). Pour \(1-2x=0\), on obtient \(-2x=-1\), puis \(x=\frac12\). Le coefficient \(-2\) inverse le signe de \(x-\frac12\) :

Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[\boxed{f(x)=ax^2+bx+c}\] où \(a,b,c\in\mathbb{R}\) et \(a\neq0\). Cette écriture est la forme développée réduite.

Vocabulaire et lecture

Dans \(ax^2+bx+c\) :

• \(a\) est le coefficient dominant, car il multiplie le terme de plus haut degré \(x^2\) ;

• \(b\) est le coefficient de \(x\) ;

• \(c\) est le terme constant ;

• \(x\) est la variable de la fonction.

Non-exemple / cas frontière

• \(5x-3\) n’est pas du second degré : le coefficient de \(x^2\) est nul.

• \(x^3+2x\) n’est pas du second degré : le degré est \(3\).

• \(\dfrac1x+x^2\) n’est pas un polynôme, car il contient le terme \(x^{-1}\) et n’est pas défini en \(0\). La présence d’un dénominateur constant, comme dans \(\frac12x^2\), n’empêche pas d’être un polynôme.

Question d’élève

Pourquoi exige-t-on \(a\neq0\) ?

Réponse

Si \(a=0\), alors \[f(x)=bx+c,\] qui est une fonction affine, ou constante si \(b=0\). Le terme quadratique a disparu.

Exemple de référence

Soit \[f(x)=2x^2-5x+1.\] Alors \[f(2)=2\times2^2-5\times2+1=8-10+1=-1.\] Le nombre \(2\) n’est donc pas une racine de \(f\), car \(f(2)\neq0\).

À toi – essaie avant de lire la correction

Parmi les expressions suivantes, repérer les fonctions du second degré et calculer leur image de \(-1\) : \[A(x)=3x^2-2x+4,\quad B(x)=7-5x,\quad C(x)=-2x^2+6.\]

Correction expliquée

\(A\) et \(C\) sont du second degré ; \(B\) est affine. \[A(-1)=3(-1)^2-2(-1)+4=3+2+4=9,\] \[C(-1)=-2(-1)^2+6=-2+6=4.\]

Exemple – réduire avant de décider du degré

\[\begin{aligned} H(x)&=(x+1)^2-x^2\\ &=x^2+x+x+1-x^2\\ &=2x+1. \end{aligned}\] Il y avait des carrés dans l’écriture initiale, mais ils se compensent. La fonction obtenue est affine, pas du second degré.

Essai guidé

Pour \(f(x)=-2x^2+8\), calculer \(f(-1)\), chercher les racines puis les antécédents de \(6\). Commencer chaque demande par l’écriture qui la traduit.

Correction expliquée

Image de \(-1\). On remplace chaque \(x\) par \((-1)\), puis on calcule le carré avant la multiplication : \[f(-1)=-2\times(-1)^2+8=-2\times1+8=-2+8=6.\] Racines. On traduit d’abord : \(f(x)=0\). On soustrait \(8\) aux deux membres, puis on divise par le coefficient \(-2\), qui est non nul : \[\begin{aligned} -2x^2+8=0&\iff -2x^2+8-8=0-8\\ &\iff -2x^2=-8\\ &\iff \frac{-2x^2}{-2}=\frac{-8}{-2}\\ &\iff x^2=4\\ &\iff x=-2\quad\text{ou}\quad x=2. \end{aligned}\] Contrôle : \(f(-2)=-2\times4+8=0\) et \(f(2)=-2\times4+8=0\). On a bien trouvé des abscisses où la courbe rencontre l’axe horizontal.

Antécédents de \(6\). Cette fois, la bonne équation est \(f(x)=6\) : \[\begin{aligned} -2x^2+8=6&\iff -2x^2+8-8=6-8\\ &\iff -2x^2=-2\\ &\iff \frac{-2x^2}{-2}=\frac{-2}{-2}\\ &\iff x^2=1\\ &\iff x=-1\quad\text{ou}\quad x=1. \end{aligned}\] Contrôle : \(f(1)=-2\times1+8=6\) et \(f(-1)=6\). Les points \((-1;6)\) et \((1;6)\) sont sur la courbe ; ils ne sont pas sur l’axe des abscisses. Les antécédents de \(6\) ne sont donc pas les racines.

À toi – essaie avant de lire la correction

L’affirmation « Si \(f(3)=5\), alors \(5\) est une racine de \(f\) » est-elle correcte ? Donner la bonne phrase et justifier la distinction entre abscisse et ordonnée.

Correction expliquée

On ne peut pas le déduire. La phrase correcte est « \(5\) est l’image de \(3\) » ou « \(3\) est un antécédent de \(5\) ». Le point \((3;5)\) est sur la courbe : \(3\) est son abscisse et \(5\) son ordonnée. Une racine serait une abscisse \(r\) pour laquelle le point \((r;0)\) est sur la courbe.

Un contre-exemple suffit à réfuter l’affirmation générale. Pour \(f(x)=x^2-4\), on a bien \(f(3)=5\), mais \[f(5)=5^2-4=25-4=21\neq0.\] Ainsi \(5\) n’est pas une racine dans cet exemple. La donnée \(f(3)=5\) ne fournit, à elle seule, aucune valeur de \(f(5)\).

À reprendre plus tard

Reprendre plus tard \(g(x)=3x^2-12\) : calculer \(g(0)\) puis chercher les antécédents de \(0\) et de \(-15\).

Correction expliquée

L’image de \(0\) est \(g(0)=3\times0^2-12=0-12=-12\).

Pour chercher les antécédents de \(0\), on ajoute \(12\) aux deux membres, puis on divise par \(3\neq0\) : \[\begin{aligned} g(x)=0&\iff 3x^2-12=0\\ &\iff 3x^2-12+12=0+12\\ &\iff 3x^2=12\\ &\iff \frac{3x^2}{3}=\frac{12}{3}\\ &\iff x^2=4\\ &\iff x=-2\quad\text{ou}\quad x=2. \end{aligned}\] Pour chercher les antécédents de \(-15\), les opérations sont les mêmes, mais la conclusion change : \[\begin{aligned} g(x)=-15&\iff 3x^2-12=-15\\ &\iff 3x^2-12+12=-15+12\\ &\iff 3x^2=-3\\ &\iff \frac{3x^2}{3}=\frac{-3}{3}\\ &\iff x^2=-1. \end{aligned}\] Cette dernière égalité est impossible dans \(\mathbb{R}\) puisque \(x^2\geq0\). Ainsi \(0\) possède deux antécédents, \(-2\) et \(2\), tandis que \(-15\) n’en possède aucun. On ne calcule pas de racine carrée réelle de \(-1\).

Racine ou zéro

Un réel \(r\) est une racine de \(f\) lorsque \[\boxed{f(r)=0}.\] Graphiquement, une racine est l’abscisse d’un point où la parabole coupe ou touche l’axe des abscisses.

Exemple de référence

Pour \(f(x)=x^2-9\) : \[f(3)=9-9=0,\qquad f(-3)=9-9=0.\] Les racines sont donc \(-3\) et \(3\). De plus, \[x^2-9=(x-3)(x+3).\]

Forme factorisée

Une écriture \[\boxed{f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)}\] avec \(a\neq0\) est une forme factorisée de \(f\). Les nombres \(r_1\) et \(r_2\) sont alors des racines. Si \(r_1=r_2=r\), on écrit \[\boxed{f(x)=a(x-r)^2}\] et on parle de racine double.

Démonstration – les facteurs donnent les racines

Supposons \[f(x)=a(x-r_1)(x-r_2),\qquad a\neq0.\] Alors \[f(x)=0 \iff a(x-r_1)(x-r_2)=0.\] Comme \(a\neq0\), le produit est nul si et seulement si \[x-r_1=0\quad\text{ou}\quad x-r_2=0,\] donc \[\boxed{x=r_1\quad\text{ou}\quad x=r_2}.\] Résultat démontré dans ce cours.

Méthode A – une expression déjà factorisée

Indice : plusieurs facteurs sont multipliés et le produit vaut zéro. Premier geste : recopier les facteurs sans développer. Annuler chacun des facteurs pouvant être nul, résoudre les équations obtenues et réunir les solutions. Un facteur constant non nul ne fournit aucune solution supplémentaire.

Exemple – le coefficient extérieur ne donne pas de racine

Résoudre \(-3(2x-1)(x+4)=0\). Le facteur \(-3\) ne s’annule jamais. Il reste : \[2x-1=0\quad\text{ou}\quad x+4=0.\] Dans le premier cas, ajouter \(1\) donne \(2x=1\) ; diviser par \(2\neq0\) donne \(x=\frac12\). Dans le second, soustraire \(4\) donne \(x=-4\). \[\boxed{\mathcal S=\{-4;\tfrac12\}}.\] Pour \(x=-4\), le dernier facteur vaut zéro ; pour \(x=\frac12\), \(2\times\frac12-1=1-1=0\). Les deux valeurs conviennent.

Méthode B – faire apparaître un facteur commun

Indice : chaque terme contient la même lettre, le même nombre ou la même parenthèse. Premier geste : écrire chaque terme comme produit contenant ce facteur. Regrouper les facteurs restants, puis utiliser le produit nul.

Exemple – pourquoi ne pas diviser par \(x\) ?

Résoudre \(3x^2-12x=0\). \[\begin{aligned} 3x^2-12x&=(3x)\times x+(3x)\times(-4)\\ &=3x(x-4). \end{aligned}\] Ainsi \(3x(x-4)=0\) équivaut à \(x=0\) ou \(x-4=0\), puisque \(3\neq0\). On obtient \(\mathcal S=\{0;4\}\). Si l’on divisait immédiatement par \(x\), on perdrait le cas \(x=0\). Ce cas est pourtant autorisé et vérifie l’équation : \(3\times0^2-12\times0=0\). Le contrôle de \(4\) donne \(3\times16-12\times4=48-48=0\).

Méthode C – différence de deux carrés

Indice : une soustraction entre deux carrés, par exemple \((x-2)^2-16\). Identifier les deux blocs \(A\) et \(B\) dans \(A^2-B^2\), puis écrire \((A-B)(A+B)\).

Exemple – conserver les parenthèses jusqu’à la simplification

\[\begin{aligned} (x-2)^2-16&=(x-2)^2-4^2\\ &=[(x-2)-4][(x-2)+4]\\ &=(x-6)(x+2). \end{aligned}\] L’expression s’annule donc pour \(x=6\) ou \(x=-2\). Vérification : \((6-2)^2-16=16-16=0\) et \((-2-2)^2-16=16-16=0\).

Méthode D – isoler un carré

Indice : une équation \(aU(x)^2+c=0\), avec \(a\neq0\), où la variable apparaît seulement dans le bloc carré. Isoler d’abord \(U(x)^2\). Comparer le nombre obtenu à zéro, puis seulement prendre les deux signes lorsque ce nombre est strictement positif.

Exemple – un carré d’expression affine

Résoudre \(2(3x-1)^2-18=0\). \[\begin{aligned} 2(3x-1)^2-18+18&=0+18,\\ 2(3x-1)^2&=18,\\ \frac{2(3x-1)^2}{2}&=\frac{18}{2},\\ (3x-1)^2&=9. \end{aligned}\] Premier cas : \(3x-1=3\), donc \(3x=4\), puis \(x=\frac43\). Second cas : \(3x-1=-3\), donc \(3x=-2\), puis \(x=-\frac23\). Les solutions sont \(\boxed{\mathcal S=\{-\frac23;\frac43\}}\). Pour \(x=-\frac23\), \(3x-1=-2-1=-3\), puis \(2(-3)^2-18=18-18=0\).

Non-exemple / cas frontière

De \((x-1)(x+2)=4\), on ne déduit pas \(x-1=4\) ou \(x+2=4\). Un produit peut valoir \(4\) sans qu’aucun facteur soit \(4\), par exemple \(2\times2=4\). Il faut ramener le membre de droite à zéro : \((x-1)(x+2)-4=0\). La suite demandera une autre forme de l’expression.

Essai guidé

Résoudre \(5x^2+10x=0\). Compléter d’abord \(5x^2+10x=5x(\ldots+\ldots)\), puis expliquer pourquoi \(x=0\) ne doit pas être écarté.

Correction expliquée

\(5x^2=(5x)x\) et \(10x=(5x)2\). Ainsi \(5x^2+10x=5x(x+2)\). Le produit nul donne \(x=0\) ou \(x+2=0\), donc \(x=-2\). Aucun dénominateur ne contient \(x\) et on n’a pas divisé par \(x\) : zéro est autorisé. Contrôle de \(-2\) : \(5(-2)^2+10(-2)=20-20=0\).

À toi – essaie avant de lire la correction

Résoudre séparément \((x+1)^2-25=0\) et \((3x-2)(x+4)=0\). Dans chaque cas, annoncer le premier geste et donner une vérification d’une solution.

Correction expliquée

Première équation. \(25=5^2\) ; on factorise : \[(x+1)^2-25=[(x+1)-5][(x+1)+5]=(x-4)(x+6).\] Les solutions sont \(4\) et \(-6\). Vérification de \(4\) : \((4+1)^2-25=25-25=0\).

Seconde équation. Le produit est déjà égal à zéro. \(3x-2=0\) donne \(3x=2\), puis \(x=\frac23\) ; \(x+4=0\) donne \(x=-4\). À \(x=\frac23\), \(3\times\frac23-2=2-2=0\), donc le produit vaut zéro.

Réparer une solution perdue

Une copie transforme \(x(x-3)=0\) en \(x-3=0\) puis répond seulement \(3\). La suppression du facteur \(x\) correspond à une division qui exclut \(x=0\) sans justification. Plus simple : \(0\times5=0\) montre qu’un produit nul peut avoir son premier facteur nul. Reprendre : \(x(x-3)=0\) donne \(x=0\) ou \(x=3\).

Nouvel essai : \(2x(x+1)=0\). Correction : \(2\neq0\), donc \(x=0\) ou \(x+1=0\) ; les solutions sont \(0\) et \(-1\).

À reprendre plus tard

Reprendre à une autre séance, sans modèle, \(4x^2-20x=0\) et \(3(x-2)^2+6=0\). Expliquer pourquoi le nombre de solutions n’est pas le même.

Correction expliquée

\(4x^2-20x=4x(x-5)\) ; les solutions sont \(0\) et \(5\). Pour la seconde : \(3(x-2)^2=-6\), puis \((x-2)^2=-2\). C’est impossible dans \(\mathbb{R}\), donc aucune solution. Le résultat provient du signe d’un carré, pas de l’aspect de la formule.

Identité de complétion du carré

Pour tous réels \(x,u\) : \[\boxed{x^2+2ux=(x+u)^2-u^2}.\]

Démonstration – distributivité et compensation

\[\begin{aligned} (x+u)^2-u^2 &=(x+u)(x+u)-u^2\\ &=x\times x+x\times u+u\times x+u\times u-u^2\\ &=x^2+ux+ux+u^2-u^2\\ &=x^2+2ux. \end{aligned}\] Les deux expressions sont égales pour tous \(x,u\). Pour fabriquer \(x^2+px\), on résout \(2u=p\) : comme \(2\neq0\), \(u=\frac p2\).

Définition

Une écriture d’une fonction du second degré sous la forme \[\boxed{f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta},\qquad a\neq0,\] est appelée forme canonique. Les nombres \(a,\alpha,\beta\) sont des constantes ; \(x\) reste la variable.

Question d’élève

Pourquoi le signe de \(\alpha\) semble-t-il changer ?

Réponse

On ne change pas arbitrairement un signe : on cherche la valeur qui annule \(x-\alpha\). Si le carré est \((x+1)^2\), il s’annule pour \(x=-1\). Dans l’écriture standard \((x-\alpha)^2\), cela impose \(\alpha=-1\).

Méthode

Pour \(x^2+bx+c\), prendre la moitié de \(b\), fabriquer le carré, retirer le carré de cette moitié, puis regrouper les constantes. Contrôler en développant la forme obtenue.

Exemple complet – \(x^2-8x+11\)

On cherche \(u\) tel que \(2u=-8\), donc \(u=-4\). \[\begin{aligned} (x-4)^2&=x^2-4x-4x+16=x^2-8x+16,\\ x^2-8x&=(x-4)^2-16,\\ f(x)=x^2-8x+11&=(x-4)^2-16+11\\ &=\boxed{(x-4)^2-5}. \end{aligned}\] Contrôle : \((x-4)^2-5=x^2-8x+16-5=x^2-8x+11\). Le redéveloppement prouve que l’expression entière a été conservée.

Exemple complet – \(-2x^2+12x-13\)

On choisit de factoriser \(-2\) dans les deux premiers termes seulement. Le terme constant \(-13\) reste dehors. \[-2x^2=(-2)\times x^2,\qquad12x=(-2)\times(-6x).\] Ainsi \[g(x)=-2(x^2-6x)-13.\] Le coefficient à diviser par deux est maintenant \(-6\), pas \(12\). Sa moitié est \(-3\) : \[(x-3)^2=x^2-3x-3x+9=x^2-6x+9,\] \[x^2-6x=(x-3)^2-9.\] On remplace ce bloc puis on distribue \(-2\) : \[\begin{aligned} g(x)&=-2[(x-3)^2-9]-13\\ &=(-2)(x-3)^2+(-2)(-9)-13\\ &=-2(x-3)^2+18-13\\ &=\boxed{-2(x-3)^2+5}. \end{aligned}\] Contrôle complet : \[\begin{aligned} -2(x-3)^2+5 &=-2(x^2-6x+9)+5\\ &=-2x^2+12x-18+5\\ &=-2x^2+12x-13. \end{aligned}\] Le signe positif \(+18\) vient de \((-2)\times(-9)\) ; c’est un point à vérifier, pas une constante à deviner.

Exemple – \(x^2+3x+1\)

La moitié de \(3\) est \(\frac32\). Son carré vaut \(\frac94\) : \[\left(x+\frac32\right)^2=x^2+2\times x\times\frac32+\left(\frac32\right)^2 =x^2+3x+\frac94.\] Donc \[\begin{aligned} f(x)&=\left(x+\frac32\right)^2-\frac94+1\\ &=\left(x+\frac32\right)^2-\frac94+\frac{1\times4}{1\times4}\\ &=\left(x+\frac32\right)^2+\frac{-9+4}{4}\\ &=\boxed{\left(x+\frac32\right)^2-\frac54}. \end{aligned}\] On a \(\alpha=-\frac32\), \(\beta=-\frac54\). Développer fait réapparaître \(+\frac94-\frac54=\frac44=1\).

Exemple – coefficient dominant fractionnaire

Pour \(h(x)=\frac12x^2-3x+1\), \(-3x=\frac12(-6x)\), donc \[\begin{aligned} h(x)&=\frac12(x^2-6x)+1\\ &=\frac12[(x-3)^2-9]+1\\ &=\frac12(x-3)^2-\frac92+\frac{1\times2}{1\times2}\\ &=\boxed{\frac12(x-3)^2-\frac72}. \end{aligned}\] La compensation \(-9\) dans la parenthèse devient \(-\frac92\) après multiplication par \(\frac12\).

Théorème

Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\). Pour tout réel \(x\) : \[\boxed{f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}}.\] Ainsi \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et \(\beta=\frac{4ac-b^2}{4a}\) conviennent.

Démonstration détaillée de l’existence

Hypothèse : \(a\neq0\). But : transformer le trinôme en un carré multiplié par \(a\), plus une constante, sans changer sa valeur.

On factorise \(a\) dans les deux termes contenant \(x\) : \[ax^2+bx=a\times x^2+a\times\left(\frac ba x\right) =a\left(x^2+\frac ba x\right).\] Le nouveau coefficient de \(x\) est \(\frac ba\). Sa moitié vaut \[\frac ba\div2=\frac ba\times\frac12=\frac{b\times1}{a\times2}=\frac{b}{2a}.\] Ce dénominateur est non nul, puisque \(a\neq0\). Les quatre produits donnent : \[\begin{aligned} \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &=x^2+x\frac{b}{2a}+\frac{b}{2a}x+\frac{b}{2a}\frac{b}{2a}\\ &=x^2+\frac{2bx}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}\\ &=x^2+\frac ba x+\frac{b^2}{4a^2}. \end{aligned}\] On retire le terme ajouté : \[x^2+\frac ba x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}.\] On remplace dans le trinôme puis on distribue \(a\) : \[\begin{aligned} f(x)&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\\ &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{ab^2}{4a^2}+c\\ &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c. \end{aligned}\] Dans \(\frac{ab^2}{4a^2}\), le facteur \(a\neq0\) est commun à tout le numérateur et tout le dénominateur : \(\frac{a\,b^2}{a\,(4a)}=\frac{b^2}{4a}\).

Pour additionner \(-\frac{b^2}{4a}\) et \(c\), on écrit \[c=\frac c1=\frac{c\times4a}{1\times4a}=\frac{4ac}{4a}.\] Alors \[-\frac{b^2}{4a}+c=\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.\] On obtient la forme annoncée. Enfin, \[x+\frac{b}{2a}=x-\left(-\frac{b}{2a}\right),\] d’où \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et \(\beta=\frac{4ac-b^2}{4a}\). Toutes les transformations sont des identités sur \(\mathbb{R}\).

Remarque

La formule générale explique l’existence de cette écriture. Pour les calculs courants du parcours principal, on privilégie la complétion du carré dans des cas simples, plutôt qu’un remplacement mécanique de \(a,b,c\) dans une formule fractionnaire. Connaître la démonstration aide à reconstruire ce que l’on a oublié.

Démonstration de l’unicité

Supposons que le même trinôme admette l’écriture \(a(x-\alpha)^2+\beta\). En développant : \[\begin{aligned} a(x-\alpha)^2+\beta &=a(x^2-\alpha x-\alpha x+\alpha^2)+\beta\\ &=ax^2-2a\alpha x+a\alpha^2+\beta. \end{aligned}\] Pour être égal à \(ax^2+bx+c\) pour tous les réels, le coefficient de \(x\) doit vérifier \(-2a\alpha=b\). Comme \(-2a\neq0\), on divise : \[\alpha=\frac b{-2a}=-\frac b{2a}.\] Cette valeur est imposée. Ensuite, remplacer \(x\) par cette valeur donne \[f(\alpha)=a(\alpha-\alpha)^2+\beta=a\times0^2+\beta=\beta.\] La valeur de \(\beta\) est donc imposée à son tour.

Pourquoi comparer les coefficients est-il légitime ici ? Après annulation des termes \(ax^2\), la différence des deux écritures est une expression affine \(Ux+V\) nulle pour tout \(x\). En \(x=0\), on obtient \(V=0\) ; en \(x=1\), on obtient \(U+V=0\), donc \(U=0\). Les coefficients coïncident bien. L’unicité n’est pas une simple observation sur quelques exemples de trinômes.

Essai guidé

Mettre \(p(x)=3x^2+12x+7\) sous forme canonique. Commencer par \(3(x^2+4x)+7\), puis compléter \(x^2+4x=(x+\ldots)^2-\ldots\).

Correction expliquée

La moitié de \(4\) est \(2\) et \(2^2=4\). Ainsi : \[\begin{aligned} p(x)&=3[(x+2)^2-4]+7\\ &=3(x+2)^2+3(-4)+7\\ &=3(x+2)^2-12+7\\ &=3(x+2)^2-5. \end{aligned}\] Contrôle : \(3(x^2+4x+4)-5=3x^2+12x+12-5=3x^2+12x+7\).

À toi – essaie avant de lire la correction

Mettre \(q(x)=-x^2-6x+4\) sous forme canonique. Expliquer le signe de la constante après distribution de \(-1\), puis contrôler par développement.

Correction expliquée

\[\begin{aligned} q(x)&=-(x^2+6x)+4\\ &=-[(x+3)^2-9]+4\\ &=-(x+3)^2+9+4\\ &=-(x+3)^2+13. \end{aligned}\] Le produit \((-1)\times(-9)\) vaut \(+9\). Contrôle : \(-(x^2+6x+9)+13=-x^2-6x-9+13=-x^2-6x+4\).

Réparer une compensation oubliée

L’écriture \(2x^2+8x+3=2(x+2)^2+3\) ajoute en réalité \(2\times4=8\). La bonne ligne est \(x^2+4x=(x+2)^2-4\) ; ainsi \(2x^2+8x+3=2(x+2)^2-8+3=2(x+2)^2-5\).

Plus simple : \(x^2+2x=(x+1)^2-1\). Nouvel essai : \(x^2-2x+4\). Sa correction est \((x-1)^2-1+4=(x-1)^2+3\). Revenir à \(2x^2+8x+3\) et vérifier que la compensation \(-4\) a bien été multipliée par \(2\).

À reprendre plus tard

À reprendre sans modèle : \(r(x)=2x^2-6x+1\). Donner sa forme canonique et prouver qu’elle redonne le trinôme initial.

Correction expliquée

\[\begin{aligned} r(x)&=2(x^2-3x)+1\\ &=2\left[\left(x-\frac32\right)^2-\frac94\right]+1\\ &=2\left(x-\frac32\right)^2-\frac{18}{4}+\frac44\\ &=2\left(x-\frac32\right)^2-\frac72. \end{aligned}\] Contrôle : \(2(x^2-3x+\frac94)-\frac72=2x^2-6x+\frac92-\frac72=2x^2-6x+1\).

Le vocabulaire à utiliser

Un minimum \(m\) est une valeur atteinte par la fonction, telle que toutes les autres valeurs soient supérieures ou égales à \(m\) sur le domaine étudié. Pour un maximum \(M\), toutes les valeurs sont inférieures ou égales à \(M\). Le sommet d’une parabole est le point où se trouve sa valeur extrême. Il possède deux coordonnées : une abscisse et une ordonnée. La droite d’axe a une équation, pas des coordonnées de point.

Théorème

Sur \(\mathbb{R}\), le sommet est \(S(\alpha;\beta)\). Si \(a>0\), le minimum vaut \(\beta\) ; si \(a<0\), le maximum vaut \(\beta\). Dans les deux cas, il est atteint uniquement pour \(x=\alpha\).

Démonstration – un carré est positif ou nul

Pour tout réel \(x\), \((x-\alpha)^2\ge0\). Si \(a>0\), multiplier par \(a\) conserve le sens : \[a(x-\alpha)^2\ge0.\] Ajouter \(\beta\) dans les deux membres donne \[a(x-\alpha)^2+\beta\ge\beta,\quad\text{c'est-à-dire}\quad f(x)\ge\beta.\] À \(x=\alpha\), on a \(f(\alpha)=a(\alpha-\alpha)^2+\beta=\beta\). La borne est donc réellement atteinte : c’est le minimum.

Si \(a<0\), multiplier le carré par \(a\) inverse l’inégalité : \(a(x-\alpha)^2\le0\), puis \(f(x)\le\beta\). L’égalité a encore lieu à \(x=\alpha\) : \(\beta\) est le maximum.

Dans les deux cas, l’égalité impose \(a(x-\alpha)^2=0\). Puisque \(a\neq0\), cela équivaut à \((x-\alpha)^2=0\), donc à \(x=\alpha\). Le point extrême est ainsi \((\alpha;\beta)\).

Piège / erreur fréquente

Le minimum de \(2(x+1)^2-18\) est le nombre \(-18\), atteint pour l’abscisse \(-1\). Le sommet est le point \((-1;-18)\). Ces trois réponses ne sont pas interchangeables.

Démonstration – deux abscisses équidistantes

Prendre deux abscisses \(\alpha-h\) et \(\alpha+h\), avec \(h\) réel, revient à se placer de part et d’autre de \(\alpha\) à la même distance. \[\begin{aligned} f(\alpha-h)&=a[(\alpha-h)-\alpha]^2+\beta\\ &=a(-h)^2+\beta\\ &=ah^2+\beta,\\ f(\alpha+h)&=a[(\alpha+h)-\alpha]^2+\beta\\ &=ah^2+\beta. \end{aligned}\] Les deux points ont la même ordonnée et des abscisses symétriques. La droite \(x=\alpha\) est donc un axe de symétrie de la courbe.

Ce que signifie « strictement croissante »

Sur un intervalle \(I\), \(f\) est strictement croissante si, pour deux nombres \(u<v\) de \(I\), on a \(f(u)<f(v)\). Elle est strictement décroissante si \(u<v\) entraîne \(f(u)>f(v)\). On compare donc deux images, pas une image et zéro.

Démonstration – cas \(a>0\)

Avant \(\alpha\). Soient \(u<v\le\alpha\). On soustrait \(\alpha\) : \(u-\alpha<v-\alpha\le0\). Sur les nombres négatifs, la fonction carré est strictement décroissante, donc \[(u-\alpha)^2>(v-\alpha)^2.\] La multiplication par \(a>0\) conserve ce sens, puis l’addition de \(\beta\) aussi : \[a(u-\alpha)^2+\beta>a(v-\alpha)^2+\beta,\quad\text{soit }f(u)>f(v).\] Ainsi \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\).

Après \(\alpha\). Soient \(\alpha\le u<v\). On a \(0\le u-\alpha<v-\alpha\). Le carré est strictement croissant sur les positifs, d’où \[(u-\alpha)^2<(v-\alpha)^2.\] Multiplier par \(a>0\) puis ajouter \(\beta\) donne \(f(u)<f(v)\). La fonction est strictement croissante sur \([\alpha;+\infty[\).

Démonstration – cas \(a<0\), sans « même raisonnement » implicite

Avant \(\alpha\), on retrouve \((u-\alpha)^2>(v-\alpha)^2\) lorsque \(u<v\le\alpha\). Cette fois, multiplier par \(a<0\) renverse le sens : \(a(u-\alpha)^2<a(v-\alpha)^2\). Ajouter \(\beta\) donne \(f(u)<f(v)\) : \(f\) est croissante avant \(\alpha\).

Après \(\alpha\), \((u-\alpha)^2<(v-\alpha)^2\) pour \(\alpha\le u<v\). Multiplier par \(a<0\) donne \(a(u-\alpha)^2>a(v-\alpha)^2\). Après ajout de \(\beta\), \(f(u)>f(v)\) : \(f\) est décroissante après \(\alpha\).

Méthode – tableau de variations d’un trinôme

1. Domaine. Écrire l’intervalle sur lequel on travaille. 2. Abscisse particulière. Trouver \(\alpha\) par la forme canonique, ou par \(\alpha=-\frac b{2a}\) lorsque la forme développée est donnée. 3. Valeur particulière. Calculer \(\beta=f(\alpha)\). 4. Sens. Lire le signe de \(a\), non celui de \(\beta\). 5. Bornes. Calculer les images des bornes finies ; garder seulement les parties du tableau situées dans le domaine. 6. Tableau et phrase. Placer d’abord les nombres puis les flèches et rédiger les intervalles de monotonie et l’extremum.

Exemple complet – depuis la forme développée

Soit \(f(x)=2x^2+8x+3\), sur \(\mathbb{R}\). \[\begin{aligned} f(x)&=2(x^2+4x)+3\\ &=2[(x+2)^2-4]+3\\ &=2(x+2)^2-8+3\\ &=2(x+2)^2-5. \end{aligned}\] On lit \(a=2>0\), \(\alpha=-2\), \(\beta=-5\). Contrôle direct de la valeur : \[f(-2)=2\times(-2)^2+8\times(-2)+3=8-16+3=-5.\]

Exemple – coefficient négatif et maximum

Soit \(g(x)=-x^2+6x+1\). \[g(x)=-(x^2-6x)+1=-[(x-3)^2-9]+1=-(x-3)^2+10.\] Ici \(a=-1<0\), \(\alpha=3\), \(\beta=10\). Sur \([0;5]\) : \(g(0)=1\) et \(g(5)=-25+30+1=6\).

Essai guidé

Pour \(h(x)=3x^2-12x+7\), construire le tableau de variations sur \([-1;4]\). Indices : mettre \(3\) en facteur, compléter \(x^2-4x\) puis calculer \(h(-1)\) et \(h(4)\).

Correction expliquée

\[\begin{aligned} h(x)&=3(x^2-4x)+7\\ &=3[(x-2)^2-4]+7\\ &=3(x-2)^2-12+7\\ &=3(x-2)^2-5. \end{aligned}\] \(a=3>0\), donc la fonction décroît jusqu’à \(2\), puis croît. \(2\in[-1;4]\). \[h(-1)=3\times1-12\times(-1)+7=22,\qquad h(4)=48-48+7=7.\]

À toi – essaie avant de lire la correction

Étudier \(q(x)=-2x^2-4x+6\) sur \([-3;2]\) : forme canonique, sommet, tableau et extrema sur l’intervalle. Expliquer pourquoi le minimum ne se trouve pas au sommet.

Correction expliquée

\[q(x)=-2(x^2+2x)+6=-2[(x+1)^2-1]+6=-2(x+1)^2+8.\] \(a=-2<0\) : le sommet \((-1;8)\) correspond à un maximum. Aux bornes, \[q(-3)=-2\times9-4\times(-3)+6=-18+12+6=0,\] \[q(2)=-2\times4-8+6=-8-8+6=-10.\]

Réparer la confusion entre \(\alpha\) et \(\beta\)

Une copie affirme que \(3(x+2)^2-5\) a pour sommet \((2;5)\). La première erreur est la lecture des signes dans \(x-\alpha\) : \(x+2=x-(-2)\), donc \(\alpha=-2\), tandis que la constante extérieure est \(\beta=-5\). Plus simple : \((x-1)^2+4\) possède le sommet \((1;4)\). Nouvel essai : \(-2(x+3)^2-1\) possède le sommet \((-3;-1)\) ; le coefficient négatif en fait un maximum. Revenir à l’expression initiale : son sommet est \((-2;-5)\) et son extremum est un minimum.

À reprendre plus tard

Reprendre à une autre séance \(r(x)=-(x-2)^2+9\) sur \([-1;4]\). Construire le tableau, donner ses extrema et comparer \(r(1)\) et \(r(3)\) sans développer.

Correction expliquée

\(a=-1\), \(\alpha=2\), \(\beta=9\). La fonction croît puis décroît. \(r(-1)=-(-3)^2+9=0\) ; \(r(4)=-(2)^2+9=5\). Le maximum est \(9\), atteint en \(2\), et le minimum \(0\), atteint en \(-1\). Les nombres \(1\) et \(3\) sont à distance \(1\) de \(2\), donc \(r(1)=r(3)=8\).

Définition

Le discriminant de \(ax^2+bx+c\) est le réel \[\boxed{\Delta=b^2-4ac}.\] La lettre grecque \(\Delta\) se lit « delta ». C’est un nombre calculé à partir des coefficients, pas une fonction de \(x\).

Du carré de la forme canonique aux solutions

Hypothèses : \(a,b,c\) sont réels et \(a\neq0\). But : résoudre \(ax^2+bx+c=0\) dans \(\mathbb{R}\). À partir de la forme canonique, on a : \[a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a}=0.\] On ajoute \(\frac\Delta{4a}\) dans les deux membres : \[a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a}+\frac\Delta{4a} =0+\frac\Delta{4a},\] \[a\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac\Delta{4a}.\] Comme \(4a\neq0\), multiplier les deux membres par \(4a\) est réversible : \[4a\times a\left(x+\frac b{2a}\right)^2=4a\times\frac\Delta{4a},\] \[4a^2\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\Delta.\] Or \(4a^2=(2a)^2\) ; le membre de gauche est le carré du produit \(2a\left(x+\frac b{2a}\right)\). Ce produit vaut \(2ax+b\) car \(2a\times\frac b{2a}=b\). Ainsi : \[\boxed{ax^2+bx+c=0\iff(2ax+b)^2=\Delta}.\] On n’a pas divisé par \(x\). Aucune valeur de \(x\) n’a été écartée.

Premier cas : \(\Delta<0\). Un carré réel ne peut pas être négatif. Aucune solution réelle : \(\mathcal S=\varnothing\).

Deuxième cas : \(\Delta=0\). Le carré est nul exactement lorsque son contenu est nul : \[2ax+b=0,\qquad 2ax+b-b=0-b,\qquad 2ax=-b.\] On divise par \(2a\neq0\) : \[\frac{2ax}{2a}=\frac{-b}{2a},\qquad \boxed{x_0=-\frac b{2a}}.\] Il existe une seule valeur solution ; on parlera de racine double car l’expression se factorise par le carré d’un même facteur.

Troisième cas : \(\Delta>0\). L’équation carré donne deux possibilités : \[2ax+b=\sqrt\Delta\quad\text{ou}\quad2ax+b=-\sqrt\Delta.\] En soustrayant \(b\) puis en divisant chaque égalité par \(2a\neq0\) : \[\boxed{x=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}}.\] Les deux valeurs sont distinctes car \(\sqrt\Delta>0\) et \(2a\neq0\). Toutes les étapes sont réversibles : ce sont exactement les solutions.

Résultat à utiliser

Pour \(ax^2+bx+c=0\), avec \(a\neq0\) : \[\begin{array}{c|l} \Delta<0&\mathcal S=\varnothing\\[2mm] \Delta=0&\mathcal S=\left\{-\dfrac b{2a}\right\}\\[3mm] \Delta>0&\mathcal S=\left\{\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a};\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right\}. \end{array}\] Pour un tableau, ranger ensuite les solutions dans l’ordre croissant : le signe « moins » dans la première formule ne garantit pas la plus petite valeur lorsque \(a<0\).

Méthode

Ramener à zéro. Identifier les coefficients après avoir tout placé dans le même membre. Vérifier le degré. \(a\) doit être non nul. Substituer. Écrire \(\Delta=b^2-4ac\), puis remplacer les trois lettres avec leurs signes et leurs parenthèses. Choisir le cas. Ne pas écrire \(\sqrt\Delta\) dans \(\mathbb{R}\) avant d’avoir vérifié \(\Delta\ge0\). Calculer. Déterminer séparément \(-b\), \(2a\) et éventuellement \(\sqrt\Delta\). Simplifier. Simplifier tout le numérateur et tout le dénominateur, pas un seul terme d’une somme. Conclure et contrôler. Donner l’ensemble des solutions, puis vérifier une substitution ou une factorisation.

Exemple – \(3x^2+5x-2=0\)

Les coefficients sont \(a=3\), \(b=5\), \(c=-2\). \[\begin{aligned} \Delta&=5^2-4\times3\times(-2)\\ &=25-12\times(-2)\\ &=25-(-24)\\ &=25+24=49. \end{aligned}\] Puis \(\sqrt\Delta=7\), \(-b=-5\) et \(2a=6\). \[\begin{aligned} x_1&=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}{6}=-2,\\ x_2&=\frac{-5+7}{6}=\frac2{6}=\frac13. \end{aligned}\] Donc \(\mathcal S=\{-2;\frac13\}\). Contrôle de \(-2\) : \(3(-2)^2+5(-2)-2=12-10-2=0\). Contrôle de \(\frac13\) : \[3\left(\frac13\right)^2+5\times\frac13-2 =\frac39+\frac53-\frac63 =\frac13+\frac53-\frac63=0.\] Les substitutions confirment les deux valeurs ; la procédure prouvée explique qu’il n’y en a pas d’autres.

Exemple – \(3x^2-2x-2=0\)

\(a=3\), \(b=-2\), \(c=-2\) : \[\Delta=(-2)^2-4\times3\times(-2)=4-(-24)=28>0.\] Puis \(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=2\sqrt7\), \(-b=2\) et \(2a=6\). \[\begin{aligned} x_-&=\frac{2-2\sqrt7}{6} =\frac{2(1-\sqrt7)}{2\times3} =\frac{1-\sqrt7}{3},\\ x_+&=\frac{2+2\sqrt7}{6} =\frac{2(1+\sqrt7)}{2\times3} =\frac{1+\sqrt7}{3}. \end{aligned}\] La simplification par \(2\) est possible car \(2\) est facteur du numérateur entier. On garde ces valeurs exactes. Pour contrôler \(x_+\) sans décimales, poser \(u=\sqrt7\) : \[\begin{aligned} 3\left(\frac{1+u}{3}\right)^2-2\frac{1+u}{3}-2 &=\frac{1+2u+u^2}{3}-\frac{2+2u}{3}-\frac63\\ &=\frac{1+2u+7-2-2u-6}{3}=0. \end{aligned}\] Le même calcul avec \(-u\) confirme l’autre valeur.

Exemple – \(9x^2+12x+4=0\)

\[\Delta=12^2-4\times9\times4=144-144=0.\] Ainsi \[x_0=-\frac{12}{2\times9}=-\frac{12}{18}=-\frac23.\] Contrôle par structure : \((3x+2)^2=9x^2+6x+6x+4=9x^2+12x+4\). L’équation \((3x+2)^2=0\) donne \(3x+2=0\), donc \(x=-\frac23\). Dire « racine double » ne signifie pas deux nombres différents : le facteur \(x+\frac23\) apparaît deux fois dans \(9(x+\frac23)^2\).

Exemple – \(2x^2+2x+3=0\)

\[\Delta=2^2-4\times2\times3=4-24=-20<0.\] Aucune solution réelle. Un contrôle par la forme canonique éclaire la situation : \[\begin{aligned} 2x^2+2x+3 &=2(x^2+x)+3\\ &=2\left[\left(x+\frac12\right)^2-\frac14\right]+3\\ &=2\left(x+\frac12\right)^2-\frac12+\frac62\\ &=2\left(x+\frac12\right)^2+\frac52. \end{aligned}\] Le carré est positif ou nul et \(\frac52>0\) : toute l’expression est strictement positive. Elle ne peut pas valoir zéro.

Exemple – \(-2x^2-3x+2=0\)

\[\Delta=(-3)^2-4\times(-2)\times2=9-(-16)=25.\] Ici \(-b=3\) et \(2a=-4\). \[\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3-5}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac12,\] \[\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3+5}{-4}=\frac8{-4}=-2.\] La valeur obtenue avec « moins \(\sqrt\Delta\) » est ici la plus grande. On range donc \(-2<\frac12\) pour les futures lignes de tableaux. Contrôle de \(\frac12\) : \(-2\times\frac14-3\times\frac12+2=-\frac12-\frac32+\frac42=0\).

Exemple – \(\frac12x^2-\frac34x-\frac12=0\)

Méthode conseillée : supprimer les dénominateurs constants. On multiplie tous les termes et le membre de droite par \(4\neq0\) : \[4\times\frac12x^2-4\times\frac34x-4\times\frac12=4\times0,\] \[2x^2-3x-2=0.\] Alors \(\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-2)=9+16=25\), d’où \[x_-=\frac{3-5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac12,\qquad x_+=\frac{3+5}{4}=\frac84=2.\]

Même équation – calculer avec les fractions

Autre méthode : garder les coefficients initiaux. Pour \(\frac12x^2-\frac34x-\frac12=0\), on a \(a=\frac12\), \(b=-\frac34\) et \(c=-\frac12\) : \[\begin{aligned} \Delta&=\left(-\frac34\right)^2-4\times\frac12\times\left(-\frac12\right)\\ &=\frac9{16}-(-1)\\ &=\frac9{16}+\frac{16}{16}=\frac{25}{16}. \end{aligned}\] Ainsi \(\sqrt\Delta=\frac54\), \(-b=\frac34\) et \(2a=1\). Les solutions sont \[\frac{\frac34-\frac54}{1}=-\frac24=-\frac12,\qquad \frac{\frac34+\frac54}{1}=\frac84=2.\] Les deux méthodes concordent ; la première limite le nombre de calculs fractionnaires.

Pourquoi le changement d’échelle ne change-t-il pas les solutions ?

Multiplier \(ax^2+bx+c=0\) par un réel \(\lambda\neq0\) est réversible. Le nouveau discriminant vaut \[(\lambda b)^2-4(\lambda a)(\lambda c) =\lambda^2b^2-4\lambda^2ac =\lambda^2(b^2-4ac)=\lambda^2\Delta.\] Il n’est pas forcément égal à l’ancien, mais son signe est le même puisque \(\lambda^2>0\). Les racines restent les mêmes ; un discriminant n’est pas une information indépendante de la présentation de l’équation.

Essai guidé

Résoudre \(2x^2-3x-2=0\). Compléter d’abord \(a=\ldots\), \(b=\ldots\), \(c=\ldots\), puis la substitution dans \(b^2-4ac\). Vérifier une solution.

Correction expliquée

\(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\). Alors \(\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-2)=9-(-16)=25\). \(-b=3\), \(2a=4\), \(\sqrt\Delta=5\). On calcule les deux numérateurs avant de simplifier : \[x_1=\frac{3-5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac12, \qquad x_2=\frac{3+5}{4}=\frac84=2.\] La vérification pour \(2\) donne \(2\times4-3\times2-2=8-6-2=0\).

À toi – essaie avant de lire la correction

Résoudre séparément \(x^2-4x+4=0\), \(x^2-2x+3=0\) et \(x^2-x-1=0\). Pour chaque équation, justifier le nombre de solutions avant de les calculer.

Correction expliquée

Première : \(\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0\). Une seule valeur : \(x_0=\dfrac{-(-4)}{2\times1}=\dfrac42=2\). Contrôle : \(4-8+4=0\).

Seconde : \(\Delta=(-2)^2-4\times1\times3=4-12=-8<0\). Aucune solution réelle. On peut aussi écrire \((x-1)^2+2>0\).

Troisième : \(\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-1)=1+4=5>0\). Deux solutions distinctes : \[\boxed{x_-=\frac{1-\sqrt5}{2},\qquad x_+=\frac{1+\sqrt5}{2}}.\] Pour vérifier \(x_+\), \(x_+^2=(1+2\sqrt5+5)/4=(3+\sqrt5)/2\) ; puis \(x_+^2-x_+-1=(3+\sqrt5-1-\sqrt5-2)/2=0\).

Réparer un calcul de discriminant

Une copie écrit, pour \(2x^2-3x-2\), \(\Delta=-3^2-4\times2\times(-2)=7\). La première erreur est \(b^2\) : avec \(b=-3\), on doit écrire \((-3)^2=9\), pas \(-3^2=-9\). Plus simple : \((-2)^2=4\) alors que \(-2^2=-4\). Nouvel essai : le discriminant de \(x^2-5x+6\) vaut \((-5)^2-4\times1\times6=25-24=1\). Reprendre le calcul initial : \(9+16=25\).

À reprendre plus tard

Reprendre sans modèle \(2x^2+x-4=0\). Expliquer pourquoi les solutions ne doivent pas être arrondies si l’énoncé demande des valeurs exactes.

Correction expliquée

\(\Delta=1^2-4\times2\times(-4)=1+32=33>0\). On obtient \[\mathcal S=\left\{\frac{-1-\sqrt{33}}4;\frac{-1+\sqrt{33}}4\right\}.\] \(33\) ne contient aucun facteur carré entier supérieur à \(1\) ; les racines restent sous cette forme. Une décimale arrondie ne donnerait qu’une approximation et s’écrirait avec \(\approx\), pas avec une égalité exacte.

Théorème

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\neq0\) :

• si \(\Delta>0\), avec racines \(x_1,x_2\) : \[\boxed{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)};\]

• si \(\Delta=0\), avec racine double \(x_0\) : \[\boxed{f(x)=a(x-x_0)^2};\]

• si \(\Delta<0\), \(f\) ne se factorise pas en produit de deux facteurs du premier degré à coefficients réels.

Démonstration à partir de la forme canonique

On a \[f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].\]

Si \(\Delta>0\), \[\frac{\Delta}{4a^2}=\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2.\] On utilise \(U^2-V^2=(U-V)(U+V)\) : \[\begin{aligned} f(x) &=a\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\\ &=a\left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\right). \end{aligned}\] Ce sont précisément les deux racines.

Si \(\Delta=0\), \[f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=a(x-x_0)^2.\]

Si \(\Delta<0\), une factorisation réelle \(a(x-r_1)(x-r_2)\) fournirait deux racines réelles \(r_1,r_2\), ce qui est impossible. Donc il n’existe pas de telle factorisation dans \(\mathbb{R}\). Démonstration à comprendre.

Théorème

Une fonction polynôme non nulle du second degré possède au plus deux racines réelles distinctes.

Démonstration

Si \(f\) possède deux racines distinctes \(r_1,r_2\), alors \[f(x)=a(x-r_1)(x-r_2),\qquad a\neq0.\] Pour un troisième réel \(r_3\) distinct de \(r_1\) et \(r_2\) : \[f(r_3)=a(r_3-r_1)(r_3-r_2).\] Les trois facteurs sont non nuls, donc leur produit est non nul. Ainsi \(r_3\) ne peut pas être une troisième racine. Si \(f\) possède moins de deux racines, la conclusion est immédiate. Résultat démontré dans ce cours.

Toutes les fonctions ayant deux racines imposées

Si \(r\neq s\), les fonctions du second degré qui s’annulent en \(r\) et en \(s\) sont exactement les fonctions \[\boxed{f(x)=a(x-r)(x-s)},\qquad a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.\]

Démonstration des deux sens

Sens direct. Si \(f(r)=f(s)=0\) avec \(r\neq s\), la factorisation selon les racines donne \[f(x)=a(x-r)(x-s).\]

Sens réciproque. Si \(f(x)=a(x-r)(x-s)\) avec \(a\neq0\), alors \[f(r)=a(r-r)(r-s)=0\] et \[f(s)=a(s-r)(s-s)=0.\] Le coefficient dominant est \(a\neq0\), donc la fonction est bien du second degré. Résultat démontré dans ce cours.

Théorème

Si \(f(x)=ax^2+bx+c\) possède deux racines réelles \(x_1,x_2\) comptées avec multiplicité, alors \[\boxed{x_1+x_2=-\frac{b}{a}}, \qquad \boxed{x_1x_2=\frac{c}{a}}.\]

Démonstration par comparaison des coefficients

Comme \[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2),\] on développe : \[\begin{aligned} f(x) &=a[x\times x+x\times(-x_2)+(-x_1)\times x+(-x_1)\times(-x_2)]\\ &=a[x^2-x_2x-x_1x+x_1x_2]\\ &=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]\\ &=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2. \end{aligned}\] En comparant avec \[ax^2+bx+c,\] on obtient \[-a(x_1+x_2)=b \quad\text{et}\quad ax_1x_2=c.\] Comme \(a\neq0\), on peut diviser la première égalité par \(-a\) et la seconde par \(a\) : \[\frac{-a(x_1+x_2)}{-a}=\frac b{-a},\qquad \frac{ax_1x_2}{a}=\frac ca.\] Les coefficients à gauche se simplifient en \(1\) ; on obtient \[x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.\] Résultat démontré dans ce cours.

Deuxième démonstration – directement depuis les racines

Lorsque \(\Delta>0\), les formules des racines donnent \[x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.\] Alors \[\begin{aligned} x_1+x_2 &=\frac{-b-\sqrt\Delta-b+\sqrt\Delta}{2a}\\ &=\frac{-2b}{2a}=-\frac ba. \end{aligned}\] Et \[\begin{aligned} x_1x_2 &=\frac{(-b-\sqrt\Delta)(-b+\sqrt\Delta)}{4a^2}\\ &=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}\\ &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca. \end{aligned}\] Cette seconde voie confirme les formules ; la preuve par développement de la forme factorisée reste la plus structurante.

Question d’élève

Pourquoi ces formules restent-elles vraies pour une racine double ?

Réponse

Si \(x_1=x_2=x_0\), on compte la racine deux fois : \[x_1+x_2=2x_0, \qquad x_1x_2=x_0^2.\] La factorisation \(a(x-x_0)^2\) donne les mêmes comparaisons de coefficients.

Méthode

Après avoir trouvé deux racines \(r_1,r_2\), écrire \(a(x-r_1)(x-r_2)\) en conservant le coefficient \(a\) de l’expression initiale. Si la racine est double \(r\), écrire \(a(x-r)^2\). Transformer les signes des parenthèses avec soin : une racine \(-2\) donne le facteur \(x-(-2)=x+2\). Un contrôle par développement doit redonner les trois coefficients, pas seulement les zéros.

Exemple – une racine fractionnaire et le coefficient extérieur

Pour \(f(x)=3x^2+5x-2\), les racines sont \(-2\) et \(\frac13\). Donc \[f(x)=3(x+2)\left(x-\frac13\right).\] On peut placer le facteur \(3\) dans la seconde parenthèse : \[3\left(x-\frac13\right)=3x-\frac33=3x-1.\] Ainsi \(\boxed{f(x)=(x+2)(3x-1)}\). \[(x+2)(3x-1)=x(3x)+x(-1)+2(3x)+2(-1) =3x^2-x+6x-2=3x^2+5x-2.\] Écrire seulement \((x+2)(x-\frac13)\) aurait donné les mêmes racines, mais le coefficient dominant \(1\) au lieu de \(3\) : ce ne serait pas la même fonction.

Exemple – racine double et coefficient négatif

\(P(x)=-3x^2+12x-12=-3(x^2-4x+4)=-3(x-2)^2\). Le discriminant confirme le carré : \(12^2-4\times(-3)\times(-12)=144-144=0\). La valeur \(2\) est la seule racine, comptée deux fois. Le signe de \(P\) n’est pas positif sous prétexte qu’il y a un carré : le coefficient extérieur est négatif.

Pas de factorisation réelle en deux facteurs affines

Pour \(2x^2+x+1\), \(\Delta=1-8=-7<0\). Une écriture \((ux+v)(wx+t)\), avec \(u,w\) réels non nuls, fournirait des racines réelles \(-v/u\) et \(-t/w\), ce qui est impossible. On peut néanmoins mettre une constante en facteur, ou écrire une forme canonique. « Non factorisable sur \(\mathbb{R}\) » signifie ici non factorisable en deux facteurs affines non constants à coefficients réels, pas interdiction de toute réécriture.

Méthode

Tester quelques valeurs faciles lorsque les coefficients s’y prêtent : \(0\), \(1\), \(-1\), parfois \(2\) ou \(-2\). Ne pas prolonger indéfiniment des essais au hasard. Si \(r\) est une racine connue, l’autre racine \(s\) vérifie \[r+s=-\frac ba,\qquad rs=\frac ca.\] La somme donne toujours \(s=-\frac ba-r\). Le produit donne \(s=\frac c{ar}\) seulement si \(r\neq0\).

Exemple – \(2x^2+x-3\)

\(P(1)=2\times1^2+1-3=2+1-3=0\), donc \(r=1\). Le produit des racines vaut \(\frac ca=-\frac32\) : \(1\times s=-\frac32\), donc \(s=-\frac32\). \[P(x)=2(x-1)\left(x+\frac32\right)=(x-1)(2x+3).\] Vérification des coefficients : \[(x-1)(2x+3)=2x^2+3x-2x-3=2x^2+x-3.\] Vérification avec la somme : \(1-\frac32=\frac22-\frac32=-\frac12=-\frac ba\).

Exemple – quand la racine évidente est nulle

Pour \(Q(x)=4x^2-6x\), on a \(Q(0)=0\). Le produit \(0\times s=0\) ne permet pas de déterminer \(s\) : toute valeur satisferait cette égalité. La somme vaut \(-\frac ba=-\frac{-6}{4}=\frac32\). Ainsi \(0+s=\frac32\), donc \(s=\frac32\). On retrouve la factorisation directe : \(Q(x)=2x(2x-3)\), qui donne \(x=0\) ou \(x=\frac32\).

Exemple – \(x^2-5x+6\)

On cherche deux nombres de somme \(5\) et de produit \(6\). Les paires entières positives dont le produit vaut \(6\) sont \((1,6)\) et \((2,3)\). Leurs sommes valent \(7\) et \(5\) : on retient \(2\) et \(3\). Ce repérage se transforme en preuve par développement : \[(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6.\] Les racines sont donc \(2\) et \(3\).

Exemple – produit négatif

Pour \(x^2+x-6\), la somme recherchée vaut \(-1\) et le produit \(-6\). Le produit négatif indique deux nombres de signes contraires. Les nombres \(-3\) et \(2\) ont somme \(-1\) et produit \(-6\) : \[(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6.\] Un produit positif, au contraire, demande des nombres de même signe : leur somme indique alors lequel.

Piège / erreur fréquente

Ne pas trouver de paire entière n’établit pas l’absence de racines réelles. Pour \(x^2-2x-1\), on ne trouve pas de paire entière de somme \(2\) et produit \(-1\), mais \(\Delta=8>0\) donne les deux racines \(1-\sqrt2\) et \(1+\sqrt2\).

Essai guidé

\(Q(x)=3x^2-7x+2\) admet la racine \(2\). Trouver l’autre racine par le produit, puis vérifier avec la somme et par développement.

Correction expliquée

Le produit est \(\frac23\). Donc \(2s=\frac23\). Diviser les deux membres par \(2\) donne \[s=\frac23\div2=\frac23\times\frac12=\frac26=\frac13.\] La somme vaut \(2+\frac13=\frac63+\frac13=\frac73=-\frac{-7}{3}\). La factorisation est \(Q(x)=3(x-2)(x-\frac13)=(x-2)(3x-1)\). \[(x-2)(3x-1)=3x^2-x-6x+2=3x^2-7x+2.\]

À toi – essaie avant de lire la correction

Factoriser \(2x^2-7x+3\) après avoir vérifié que \(3\) est une racine. Puis expliquer pourquoi les expressions \(2(x-3)(x-\frac12)\) et \((x-3)(2x-1)\) sont égales.

Correction expliquée

Pour \(x=3\), \(2\times9-7\times3+3=18-21+3=0\). Si l’autre racine est \(s\), \(3s=\frac32\), donc \(s=\frac32\times\frac13=\frac12\). On écrit \(2(x-3)(x-\frac12)\). Distribuer \(2\) dans le dernier facteur donne \(2x-1\) ; on obtient \((x-3)(2x-1)\). Le développement est \(2x^2-x-6x+3=2x^2-7x+3\).

Réparer un coefficient dominant oublié

Une copie factorise \(2x^2-2\) en \((x-1)(x+1)\). Les racines sont correctes mais le redéveloppement donne \(x^2-1\), pas l’expression initiale. Plus simple : \(2A-2B=2(A-B)\). Ici \(2x^2-2=2(x^2-1)=2(x-1)(x+1)\). Nouvel essai : factoriser \(3x^2-12\). La correction est \(3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)\). Le facteur \(3\) est conservé jusqu’au bout.

À reprendre plus tard

Reprendre \(P(x)=2x^2-5x+2\). Tester \(2\), trouver l’autre racine, puis factoriser et vérifier les coefficients.

Correction expliquée

\(P(2)=8-10+2=0\). Le produit des racines vaut \(2/2=1\), donc \(2s=1\) et \(s=\frac12\). \(P(x)=2(x-2)(x-\frac12)=(x-2)(2x-1)\). Le développement \(2x^2-x-4x+2=2x^2-5x+2\) confirme le résultat.

Méthode – construire un tableau de signes

1. Identifier l’expression et son domaine. Ne pas mélanger le signe du trinôme et celui d’une fraction qui le contient. 2. Trouver les zéros. Utiliser les facteurs déjà présents ou résoudre l’équation associée. 3. Ranger les abscisses. Du plus petit au plus grand, en ajoutant les valeurs interdites si nécessaire. 4. Écrire les lignes utiles. Un facteur affine, un carré ou un trinôme déjà étudié par ligne. 5. Combiner les signes intervalle par intervalle. Compter les facteurs négatifs ; un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif. 6. Traiter les points. Zéro si le numérateur ou un facteur du produit s’annule et que l’expression est définie ; double barre si le dénominateur est nul. 7. Lire la dernière ligne. Sélectionner les intervalles et les points demandés par l’inéquation.

Démonstration – trois intervalles et deux points

Si \(x<r_1\), les différences \(x-r_1\) et \(x-r_2\) sont négatives : leur produit est positif. Multiplier par \(a\) donne le signe de \(a\). Si \(r_1<x<r_2\), le premier facteur est positif et le second négatif : le produit est négatif. Multiplier par \(a\) donne le signe opposé à celui de \(a\). Si \(x>r_2\), les deux facteurs sont positifs : on retrouve le signe de \(a\). En \(x=r_1\) et \(x=r_2\), un facteur s’annule et \(f(x)=0\).

Exemple complet – \(f(x)=2x^2-5x-3\)

Zéros. \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-3\). \[\begin{aligned} \Delta&=(-5)^2-4\times2\times(-3)\\ &=25-(-24)=49. \end{aligned}\] \[r_1=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac12,\qquad r_2=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3.\] Facteurs. \(f(x)=2(x+\frac12)(x-3)\). Le facteur \(2\) est positif. Le facteur \(x+\frac12\) devient positif après \(-\frac12\) ; \(x-3\) devient positif après \(3\). Il ne faut pas changer les deux lignes au même endroit.

Exemple complet – \(g(x)=-x^2+4x+5\)

\[\Delta=4^2-4\times(-1)\times5=16+20=36.\] Ici \(-b=-4\), \(2a=-2\) et \(\sqrt\Delta=6\). Les deux formules donnent \[x_1=\frac{-4-6}{-2}=\frac{-10}{-2}=5, \qquad x_2=\frac{-4+6}{-2}=\frac2{-2}=-1.\] On range les racines \(-1<5\) et on écrit \(g(x)=-(x+1)(x-5)\). Le facteur extérieur \(-1\) inverse le signe du produit des deux facteurs affines.

Démonstration – le carré ne change pas de signe

Si \(\Delta=0\), la factorisation est \(f(x)=a(x-r)^2\). Pour \(x\neq r\), le carré est strictement positif, donc \(f(x)\) a le signe de \(a\). Pour \(x=r\), il vaut zéro. Le signe ne change pas en traversant la racine double.

Démonstration – un bloc strictement positif

Si \(\Delta<0\), la forme canonique s’écrit \[f(x)=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right].\] Le carré est positif ou nul. Comme \(4a^2>0\) et \(-\Delta>0\), le terme \(-\frac\Delta{4a^2}\) est strictement positif. Le crochet entier est donc strictement positif pour tout \(x\). Multiplier ce crochet par \(a\) donne partout le signe de \(a\) ; aucun zéro n’est présent.

Les six cas en trois règles, avec le signe de \(a\)

\(\Delta>0\) : le signe change aux deux racines simples ; signe de \(a\) à l’extérieur, signe opposé au milieu.

\(\Delta=0\) : le signe reste celui de \(a\), avec un seul zéro ; il ne change pas à la racine double.

\(\Delta<0\) : le signe est strictement celui de \(a\) sur tout \(\mathbb{R}\) ; aucun zéro.

Méthode

Un quotient est défini seulement lorsque son dénominateur est non nul. Son signe se calcule comme celui d’un produit : mêmes signes donnent \(+\), signes contraires donnent \(-\). Mais un zéro du dénominateur est interdit, même si le numérateur s’annule aussi. Il reçoit une double barre dans la dernière ligne. Ne multiplier aucune inéquation par une expression de signe inconnu sans distinguer les cas : le sens pourrait changer.

Exemple – \(\dfrac{x^2-x-2}{x-1}\ge0\)

Le dénominateur impose \(x\neq1\). Le numérateur se factorise : \[(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2.\] Ses zéros sont \(-1\) et \(2\). On range les trois nombres \(-1<1<2\), même si \(1\) n’est pas une racine du numérateur.

Exemple – \(\dfrac{x^2-4}{x-2}>0\)

Le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Sur ce domaine, \[\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\] car le facteur simplifié \(x-2\) est non nul. La dernière écriture ne permet pas de revenir en \(x=2\) dans l’expression initiale.

Essai guidé

Résoudre \(2x^2-3x-2\le0\). Écrire les racines, les ranger, choisir le signe extérieur, compléter le tableau et justifier les crochets.

Correction expliquée

\(a=2>0\) et \(\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-2)=9+16=25\). Avec \(-b=3\), \(2a=4\) et \(\sqrt\Delta=5\) : \[r_1=\frac{3-5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac12, \qquad r_2=\frac{3+5}{4}=\frac84=2.\] Elles sont déjà rangées. Le signe extérieur est positif et le signe central négatif.

À toi – essaie avant de lire la correction

Résoudre \(-3x^2+6x+9\ge0\). Construire un tableau et expliquer pourquoi le signe au milieu sera positif.

Correction expliquée

\[\Delta=6^2-4\times(-3)\times9=36+108=144.\] On calcule \(-b=-6\), \(2a=-6\) et \(\sqrt\Delta=12\). Ainsi \[x_1=\frac{-6-12}{-6}=\frac{-18}{-6}=3, \qquad x_2=\frac{-6+12}{-6}=\frac6{-6}=-1.\] On range \(-1<3\). La factorisation est \(-3(x+1)(x-3)\). Au milieu, les deux facteurs affines sont de signes contraires, leur produit est négatif ; le facteur \(-3\) le rend positif.

Justifier, pas seulement tester

Un élève calcule \(P(0)>0\) et \(P(4)>0\) puis affirme « \(P\) est positive sur \([0;4]\) ». Expliquer pourquoi ce raisonnement ne suffit pas avec \(P(x)=(x-1)(x-3)\).

Correction expliquée

\(P(0)=(-1)(-3)=3>0\) et \(P(4)=3\times1=3>0\), mais \(P(2)=1\times(-1)=-1<0\). Deux tests favorables ne contrôlent pas tous les points de l’intervalle. Il faut étudier les signes des facteurs sur les trois intervalles découpés par \(1\) et \(3\).

Reprendre une confusion de signe extérieur

Une copie donne le signe \(+,0,-,0,+\) à \(-(x+1)(x-5)\). Elle a oublié le facteur extérieur \(-1\). Plus simple : \(-(2\times3)=-6\), et \(-((-2)\times3)=6\). L’opposé inverse un signe non nul. La ligne du produit \((x+1)(x-5)\) est \(+,0,-,0,+\) ; celle de son opposé est donc \(-,0,+,0,-\). Nouvel essai : le signe de \(-2(x-1)^2\) est négatif pour \(x\neq1\), nul pour \(x=1\) ; il n’est jamais positif.

À reprendre plus tard

Reprendre plus tard \(-x^2-2x+3\le0\), en dessinant le tableau et en donnant l’ensemble solution avant de consulter la correction.

Correction expliquée

Les coefficients sont \(a=-1\), \(b=-2\), \(c=3\), d’où \[\Delta=(-2)^2-4\times(-1)\times3=4-(-12)=16.\] Avec \(-b=2\), \(2a=-2\) et \(\sqrt\Delta=4\), les racines sont \[x_1=\frac{2-4}{-2}=\frac{-2}{-2}=1, \qquad x_2=\frac{2+4}{-2}=\frac6{-2}=-3.\] On les range : \(-3<1\). \(a=-1<0\), donc le signe est négatif à l’extérieur, positif à l’intérieur.

Lecture graphique – choisir le bon trajet

Pour lire \(f(u)\), partir de l’abscisse \(u\), rejoindre verticalement la courbe puis lire l’ordonnée. Pour résoudre \(f(x)=k\), partir de la hauteur \(k\), tracer mentalement l’horizontale et lire toutes les abscisses des intersections. Pour \(f(x)\le k\), repérer les portions de courbe sous cette horizontale, puis projeter ces portions sur l’axe des abscisses.

Une lecture sur un dessin donne-t-elle une valeur exacte ?

Pas toujours. Une graduation, un point explicitement donné ou une information d’énoncé peut fixer une valeur exacte. Une intersection estimée entre deux graduations donne normalement une approximation. Écrire \(r\approx1{,}4\) après une lecture n’autorise pas à remplacer \(r\) par \(1{,}4\) dans un raisonnement exact.

Méthode

Déterminer le sommet et l’axe ; lire l’orientation grâce à \(a\) ; calculer quelques points de part et d’autre du sommet ; exploiter la symétrie ; choisir des axes gradués ; tracer une courbe régulière. Le sommet ne forme pas une pointe. Un tableau de valeurs aide à placer des points, mais ne suffit pas à prouver toutes les variations.

Démonstration – somme des racines

Si \(r_1,r_2\) sont les racines, éventuellement confondues, alors \(r_1+r_2=-\frac ba\). Le milieu de leurs abscisses vaut \[\frac{r_1+r_2}{2}=\left(-\frac ba\right)\times\frac12=-\frac b{2a}=\alpha.\] Or la forme canonique a déjà montré que l’axe est \(x=\alpha\). Avec \(r_1=-1\) et \(r_2=3\), le milieu est \(\frac{-1+3}{2}=1\).

Théorème

Pour une fonction du second degré, si \(p\neq q\) et \(f(p)=f(q)\), alors l’axe a pour équation \(x=\frac{p+q}{2}\).

Démonstration – factoriser la différence des images

Avec \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\neq0\) : \[\begin{aligned} f(p)-f(q)&=(ap^2+bp+c)-(aq^2+bq+c)\\ &=ap^2+bp+c-aq^2-bq-c\\ &=a(p^2-q^2)+b(p-q)\\ &=a(p-q)(p+q)+b(p-q)\\ &=(p-q)[a(p+q)+b]. \end{aligned}\] L’hypothèse \(f(p)=f(q)\) rend cette différence nulle. Comme \(p-q\neq0\), le second facteur doit s’annuler : \(a(p+q)+b=0\). Soustraire \(b\), puis diviser par \(a\neq0\), donne \(p+q=-\frac ba\). Diviser par \(2\) donne \(\frac{p+q}{2}=-\frac b{2a}=\alpha\). Si \(p=q\), la première division serait interdite et on ne pourrait rien conclure sur l’axe : une image est toujours égale à elle-même.

Méthode

Les deux racines distinctes \(r,s\) imposent la forme \(f(x)=a(x-r)(x-s)\), \(a\neq0\). Un point \((u;v)\) impose \(a(u-r)(u-s)=v\). Calculer le produit \((u-r)(u-s)\) avant de diviser. Si \(u\) est une racine, ce produit vaut zéro : le point ne détermine pas \(a\) lorsque \(v=0\), ou contredit les données lorsque \(v\neq0\).

Exemple complet – racines \(-2\) et \(4\), image \(f(0)=12\)

Les signes dans les facteurs sont imposés : \(x-(-2)=x+2\) et \(x-4\). \[f(x)=a(x+2)(x-4).\] Remplacer \(x\) par \(0\) donne \(12=a\times(0+2)\times(0-4)=a\times2\times(-4)=-8a\). Comme \(-8\neq0\), diviser les deux membres par \(-8\) donne \(a=\frac{12}{-8}=-\frac32\). Donc \[\boxed{f(x)=-\frac32(x+2)(x-4)}.\] Contrôle : \(f(-2)=0\) et \(f(4)=0\) par les facteurs, et \(f(0)=-\frac32\times(-8)=12\). Pour développer, on écrit les quatre produits : \[\begin{aligned} (x+2)(x-4)&=x\times x+x\times(-4)+2\times x+2\times(-4)\\ &=x^2-4x+2x-8=x^2-2x-8,\\ f(x)&=-\tfrac32x^2+3x+12. \end{aligned}\] L’axe est \(x=\frac{-2+4}{2}=1\) ; \(f(1)=-\frac32\times3\times(-3)=\frac{27}{2}\). Puisque \(a<0\), c’est un maximum.

Méthode

Le sommet \(S(\alpha;\beta)\) impose \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\). Pour un autre point \((u;v)\), écrire \(v=a(u-\alpha)^2+\beta\), soustraire \(\beta\), puis diviser par \((u-\alpha)^2\) si \(u\neq\alpha\). Contrôler ensuite le signe de \(a\) et toutes les données.

Exemple complet – sommet \(S(1;-3)\) et point \(A(3;5)\)

\[f(x)=a(x-1)^2-3,\qquad5=a(3-1)^2-3=4a-3.\] Ajouter \(3\) aux deux membres donne \(5+3=4a-3+3\), soit \(8=4a\). Diviser par \(4\neq0\) donne \(a=2\). \[\boxed{f(x)=2(x-1)^2-3}.\] Au sommet : \(f(1)=2\times0^2-3=-3\). Au point \(A\) : \(f(3)=2\times2^2-3=8-3=5\). Ces contrôles portent sur deux conditions différentes.

Données insuffisantes ou incompatibles

Le sommet seul ne fixe pas l’ouverture : \((x-1)^2-3\) et \(2(x-1)^2-3\) ont le même sommet. Un point supplémentaire dont l’abscisse est \(1\) doit avoir pour ordonnée \(-3\) ; il n’apporte alors aucune nouvelle information. Une donnée conduisant à \(a=0\) est incompatible avec une fonction du second degré.

Méthode

Sans racines ni sommet connus, partir de \(f(x)=ax^2+bx+c\). Chaque point \((u;v)\) fournit l’équation \(au^2+bu+c=v\). Trois abscisses distinctes permettent de déterminer au plus un polynôme de degré au plus \(2\). Vérifier ensuite \(a\neq0\) : trois points alignés peuvent conduire à une fonction affine.

Exemple complet – \(A(0;1)\), \(B(1;0)\) et \(C(2;3)\)

Les substitutions donnent \[\begin{cases} c=1,\\ a+b+c=0,\\ 4a+2b+c=3. \end{cases}\] Remplacer \(c\) par \(1\) et soustraire \(1\) dans les deux dernières équations donne \(a+b=-1\) et \(4a+2b=2\). Diviser la seconde par \(2\) donne \(2a+b=1\). Soustraire membre à membre l’équation \(a+b=-1\) de \(2a+b=1\) : \[(2a+b)-(a+b)=1-(-1),\quad2a+b-a-b=2,\quad a=2.\] Reporter dans \(a+b=-1\) donne \(2+b=-1\), donc \(b=-3\). Avec \(c=1\) : \[\boxed{f(x)=2x^2-3x+1}.\] Contrôles : \(f(0)=1\) ; \(f(1)=2-3+1=0\) ; \(f(2)=8-6+1=3\).

Essai guidé

Une parabole a pour racines \(-1\) et \(5\) et vérifie \(f(0)=10\). Écrire d’abord \(f(x)=a(x+1)(x-5)\) ; déterminer \(a\), l’axe et le sommet.

Correction expliquée

\(10=a\times1\times(-5)=-5a\) ; diviser par \(-5\) donne \(a=-2\). L’axe est \(x=\frac{-1+5}{2}=2\). \(f(2)=-2(2+1)(2-5)=(-2)\times3\times(-3)=18\). Le sommet est \((2;18)\) ; \(a<0\) donne un maximum. Contrôle de l’image : \(-2(0+1)(0-5)=10\).

À toi – essaie avant de lire la correction

Une parabole a pour sommet \(S(-2;5)\) et passe par \((0;-3)\). Retrouver sa forme canonique et ses variations. Expliquer pourquoi connaître le sommet seulement ne suffirait pas.

Correction expliquée

On écrit \(f(x)=a(x+2)^2+5\). L’image de zéro impose \(-3=4a+5\) ; soustraire \(5\) donne \(-8=4a\), puis \(a=-2\). Donc \(f(x)=-2(x+2)^2+5\). Le coefficient négatif impose une croissance jusqu’à \(-2\), puis une décroissance. Sans le point \((0;-3)\), \(a\) pourrait être n’importe quel réel non nul : la largeur et l’orientation ne seraient pas fixées.

Reprise – un facteur ne se lit pas comme une racine

Écrire « racine \(-2\), donc facteur \(x-2\) » est faux : \(x-2\) s’annule en \(2\). Le facteur associé à \(r\) est \(x-r\), donc ici \(x-(-2)=x+2\). Nouvel essai : écrire les facteurs pour les racines \(-4\) et \(\frac12\). Correction : \((x+4)\) et \((x-\frac12)\) ; le second peut être remplacé par \((2x-1)\) à condition d’ajuster le coefficient extérieur. Revenir à \(-2\) : substituer \(x=-2\) dans \(x+2\) donne bien zéro.

À reprendre plus tard

Reprendre plus tard : retrouver le polynôme de degré au plus \(2\) passant par \((0;2)\), \((1;3)\) et \((2;8)\). Vérifier s’il est vraiment du second degré.

Correction expliquée

\(c=2\) ; \(a+b+2=3\) donne \(a+b=1\) ; \(4a+2b+2=8\) donne \(2a+b=3\) après soustraction de \(2\) puis division par \(2\). Soustraire \(a+b=1\) donne \(a=2\) ; alors \(b=-1\). On trouve \(2x^2-x+2\) ; le coefficient \(2\neq0\) confirme le second degré. Les images \(2\), \(2-1+2=3\) et \(8-2+2=8\) vérifient les trois points.

Développée vers canonique

Mettre \(a\) en facteur dans les deux termes contenant \(x\), compléter le carré à l’intérieur, distribuer \(a\) puis réduire les constantes. Le développement final doit rendre les coefficients initiaux. Ne pas prendre la moitié de \(b\) avant d’avoir tenu compte de \(a\).

Canonique vers développée

Développer le carré, multiplier chacun de ses termes par \(a\), puis additionner \(\beta\). Par exemple : \[\begin{aligned} -3(x-2)^2+5&=-3(x^2-2x-2x+4)+5\\ &=-3x^2+6x+6x-12+5\\ &=-3x^2+12x-7. \end{aligned}\]

Factorisée vers développée

Effectuer les quatre produits, réduire les termes en \(x\) et distribuer le coefficient extérieur. Exemple : \[\begin{aligned} -2(x+1)(x-3)&=-2(x^2-3x+x-3)\\ &=-2(x^2-2x-3)\\ &=-2x^2+4x+6. \end{aligned}\]

Développée vers factorisée

Chercher d’abord facteur commun, identité, racine évidente, somme-produit. À défaut, utiliser le discriminant. Si \(\Delta>0\), écrire \(a(x-r_1)(x-r_2)\) ; si \(\Delta=0\), \(a(x-r)^2\) ; si \(\Delta<0\), il n’existe pas de produit de deux facteurs affines réels. Ne pas supprimer \(a\).

Canonique vers factorisée

Pour \(a(x-\alpha)^2+\beta\), écrire \[a\left[(x-\alpha)^2+\frac\beta a\right].\] Lorsque \(-\frac\beta a>0\), poser \(d=\sqrt{-\frac\beta a}\), puis utiliser \[a[(x-\alpha)^2-d^2]=a(x-\alpha-d)(x-\alpha+d).\] Si \(\beta=0\), le carré est déjà factorisé. Si \(-\frac\beta a<0\), aucun zéro réel ne permet cette factorisation.

Factorisée vers canonique sans tout développer

Pour \(a(x-r_1)(x-r_2)\), calculer le milieu \(\alpha=\frac{r_1+r_2}{2}\) puis \(\beta=f(\alpha)\). Le sommet impose alors la forme \(a(x-\alpha)^2+\beta\). Exemple : pour \(-2(x+1)(x-3)\), \(\alpha=1\) et \(\beta=-2\times2\times(-2)=8\), donc \(-2(x-1)^2+8\).

Essai guidé

Pour \(p(x)=(x-3)^2-16\), écrire la forme développée puis la forme factorisée. Utiliser une forme adaptée pour calculer \(p(0)\), trouver les racines et le minimum.

Correction expliquée

\((x-3)^2=x^2-3x-3x+9=x^2-6x+9\) ; donc \(p(x)=x^2-6x-7\). La différence de carrés donne \(p(x)=[(x-3)-4][(x-3)+4]=(x-7)(x+1)\). La forme développée donne \(p(0)=-7\). La factorisée donne les racines \(7\) et \(-1\). La canonique donne un minimum \(-16\), atteint pour \(x=3\), car son carré est multiplié par \(1>0\).

Choisir depuis des consignes mélangées

Résoudre dans \(\mathbb{R}\), en indiquant le premier geste avant le calcul : \[\text{a) }x^2-7x=0;\qquad \text{b) }(2x-1)^2=8;\qquad \text{c) }x^2+x-1=0.\] Comparer ensuite la quantité de calcul nécessaire, sans chercher à imposer la même méthode.

Correction expliquée

a) Le facteur \(x\) est commun : \(x(x-7)=0\), donc \(x=0\) ou \(x=7\). b) Le carré est isolé : \(2x-1=\sqrt8\) ou \(2x-1=-\sqrt8\). Comme \(\sqrt8=2\sqrt2\), ajouter \(1\) puis diviser par \(2\) donne \(x=\frac12+\sqrt2\) ou \(x=\frac12-\sqrt2\). c) Aucune structure aussi immédiate : \(a=1\), \(b=1\), \(c=-1\), donc \(\Delta=1^2-4\times1\times(-1)=5>0\). On trouve \(x=\frac{-1-\sqrt5}{2}\) ou \(x=\frac{-1+\sqrt5}{2}\). Les trois démarches utilisent des résultats différents, tous déjà justifiés.

Reprise – développer peut cacher l’information

Devant \((x-4)(x+2)=0\), développer crée une équation plus longue. Le produit nul donne directement \(x=4\) ou \(x=-2\). Pour un nouvel essai \((3x+1)(x-5)=0\), on obtient \(3x+1=0\) ou \(x-5=0\), donc \(x=-\frac13\) ou \(x=5\). Revenir ensuite au problème initial : le bon premier geste conserve les facteurs.

À reprendre plus tard

Reprendre plus tard \(q(x)=-2(x-1)^2+8\) : trouver ses racines, son maximum et le signe de \(q(x)\). Choisir la forme avant chaque demande.

Correction expliquée

\(q(x)=-2[(x-1)^2-4]=-2(x-3)(x+1)\). Les racines sont \(-1\) et \(3\). La canonique donne le maximum \(8\) en \(1\). Avec \(a=-2<0\), la factorisée donne un signe négatif à l’extérieur et positif entre les racines :

Méthode

Former \(F(x)=f(x)-k\). L’équation \(f(x)=k\) devient \(F(x)=0\). Si \(f(x)=ax^2+bx+c\), le nouveau trinôme est \(ax^2+bx+(c-k)\) : le coefficient constant change. Son discriminant vaut \(b^2-4a(c-k)\), pas nécessairement \(b^2-4ac\).

Exemple complet – \(2x^2-8x+3=5\)

Soustraire \(5\) dans les deux membres donne \(2x^2-8x-2=0\). Diviser par \(2\neq0\) donne \(x^2-4x-1=0\). \[\Delta=(-4)^2-4\times1\times(-1)=16+4=20,\qquad\sqrt{20}=2\sqrt5.\] Les solutions sont \(\frac{4-2\sqrt5}{2}=2-\sqrt5\) et \(\frac{4+2\sqrt5}{2}=2+\sqrt5\). Autre voie : \(2x^2-8x+3=2(x-2)^2-5\). L’équation devient \(2(x-2)^2-5=5\), puis \(2(x-2)^2=10\), puis \((x-2)^2=5\). On retrouve les mêmes valeurs. Le contrôle dans la canonique donne \(2\times5-5=5\).

Méthode

Écrire l’égalité des ordonnées \(f(x)=\ell(x)\). Résoudre pour trouver les abscisses. Pour chaque solution \(r\), calculer ensuite l’ordonnée commune \(f(r)=\ell(r)\). Un point d’intersection est un couple, pas seulement une solution d’équation.

Exemple complet – \(f(x)=x^2-2x-3\) et \(\ell(x)=x+1\)

\[\begin{aligned} f(x)=\ell(x)&\iff x^2-2x-3=x+1\\ &\iff x^2-2x-3-x-1=0\\ &\iff x^2-3x-4=0\\ &\iff(x-4)(x+1)=0. \end{aligned}\] La dernière factorisation se vérifie par \(x^2+x-4x-4=x^2-3x-4\). Les abscisses sont \(-1\) et \(4\). Pour l’ordonnée, la droite est plus rapide : \(\ell(-1)=0\) et \(\ell(4)=5\). Les points sont donc \[\boxed{A(-1;0)\quad\text{et}\quad B(4;5)}.\] Contrôler dans la parabole : \(f(-1)=1+2-3=0\) ; \(f(4)=16-8-3=5\).

Méthode

Former \(H(x)=f(x)-\ell(x)\) puis construire son tableau de signes. Si \(H(x)>0\), la courbe de \(f\) est au-dessus ; si \(H(x)<0\), elle est en dessous ; si \(H(x)=0\), les courbes se coupent. Attention : le signe de \(f\) seule compare sa courbe à l’axe horizontal, pas à une autre courbe.

Exemple de référence

Soient \(f(x)=x^2-2x+1\) et \(g(x)=x^2+2x-3\). Leur différence vaut \[\begin{aligned} f(x)-g(x)&=(x^2-2x+1)-(x^2+2x-3)\\ &=x^2-2x+1-x^2-2x+3\\ &=-4x+4. \end{aligned}\] Les termes en \(x^2\) s’annulent. Les intersections se calculent donc sans discriminant : \(-4x+4=0\), puis \(-4x=-4\), d’où \(x=1\). L’ordonnée est \(f(1)=1-2+1=0\). L’unique point d’intersection est \((1;0)\).

Essai guidé

Pour \(f(x)=x^2-4\) et \(\ell(x)=2x-1\), écrire \(f(x)-\ell(x)\), trouver les intersections puis les intervalles où \(\mathcal C_f\) est au-dessus de la droite.

Correction expliquée

\(f(x)-\ell(x)=x^2-4-(2x-1)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Les abscisses sont \(-1\) et \(3\). La droite donne les ordonnées \(2(-1)-1=-3\) et \(2\times3-1=5\), donc les points \((-1;-3)\) et \((3;5)\). Le coefficient du carré est positif, donc la différence est positive à l’extérieur des deux racines :

À toi – essaie avant de lire la correction

Comparer \(p(x)=x^2+2x+1\) et \(q(x)=-x^2+1\) : points communs et position relative. Justifier les changements de signe quand on soustrait \(q(x)\).

Correction expliquée

\[p(x)-q(x)=x^2+2x+1-(-x^2+1)=x^2+2x+1+x^2-1=2x^2+2x=2x(x+1).\] Le moins devant la parenthèse change les deux signes. Les abscisses communes sont \(-1\) et \(0\) ; les ordonnées \(p(-1)=1-2+1=0\) et \(p(0)=1\). Les points sont \((-1;0)\) et \((0;1)\). La différence est positive à l’extérieur de \([-1;0]\), négative entre les deux zéros :

Reprise – j’ai étudié le signe de la mauvaise fonction

Pour comparer \(x^2\) et \(x+2\), étudier seulement \(x^2\ge0\) ne répond pas à la question. Revenir à \(x^2-(x+2)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Nouvel essai : comparer \(x^2\) à \(4\). Former \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) : \(x^2\ge4\) pour \(x\le-2\) ou \(x\ge2\), alors que \(x^2\ge0\) vaut pour tous les réels. Le terme soustrait change l’objet étudié.

À reprendre plus tard

Reprendre plus tard : résoudre \(x^2-2x+3\le4\) et expliquer la solution comme une comparaison avec une droite horizontale.

Correction expliquée

\(x^2-2x+3\le4\) équivaut à \((x-1)^2+2\le4\), puis \((x-1)^2\le2\). L’écart à \(1\) est au plus \(\sqrt2\), donc \(1-\sqrt2\le x\le1+\sqrt2\). La courbe est sous \(y=4\), égalité comprise, pour ces abscisses.

Méthode

Identifier le coefficient de \(x^2\) et chercher les valeurs du paramètre qui l’annulent. Traiter ces valeurs directement dans l’équation initiale. Sur les autres valeurs seulement, utiliser le discriminant. Pour diviser une inégalité par une expression du paramètre, il faudrait connaître son signe ; préférer un tableau de signes ou une disjonction de cas.

Exemple du changement de degré

Pour \(P_t(x)=(t-1)x^2+(t+1)x-2\), le coefficient dominant est \(t-1\). Le second degré exige \(t\neq1\). Si \(t=1\), l’équation devient \[(1-1)x^2+(1+1)x-2=0,\quad 0x^2+2x-2=0,\quad2x=2,\quad x=1.\] Aucune formule comportant \(2(t-1)\) au dénominateur n’est utilisable dans ce cas. Si \(t=-1\), l’équation devient \(-2x^2-2=0\), donc \(x^2=-1\) : aucune solution réelle. Une famille peut ainsi contenir des fonctions de degrés et de comportements différents.

Nombre de racines selon \(m\)

\[f_m(x)=0\iff(x-2)^2=4-m.\] Si \(m<4\), alors \(4-m>0\) : les deux solutions sont \(2-\sqrt{4-m}\) et \(2+\sqrt{4-m}\). Si \(m=4\), le carré vaut zéro : seule la valeur \(x=2\) convient, racine double. Si \(m>4\), le membre de droite est négatif : aucune solution réelle. Le discriminant confirme : \(\Delta=(-4)^2-4m=16-4m=4(4-m)\).

Exemple complet – \(q_m(x)=x^2-2mx+m+2\)

Le coefficient de \(x^2\) vaut toujours \(1\). Les coefficients pour l’équation en \(x\) sont \(a=1\), \(b=-2m\), \(c=m+2\). \[\begin{aligned} \Delta(m)&=(-2m)^2-4\times1\times(m+2)\\ &=4m^2-4m-8\\ &=4(m^2-m-2)\\ &=4(m-2)(m+1). \end{aligned}\] Pour la dernière identité : \((m-2)(m+1)=m^2+m-2m-2=m^2-m-2\). On étudie maintenant le signe en fonction de \(m\), pas de \(x\) :

Exemple complet – \((m-1)x^2+2x+1=0\)

Si \(m=1\), on obtient \(2x+1=0\), donc \(x=-\frac12\).

Si \(m\neq1\), le coefficient dominant est non nul : \[\Delta=2^2-4(m-1)\times1=4-4m+4=4(2-m).\] Pour \(m<2\) avec \(m\neq1\), il existe deux solutions : \[x=\frac{-2\pm2\sqrt{2-m}}{2(m-1)} =\frac{-1\pm\sqrt{2-m}}{m-1}.\] Pour \(m=2\), \(\Delta=0\) et \(x=-\frac2{2(2-1)}=-1\). Pour \(m>2\), \(\Delta<0\) : aucune solution réelle. La conclusion doit garder le cas \(m=1\) séparé : son unique solution ne provient pas d’un discriminant nul mais de la disparition du terme en \(x^2\).

Essai guidé

Pour \(f_m(x)=2(x-1)^2+m\), déterminer \(m\) afin que la fonction n’ait aucune racine réelle, ait une racine double ou ait deux racines distinctes.

Correction expliquée

\(f_m(x)=0\) donne \(2(x-1)^2=-m\), puis \((x-1)^2=-\frac m2\). Le quotient est négatif pour \(m>0\) : aucune racine. Il est nul pour \(m=0\) : racine double \(1\). Il est positif pour \(m<0\) : deux racines \(1\pm\sqrt{-\frac m2}\). Le minimum de \(f_m\) vaut \(m\) : la même classification se lit par la position du sommet par rapport à l’axe.

À toi – essaie avant de lire la correction

Pour \((m+2)x^2-3x+1=0\), isoler le cas où le degré change, puis déterminer le nombre de solutions réelles selon \(m\). Ne pas utiliser une formule dont le dénominateur pourrait être nul.

Correction expliquée

Le degré change pour \(m=-2\) : l’équation devient \(-3x+1=0\), donc \(x=\frac13\). Si \(m\neq-2\), \(\Delta=(-3)^2-4(m+2)=9-4m-8=1-4m\). Il y a deux solutions pour \(m<\frac14\), sauf le cas \(m=-2\) déjà traité ; une racine double pour \(m=\frac14\) ; aucune solution pour \(m>\frac14\). À \(m=\frac14\), \(a=\frac94\) et \(x_0=\frac3{2\times\frac94}=3\times\frac29=\frac23\).

Reprise – une simplification a effacé un cas

Devant \((m-1)x=0\), diviser par \(m-1\) sans discussion donne à tort seulement \(x=0\). Si \(m=1\), l’égalité est \(0=0\) et tous les réels \(x\) conviennent. Si \(m\neq1\), la division donne \(x=0\). Nouvel essai : résoudre \((m+3)x=2\). Pour \(m=-3\), \(0=2\) est impossible ; sinon \(x=\frac2{m+3}\). Revenir au trinôme : vérifier le degré avant toute division liée à son coefficient.

À reprendre plus tard

Reprendre plus tard \(p_m(x)=x^2+2x+m\). Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(p_m\) est positive ou nulle pour tout réel \(x\), puis celles pour lesquelles \(2\) est une racine.

Correction expliquée

\(p_m(x)=(x+1)^2+(m-1)\) ; son minimum est \(m-1\). Être positive ou nulle partout équivaut à \(m\ge1\). Pour imposer la racine \(2\), \(p_m(2)=4+4+m=8+m=0\), donc \(m=-8\). Ces deux demandes ne peuvent pas être réalisées simultanément ici, car \(-8<1\).

Méthode

Nommer la variable et son unité. Traduire les contraintes en domaine. Exprimer la grandeur à optimiser. Transformer le trinôme en forme canonique ou utiliser son tableau de variations. Vérifier si le sommet appartient au domaine et si les bornes sont incluses. Conclure avec les dimensions, unités et conditions demandées, pas seulement avec une abscisse.

Essai guidé

Avec \(24\) m de clôture pour trois côtés le long d’un mur, noter \(x\) la largeur. Déterminer le domaine, l’aire, les dimensions optimales et l’aire maximale. Partir de \(2x+L=24\).

Correction expliquée

\(L=24-2x\). Les dimensions positives donnent \(0<x<12\). L’aire est \(A=x(24-2x)=-2x^2+24x\). \[A(x)=-2(x^2-12x)=-2[(x-6)^2-36]=-2(x-6)^2+72.\] Le sommet \(x=6\) est autorisé. Le maximum est \(72\ \mathrm{m}^2\), avec \(x=6\) m et \(L=24-12=12\) m. Vérifications : \(6+6+12=24\) m de clôture ; \(6\times12=72\ \mathrm{m}^2\).

À toi – essaie avant de lire la correction

Le même jardin impose maintenant \(8\le x\le11\). Déterminer l’aire maximale sous cette contrainte. Expliquer pourquoi reprendre automatiquement \(72\) serait faux.

Correction expliquée

Le sommet \(6\) n’appartient pas à \([8;11]\). La fonction est décroissante après \(6\) ; son maximum sur l’intervalle est donc atteint en \(8\) : \[A(8)=-2\times64+24\times8=-128+192=64.\] La longueur vaut \(24-2\times8=8\) m. À l’autre borne, \(A(11)=-242+264=22\).

Reprise – oublier le domaine

Une réponse annonce un maximum à \(x=-2\) pour une longueur imposée positive. La première erreur est l’absence de contrôle du domaine, avant même la conclusion numérique. Plus simple : pour \(f(x)=-(x+2)^2+9\) sur \([0;3]\), tout l’intervalle est après le sommet \(-2\) ; la fonction décroît. Le maximum vaut \(f(0)=-4+9=5\), pas \(9\). Nouvel essai : sur \([1;2]\), le maximum vaut \(f(1)=-9+9=0\). Revenir au modèle : toujours comparer le sommet au domaine réel de l’énoncé.

À reprendre plus tard

Reprendre plus tard un rectangle de périmètre \(20\) m, avec une dimension \(x\in[2;4]\). Déterminer les deux dimensions optimales et l’aire maximale.

Correction expliquée

L’autre dimension vaut \(10-x\) ; \(A(x)=x(10-x)=-(x-5)^2+25\). Sur \([2;4]\), on est avant le sommet \(5\), donc l’aire croît. Le maximum vaut \(A(4)=4\times6=24\ \mathrm{m}^2\) ; les côtés mesurent \(4\) m et \(6\) m. Contrôle : \(2\times4+2\times6=20\) m.

Trois affirmations à justifier

1. « Une fonction croissante est positive. » 2. « Une racine double ne change pas le signe d’un trinôme. » 3. « Si deux trinômes ont les mêmes racines, ce sont les mêmes fonctions. »

Correction expliquée

1. Faux : \(x^2-4\) est croissante sur \([0;1]\), mais ses images y sont comprises entre \(-4\) et \(-3\). 2. Vrai : la forme \(a(x-r)^2\) garde le signe de \(a\) des deux côtés de \(r\) ; elle est nulle seulement en \(r\). 3. Faux : \((x-1)(x-2)\) et \(3(x-1)(x-2)\) ont les mêmes racines, mais leurs images de zéro sont respectivement \(2\) et \(6\).

Reprendre après une erreur

Erreur observée dans une copie fictive : pour \(f(x)=-2x^2+3x+1\), écrire \(f(-2)=-2\times(-2)^2+3\times2+1\). La première erreur est le remplacement de \(x\) par \(2\) dans le second terme : il faut remplacer chaque occurrence par \(-2\). Plus simple : si \(g(x)=3x+1\), alors \(g(-2)=3\times(-2)+1=-6+1=-5\). Retour : \[f(-2)=-2\times(-2)^2+3\times(-2)+1=-2\times4-6+1=-8-6+1=-13.\] Nouvel essai : calculer \(f(-1)\). Correction : \(f(-1)=-2\times1-3+1=-4\).

Reprendre après une erreur

Erreur : \((x-3)^2=x^2+9\). Le carré est un produit de deux parenthèses, pas la somme des carrés. \[(x-3)^2=(x-3)(x-3)=x\times x+x\times(-3)+(-3)\times x+(-3)\times(-3).\] Donc \((x-3)^2=x^2-3x-3x+9=x^2-6x+9\). Plus simple : \((2-1)^2=1\), tandis que \(2^2+1^2=5\) : l’égalité proposée ne peut pas être une identité. Nouvel essai : développer \((2x+1)^2\). Correction : \((2x)(2x)+(2x)1+1(2x)+1\times1=4x^2+2x+2x+1=4x^2+4x+1\).

Reprendre après une erreur

Erreur : \(x^2+6x+1=(x+3)^2+1\). Le carré ajouté produit déjà une constante \(9\) ; elle doit être retirée. Rappel : \((x+3)^2=x^2+6x+9\), donc \(x^2+6x=(x+3)^2-9\). Retour : \(x^2+6x+1=(x+3)^2-9+1=(x+3)^2-8\). Nouvel essai : mettre \(2x^2+12x+1\) sous forme canonique. Correction : \[2(x^2+6x)+1=2[(x+3)^2-9]+1=2(x+3)^2-18+1=2(x+3)^2-17.\] Le contrôle développé donne \(2x^2+12x+18-17=2x^2+12x+1\). La compensation \(-9\) était aussi multipliée par \(2\).

Reprendre après une erreur

Erreur : \((x-2)^2=9\) donnerait seulement \(x-2=3\). Il manque \(x-2=-3\). Plus simple : les deux nombres \(2\) et \(-2\) ont pour carré \(4\). Retour : \(x-2=3\) donne \(x=5\) ; \(x-2=-3\) donne \(x=-1\). Nouvel essai : \((2x+1)^2=16\). Correction : \(2x+1=4\) ou \(2x+1=-4\). Soustraire \(1\) donne \(2x=3\) ou \(2x=-5\) ; diviser par \(2\) donne \(x=\frac32\) ou \(x=-\frac52\). Vérifier : \(2\times\frac32+1=4\) et \(2\times(-\frac52)+1=-4\) ; les deux carrés valent \(16\).

Reprendre après une erreur

Erreur : pour \(2x^2-5x-3\), écrire \(\Delta=-5^2-4\times2\times(-3)=-1\). Le coefficient \(b\) est \(-5\), donc \(b^2=(-5)^2=25\), pas \(-25\). Retour : \[\Delta=(-5)^2-4\times2\times(-3)=25-(-24)=49.\] Nouvel essai : calculer le discriminant de \(-x^2-2x+3\). Correction : \(a=-1\), \(b=-2\), \(c=3\) ; \(\Delta=(-2)^2-4\times(-1)\times3=4-(-12)=16\). Les deux signes négatifs ont des fonctions différentes : l’un appartient à un coefficient, l’autre à une soustraction.

Reprendre après une erreur

Erreur : des racines \(-1\) et \(2\) conduisent à \(2x^2-2x-4=(x+1)(x-2)\). Le membre de droite a un coefficient dominant égal à \(1\). Le membre de gauche a un coefficient dominant égal à \(2\). Retour : \(2x^2-2x-4=2(x+1)(x-2)\). Développer donne \(2(x^2-x-2)\), donc la bonne expression. Nouvel essai : factoriser \(-3x^2+3x+6\), sachant que ses racines sont \(-1\) et \(2\). Correction : \(-3(x+1)(x-2)=-3(x^2-x-2)=-3x^2+3x+6\).

Reprendre après une erreur

Erreur : résoudre \((x-1)(x+2)>0\) avec \([-2;1]\). Deux problèmes sont confondus : le produit est négatif entre les racines, et les bornes l’annulent alors que l’inégalité est stricte. Retour : ordonner \(-2<1\), construire le signe puis sélectionner \(+\) :

Reprendre après une erreur

Erreur : dans \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\), répondre que \(x=1\) est autorisé. La simplification exige \(x-1\neq0\). Le domaine initial reste \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Plus simple : \(\frac00\) n’est pas égal à \(0\) ; le quotient n’est pas défini. Nouvel essai : résoudre \(\frac{x^2-1}{x-1}\ge0\). Correction : le domaine exclut \(1\) ; sur ce domaine, \(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\). Il faut donc \(x\ge-1\) et \(x\neq1\), soit \([-1;1[\cup]1;+\infty[\).

Reprendre après une erreur

Erreur : « La flèche descend, donc \(f(x)<0\). » La flèche compare des images entre elles, pas à zéro. Plus simple : \(x^2+1\) décroît sur \(]-\infty;0]\), mais toutes ses valeurs sont positives puisque \(x^2+1\ge1\). Nouvel essai : sur \([0;1]\), donner le signe et les variations de \(x^2-4\). Correction : le carré croît de \(0\) à \(1\), donc \(x^2-4\) croît de \(-4\) à \(-3\). Il reste négatif partout sur cet intervalle. Revenir à la première phrase : une flèche descendante signifie « les images diminuent » et rien de plus sur leur signe.

Retrouver la première erreur

Une copie écrit \[-2(x-3)^2+8=0\quad\Longrightarrow\quad(x-3)^2=-4\quad\Longrightarrow\quad\mathcal S=\varnothing.\] Identifier la première erreur, corriger et vérifier les solutions.

Correction expliquée

Soustraire \(8\) donne \(-2(x-3)^2=-8\). Diviser par \(-2\) donne \(\frac{-8}{-2}=4\), pas \(-4\). L’erreur est dans la première implication affichée. On résout \((x-3)^2=4\), donc \(x-3=2\) ou \(x-3=-2\), d’où \(x=5\) ou \(x=1\). Contrôles : \(-2(5-3)^2+8=-8+8=0\) et \(-2(1-3)^2+8=-8+8=0\).

À reprendre plus tard

À une autre séance, refaire une des reprises qui t’a posé problème avec sa consigne cachant la correction. Pour un nouveau test : résoudre \(-3(x+1)^2+12=0\) et justifier chaque opération.

Correction expliquée

Soustraire \(12\) donne \(-3(x+1)^2=-12\) ; diviser par \(-3\neq0\) donne \((x+1)^2=4\). Les deux branches \(x+1=2\) et \(x+1=-2\) donnent \(x=1\) et \(x=-3\). Dans les deux cas, le carré vaut \(4\) et l’expression initiale vaut \(-12+12=0\).

Tentative A – l’aide porte sur l’organisation, pas sur les réponses

On considère \(f(x)=-2x^2+8x-6\) sur \([0;5]\).

1. Repère \(a,b,c\). Mets \(-2\) en facteur dans les deux termes contenant \(x\).

2. Complète le carré dans la parenthèse et détermine la forme canonique.

3. Détermine le sommet, puis calcule séparément \(f(0)\) et \(f(5)\). Construis le tableau de variations sur le domaine demandé.

4. Résous \(f(x)=0\) en partant de la forme canonique. Factorise ensuite \(f\).

5. Construis le tableau de signes sur \(\mathbb{R}\), puis résous \(f(x)\ge0\) sur \([0;5]\).

6. Explique la différence entre les informations contenues dans les deux tableaux.

Indice ciblé. Le carré \((x-2)^2\) contient \(x^2-4x\). Pour la dernière résolution, ne garde que les nombres appartenant au domaine de départ.

Correction A – forme canonique et valeurs à placer

Les coefficients sont \(a=-2\), \(b=8\) et \(c=-6\). Pour mettre \(-2\) en facteur, on écrit \(8x=(-2)(-4x)\) : \[f(x)=-2(x^2-4x)-6.\] Or \((x-2)^2=x^2-4x+4\), donc \(x^2-4x=(x-2)^2-4\). On remplace puis on distribue : \[\begin{aligned} f(x)&=-2\bigl[(x-2)^2-4\bigr]-6\\ &=-2(x-2)^2+(-2)(-4)-6\\ &=-2(x-2)^2+8-6\\ &=\boxed{-2(x-2)^2+2}. \end{aligned}\] On lit \(\alpha=2\) et \(\beta=2\). Le sommet est \(S(2;2)\). Puisque \(a<0\), la fonction croît jusqu’à \(2\), puis décroît. Le nombre \(2\) appartient à \([0;5]\) : il doit figurer entre les bornes du tableau. \[\begin{aligned} f(0)&=-2\times0^2+8\times0-6=-6,\\ f(5)&=-2\times5^2+8\times5-6\\ &=-2\times25+40-6=-50+40-6=-16. \end{aligned}\]

Correction A – racines, signe et conclusion

\[\begin{aligned} f(x)=0&\iff -2(x-2)^2+2=0\\ &\iff -2(x-2)^2=-2\\ &\iff \frac{-2(x-2)^2}{-2}=\frac{-2}{-2}\\ &\iff (x-2)^2=1\\ &\iff x-2=-1\ \text{ou}\ x-2=1\\ &\iff x=1\ \text{ou}\ x=3. \end{aligned}\] La division se fait par le coefficient \(-2\), qui est non nul, pas par l’expression \(x-2\). La factorisation est \[\boxed{f(x)=-2(x-1)(x-3)}.\] Le coefficient \(-2\) est négatif. Les deux facteurs du premier degré donnent le tableau suivant.

Tentative B – annoncer ton premier geste avant de calculer

Résous dans \(\mathbb{R}\) les trois équations suivantes. Pour chacune, écris d’abord la raison de ton choix de méthode. \[\text{a) }(x-3)^2-9=7;\qquad \text{b) }6x^2+9x=0;\qquad \text{c) }2x^2+x-4=0.\] Indices à consulter seulement en cas de blocage. En a), le carré est déjà isolable. En b), tous les termes ont un facteur commun. En c), une méthode générale évite de deviner les racines.

Correction expliquée

a) Choix : conserver le carré. \[\begin{aligned} (x-3)^2-9=7&\iff (x-3)^2-9+9=7+9\\ &\iff (x-3)^2=16\\ &\iff x-3=-4\ \text{ou}\ x-3=4\\ &\iff \boxed{x=-1\ \text{ou}\ x=7}. \end{aligned}\] Contrôle : \((-1-3)^2-9=(-4)^2-9=16-9=7\) ; \((7-3)^2-9=4^2-9=7\).

b) Choix : facteur commun puis produit nul. On a \(6x^2=(3x)(2x)\) et \(9x=(3x)\times3\) : \[6x^2+9x=0\iff 3x(2x+3)=0.\] Donc \(3x=0\) ou \(2x+3=0\). Dans le premier cas \(x=0\). Dans le second : \[2x=-3\iff\frac{2x}{2}=\frac{-3}{2}\iff x=-\frac32.\] Ainsi \(\boxed{S=\{-\frac32;0\}}\). Diviser directement l’équation initiale par \(x\) aurait perdu la solution \(0\).

c) Choix : discriminant. Les coefficients sont \(a=2\), \(b=1\), \(c=-4\) et \(a\ne0\). \[\Delta=1^2-4\times2\times(-4)=1-(-32)=33>0.\] D’où \[\boxed{S=\left\{\frac{-1-\sqrt{33}}4;\frac{-1+\sqrt{33}}4\right\}}.\] Les deux nombres sont rangés car le dénominateur \(4\) est positif. Leur somme vaut \(-2/4=-1/2=-b/a\) ; leur produit vaut \[\frac{(-1)^2-(\sqrt{33})^2}{16}=\frac{1-33}{16}=\frac{-32}{16}=-2=\frac ca.\] Ce contrôle confirme la cohérence des deux valeurs, après la résolution qui en établit l’exhaustivité.

Tentative C – des points à l’expression, puis au signe

Une parabole a pour sommet \(S(-1;4)\) et passe par \(A(1;-4)\).

1. Détermine la fonction \(h\) correspondante.

2. Détermine ses racines exactes et son signe.

3. Explique pourquoi \(h(1)=h(-3)\) sans refaire les deux substitutions.

Rappel local. Un sommet \((\alpha;\beta)\) conduit à \(h(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\). Le point supplémentaire sert à calculer \(a\).

Correction expliquée

On écrit \(h(x)=a(x+1)^2+4\). Comme \(h(1)=-4\) : \[\begin{aligned} a(1+1)^2+4=-4&\iff 4a+4=-4\\ &\iff 4a=-8\\ &\iff a=\frac{-8}{4}=-2. \end{aligned}\] Donc \(h(x)=-2(x+1)^2+4\). Pour les racines : \[\begin{aligned} -2(x+1)^2+4=0&\iff -2(x+1)^2=-4\\ &\iff (x+1)^2=2\\ &\iff x+1=-\sqrt2\ \text{ou}\ x+1=\sqrt2\\ &\iff x=-1-\sqrt2\ \text{ou}\ x=-1+\sqrt2. \end{aligned}\] Le coefficient dominant est négatif : le signe est positif entre les racines et négatif à l’extérieur.

À toi – essaie avant de lire la correction

Pour \(p(x)=-3(x-2)^2+7\), un élève affirme : « \(7\) est le maximum car je le vois dans l’expression. » Complète sa justification par une suite d’inégalités, puis explique pourquoi ce maximum est atteint.

Correction expliquée

Pour tout réel \(x\), \((x-2)^2\ge0\). En multipliant par \(-3<0\), on inverse l’inégalité : \(-3(x-2)^2\le0\). En ajoutant \(7\), on obtient \(p(x)\le7\). De plus \(p(2)=-3\times0^2+7=7\). Il y a donc à la fois une borne supérieure et un point qui l’atteint : le maximum est bien \(7\) en \(2\).

Tâche différée – une même fonction, plusieurs décisions

À une prochaine séance, avant relecture, étudie \(F(x)=3x^2+6x-9\).

1. Détermine sa forme canonique et son tableau de variations sur \([-4;2]\).

2. Détermine ses racines, sa factorisation et son tableau de signes sur \(\mathbb{R}\).

3. Résous \(\dfrac{F(x)}{x+1}\le0\) sur \([-4;2]\).

Aide si nécessaire. Pour la dernière question, une valeur du domaine initial devient interdite ; il faut une ligne pour le numérateur et une ligne pour le dénominateur.

Correction de la tâche différée – variations

\[\begin{aligned} F(x)&=3(x^2+2x)-9\\ &=3\bigl[(x+1)^2-1\bigr]-9\\ &=3(x+1)^2-3-9=3(x+1)^2-12. \end{aligned}\] Le sommet a pour abscisse \(-1\) et ordonnée \(-12\). Le coefficient \(3\) est positif. Aux bornes : \[F(-4)=3(-3)^2-12=27-12=15,\qquad F(2)=3\times3^2-12=15.\]

Correction de la tâche différée – racines et quotient

\[\begin{aligned} F(x)=0&\iff 3(x+1)^2-12=0\\ &\iff 3(x+1)^2=12\\ &\iff (x+1)^2=4\\ &\iff x+1=-2\ \text{ou}\ x+1=2\\ &\iff x=-3\ \text{ou}\ x=1. \end{aligned}\] Ainsi \(F(x)=3(x+3)(x-1)\). Son signe est positif à l’extérieur de \([-3;1]\), négatif entre les racines. Le quotient exige \(x+1\ne0\), donc \(x\ne-1\). On construit les deux lignes avant de les combiner.

Quatre lignes à justifier

On étudie \(f(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\ne0\). Justifie chacune des opérations suivantes.

1. Passer de \(f(x)=0\) à \(4af(x)=0\).

2. Remplacer \(\dfrac{\Delta}{4a^2}\) par \(\left(\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2\) lorsque \(\Delta>0\).

3. Conclure de \((2ax+b)^2=0\) que \(2ax+b=0\).

4. Dire que \(f(x)\le\beta\) à partir de \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) et \(a<0\).

Correction expliquée

1. On multiplie les deux membres par \(4a\ne0\). L’opération inverse est la division par \(4a\), donc l’équivalence est conservée. Le fait que \(4a\) puisse être négatif ne gêne pas une égalité ; ce signe compterait pour une inégalité.

2. Pour \(\Delta>0\), \(\sqrt\Delta\) est défini et son carré vaut \(\Delta\). De plus \((2a)^2=4a^2\ne0\), donc \[\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2 =\frac{(\sqrt\Delta)^2}{(2a)^2} =\frac{\Delta}{4a^2}.\] On n’affirme pas que \(2a\) est positif : on élève la fraction entière au carré.

3. Le seul réel dont le carré est nul est \(0\). L’inconnue intermédiaire est ici le bloc \(2ax+b\) ; il doit donc valoir \(0\).

4. On part de \((x-\alpha)^2\ge0\). Multiplier par \(a<0\) inverse le sens : \(a(x-\alpha)^2\le0\). Ajouter \(\beta\) aux deux membres donne \(f(x)\le\beta\).

Essai de démonstration – masquer la correction

On suppose \(a\ne0\) et on pose \(\Delta=b^2-4ac\). On sait que \[f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}.\] Sans réciter les formules des solutions, déduis-les en faisant apparaître une équation de la forme « carré = nombre ». Explique séparément les cas \(\Delta<0\), \(\Delta=0\) et \(\Delta>0\). Indice. Multiplier une égalité par \(4a\) transforme le premier coefficient en \(4a^2=(2a)^2\).

Correction expliquée

Pour tout réel \(x\) : \[\begin{aligned} f(x)=0 &\iff a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}=0\\ &\iff 4a\left[a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}\right]=4a\times0\\ &\iff 4a^2\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\Delta=0\\ &\iff \left[2a\left(x+\frac b{2a}\right)\right]^2=\Delta\\ &\iff (2ax+b)^2=\Delta. \end{aligned}\] Dans l’avant-dernière ligne, \((uv)^2=u^2v^2\). Dans la dernière, \(2a\times\dfrac b{2a}=b\) car \(2a\ne0\).

Si \(\Delta<0\), l’équation est impossible dans \(\mathbb{R}\) : un carré réel ne peut pas être négatif. Ainsi \(S=\varnothing\).

Si \(\Delta=0\), \(2ax+b=0\), puis \(2ax=-b\) et \[x=\frac{-b}{2a}.\] Il y a une seule solution, appelée racine double du trinôme.

Si \(\Delta>0\), on a \(2ax+b=-\sqrt\Delta\) ou \(2ax+b=\sqrt\Delta\). On soustrait \(b\), puis on divise par \(2a\ne0\) : \[\boxed{x=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}}.\] Les deux nombres diffèrent car \(\sqrt\Delta>0\) et \(2a\ne0\). Les étapes étant des équivalences, toutes les solutions et seulement elles ont été obtenues.

À reprendre plus tard – une preuve courte sans calcul de racines

Pour \(q(x)=2(x-3)^2+1\), prouve que \(q(x)>0\) pour tout réel \(x\), puis explique pourquoi aucune factorisation réelle en deux facteurs du premier degré n’est possible.

Correction expliquée

Pour tout réel \(x\), \((x-3)^2\ge0\). Multiplier par \(2>0\) conserve le sens, puis ajouter \(1\) donne \[q(x)=2(x-3)^2+1\ge1>0.\] Donc \(q\) n’a aucune racine réelle. Un produit de deux facteurs du premier degré réels s’annulerait à la racine de chacun de ces facteurs ; il ne peut donc pas représenter \(q\).

Les relations qui relient tout le chapitre

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\ne0\) : \[\Delta=b^2-4ac,\qquad \alpha=-\frac b{2a},\qquad \beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}.\] La forme canonique est \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\). Pour résoudre : \[f(x)=0\iff(2ax+b)^2=\Delta.\] Si \(\Delta<0\), aucune solution réelle. Si \(\Delta=0\), la racine double est \(x_0=-\dfrac b{2a}\). Si \(\Delta>0\), les deux solutions sont \[\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\qquad\text{et}\qquad\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.\] Si les racines réelles sont \(x_1,x_2\), comptées deux fois en cas de racine double : \[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2),\qquad x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.\] Ces formules ne dispensent pas de choisir une voie courte lorsque l’expression la fournit déjà.

Bilan – calculatrice non nécessaire

Écris tes calculs. Pour une question non commencée, note ce qui bloque : vocabulaire, premier geste, calcul, tableau ou conclusion. Les questions 3, 4 et 5 portent sur le même trinôme, mais chacune demande une information différente.

1. Développe \(A(x)=-3(x-2)^2+12\), identifie ses coefficients et calcule \(A(-1)\).

2. Mets \(f(x)=x^2-10x+7\) sous forme canonique, puis donne son sommet et ses variations sur \(\mathbb{R}\).

3. Résous \(P(x)=3x^2+x-2=0\).

4. Factorise \(P\) et calcule la somme et le produit de ses racines par deux lectures.

5. Construis le tableau de signes de \(P\), puis résous \(P(x)\le0\) et \(P(x)>0\).

6. Pour \(g(x)=-(x+1)^2+4\) sur \([-4;1]\), construis les variations et donne le minimum et le maximum sur cet intervalle.

7. Résous \(\dfrac{x^2-9}{x-1}\ge0\) après avoir donné son domaine.

8. Une fonction \(h\) a pour racines \(-2\) et \(3\) et vérifie \(h(0)=12\). Détermine \(h\), son axe et son sommet.

9. Détermine les points d’intersection de \(y=x^2-4x+1\) et \(y=1\).

10. Un rectangle de périmètre \(28\) m a une dimension \(x\). Détermine son aire maximale ; refais la conclusion si l’on impose \(2\le x\le5\).

11. Selon le réel \(m\), donne le nombre de solutions réelles de \((m-2)x^2+4x+1=0\). Précise les solutions dans les cas de degré 1 et de racine double.

12. Explique pourquoi un minimum négatif ne suffit pas, à lui seul, à conclure que la fonction est négative partout. Donne un contre-exemple du second degré.

1. Développer et substituer

Le carré fournit quatre produits : \[(x-2)^2=(x-2)(x-2)=x\times x+x\times(-2)+(-2)\times x+(-2)(-2) =x^2-4x+4.\] On distribue ensuite \(-3\) à tous les termes : \[\begin{aligned} A(x)&=-3(x^2-4x+4)+12\\ &=-3x^2+(-3)(-4x)+(-3)\times4+12\\ &=-3x^2+12x-12+12=\boxed{-3x^2+12x}. \end{aligned}\] Ainsi \(a=-3\), \(b=12\), \(c=0\). Pour l’image demandée : \[A(-1)=-3(-1)^2+12(-1)=-3\times1-12=\boxed{-15}.\] On peut contrôler avec la forme initiale : \(-3(-1-2)^2+12=-3(-3)^2+12=-27+12=-15\).

2. Forme canonique et variations

On cherche un carré dont le terme croisé est \(-10x\). La moitié de \(-10\) est \(-5\) ; \[(x-5)^2=x^2-10x+25.\] Il faut donc retirer \(25\) après avoir fabriqué le carré : \[f(x)=\bigl[(x-5)^2-25\bigr]+7=\boxed{(x-5)^2-18}.\] Le sommet est \(S(5;-18)\). Comme le coefficient du carré vaut \(1>0\), la fonction décroît sur \(]-\infty;5]\) puis croît sur \([5;+\infty[\). Le minimum vaut \(-18\), atteint en \(5\).

3. Résoudre une équation du second degré

On a \(a=3\), \(b=1\), \(c=-2\) et \(a\ne0\). Le discriminant vaut \[\Delta=1^2-4\times3\times(-2)=1-(-24)=25>0.\] Il y a donc deux solutions distinctes : \[\begin{aligned} x_1&=\frac{-1-\sqrt{25}}{2\times3}=\frac{-1-5}{6}=\frac{-6}{6}=-1,\\ x_2&=\frac{-1+\sqrt{25}}{2\times3}=\frac{-1+5}{6}=\frac46=\frac23. \end{aligned}\] Ainsi \(\boxed{S=\{-1;\frac23\}}\). Les substitutions confirment : \[P(-1)=3\times1-1-2=0,\] \[P\left(\frac23\right)=3\times\frac49+\frac23-2 =\frac43+\frac23-\frac63=\frac{4+2-6}{3}=0.\] Dans ce dernier calcul, \(2=6/3\) : toutes les fractions ont été ramenées au même dénominateur.

4. Factorisation, somme et produit

La factorisation doit conserver le coefficient dominant \(3\) : \[P(x)=3(x+1)\left(x-\frac23\right)=(x+1)(3x-2).\] Le passage utilise \(3(x-2/3)=3x-2\). En redéveloppant : \[(x+1)(3x-2)=3x^2-2x+3x-2=3x^2+x-2.\] Lecture des racines : \[x_1+x_2=-1+\frac23=-\frac33+\frac23=-\frac13, \qquad x_1x_2=(-1)\times\frac23=-\frac23.\] Lecture des coefficients : \(-b/a=-1/3\) et \(c/a=-2/3\). Les résultats concordent.

5. Construire le signe avant de lire les solutions

Les racines sont rangées : \(-1<2/3\). Le facteur \(x+1\) change de signe en \(-1\) ; le facteur \(3x-2\) change de signe en \(2/3\) et son coefficient de \(x\) est positif. On multiplie les deux lignes.

6. Variations sur un intervalle

La forme canonique donne \(a=-1\), \(\alpha=-1\), \(\beta=4\). La fonction croît jusqu’à \(-1\), puis décroît. Le sommet appartient à \([-4;1]\). Les images aux bornes sont \[g(-4)=-(-4+1)^2+4=-(-3)^2+4=-9+4=-5,\] \[g(1)=-(1+1)^2+4=-2^2+4=-4+4=0.\]

7. Quotient et valeur interdite

Le dénominateur exige \(x-1\ne0\), donc \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). On factorise le numérateur : \[x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3).\] Les zéros du numérateur sont \(-3\) et \(3\) ; son signe est positif à l’extérieur de ces deux valeurs, négatif entre elles. Le dénominateur est négatif avant \(1\) et positif après \(1\).

8. Reconstruire une fonction

Les deux racines distinctes conduisent à \(h(x)=a(x+2)(x-3)\) avec \(a\ne0\). Puis \[12=h(0)=a\times2\times(-3)=-6a.\] On divise par \(-6\ne0\) : \(a=12/(-6)=-2\). Ainsi \[\boxed{h(x)=-2(x+2)(x-3)}.\] Pour développer : \[(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6,\] \[h(x)=-2x^2+2x+12.\] L’axe est au milieu des racines : \(\alpha=(-2+3)/2=1/2\). L’ordonnée du sommet est \[\begin{aligned} h\left(\frac12\right) &=-2\left(\frac12+2\right)\left(\frac12-3\right)\\ &=-2\times\frac52\times\left(-\frac52\right) =\frac{50}{4}=\frac{25}{2}. \end{aligned}\] Donc l’axe est \(x=1/2\) et le sommet est \(\boxed{S(\frac12;\frac{25}{2})}\).

9. Intersections avec une droite horizontale

Une intersection possède la même ordonnée sur les deux courbes : \[x^2-4x+1=1\iff x^2-4x=0\iff x(x-4)=0.\] Le produit nul donne \(x=0\) ou \(x=4\). Sur la droite, \(y=1\) dans les deux cas. Les points demandés sont donc \(\boxed{(0;1)\text{ et }(4;1)}\), et non seulement les deux abscisses.

10. Aire et contrainte supplémentaire

Si l’autre dimension est \(y\), le périmètre impose \(2x+2y=28\). Diviser par \(2\) donne \(x+y=14\), donc \(y=14-x\). Pour un rectangle non dégénéré, \(x>0\) et \(14-x>0\), soit \(0<x<14\). \[\begin{aligned} A(x)&=x(14-x)=14x-x^2=-(x^2-14x)\\ &=-\bigl[(x-7)^2-49\bigr]=-(x-7)^2+49. \end{aligned}\] Le maximum sur \(]0;14[\) est \(49\,\mathrm{m}^2\), atteint en \(x=7\) m. Si \(x\in[2;5]\), le sommet \(7\) n’appartient plus au domaine. Toute cette partie est située à gauche de \(7\), donc \(A\) y est croissante. Les valeurs sont \(A(2)=2\times12=24\) et \(A(5)=5\times9=45\).

11. Paramètre et changement de degré

Le coefficient de \(x^2\) est \(m-2\). Si \(m=2\), l’équation est du premier degré : \[4x+1=0\iff4x=-1\iff x=-\frac14.\] Si \(m\ne2\), elle est du second degré et \[\Delta=4^2-4(m-2)\times1=16-4m+8=24-4m=4(6-m).\] Le facteur \(4\) est positif. On obtient deux solutions si \(m<6\) et \(m\ne2\), une solution double si \(m=6\), aucune solution réelle si \(m>6\). Pour \(m=6\), le coefficient dominant est \(4\), donc \[x_0=-\frac4{2\times4}=-\frac48=-\frac12.\] La valeur \(m=2\) reste un cas séparé : on ne la réintroduit pas dans une formule divisant par \(m-2\).

12. Une borne inférieure n’est pas un signe global

Pour \(f(x)=x^2-1\), le minimum vaut \(-1\), atteint en \(0\). Pourtant \(f(2)=4-1=3>0\). L’affirmation est donc fausse. Un minimum négatif signifie qu’au moins une valeur négative est atteinte, mais pas que toutes les valeurs le sont. Pour conclure \(f(x)<0\) partout, il faudrait disposer d’un maximum strictement négatif.

Étude finale différée – à faire avant de rouvrir le modèle

À une prochaine séance, étudie \(F(x)=2x^2-12x+10\) sur \([0;6]\) : forme canonique, sommet, tableau de variations, racines, forme factorisée, tableau de signes, puis solutions de \(F(x)\le0\). Termine par une phrase expliquant le choix de la forme pour chaque question.

Correction de l’étude finale – de la forme canonique aux variations

\[\begin{aligned} F(x)&=2(x^2-6x)+10\\ &=2\bigl[(x-3)^2-9\bigr]+10\\ &=2(x-3)^2-18+10\\ &=\boxed{2(x-3)^2-8}. \end{aligned}\] Le sommet est \(S(3;-8)\). Comme \(a=2>0\), la fonction décroît puis croît autour de \(3\). Sur \([0;6]\), on doit aussi calculer les deux extrémités : \[F(0)=10,\qquad F(6)=2\times36-12\times6+10=72-72+10=10.\]

Correction de l’étude finale – racines, signe et choix

La forme canonique évite un discriminant : \[\begin{aligned} F(x)=0&\iff2(x-3)^2-8=0\\ &\iff2(x-3)^2=8\\ &\iff(x-3)^2=4\\ &\iff x-3=-2\ \text{ou}\ x-3=2\\ &\iff x=1\ \text{ou}\ x=5. \end{aligned}\] On obtient \(F(x)=2(x-1)(x-5)\). Le coefficient \(2\) est positif ; on construit les lignes des facteurs.

Je dois savoir faire seul – avant de passer aux compléments

Pour chacun de ces gestes, je dois pouvoir démarrer, expliquer ma méthode, effectuer le calcul et contrôler la conclusion :

• reconnaître le degré, identifier les coefficients et calculer une image ;

• développer, factoriser et compléter un carré sans perdre les signes ;

• comprendre et utiliser les formes développée, canonique et factorisée ;

• déterminer un sommet, un axe, un extremum et de vraies variations sur un domaine donné ;

• résoudre une équation en choisissant entre structure et discriminant ;

• utiliser les racines, leur somme et leur produit ;

• construire et lire un tableau de signes, avec zéros et valeurs interdites ;

• résoudre une inéquation et écrire correctement l’ensemble des solutions ;

• relier une expression, un tableau et une courbe ;

• reconstruire une fonction, comparer des courbes et traiter un paramètre ;

• modéliser puis optimiser en respectant les contraintes et les unités ;

• retrouver l’idée et les conditions d’une démonstration centrale.

Une réponse seule ne montre pas encore la méthode. Les étapes, les conditions et le contrôle permettent d’identifier ce qui reste à travailler.

Rappel de sens pour ce complément

Le nombre dérivé \(f'(x)\) décrit le taux de variation instantané d’une fonction au point d’abscisse \(x\). Il s’obtient, lorsqu’il existe, à partir du quotient \[\frac{f(x+h)-f(x)}h\qquad(h\ne0)\] lorsque \(h\) se rapproche de zéro. Ce passage à une limite et le théorème reliant signe de la dérivée et variations appartiennent au cours de dérivation. Ici, on montre comment le calcul du second degré s’y insère.

Calcul du taux d’accroissement d’un trinôme

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\) et \(h\ne0\) : \[\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &=a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)\\ &=a(x^2+2xh+h^2)+bx+bh+c-ax^2-bx-c\\ &=ax^2+2axh+ah^2+bx+bh+c-ax^2-bx-c\\ &=2axh+ah^2+bh\\ &=h(2ax+ah+b). \end{aligned}\] La simplification du facteur \(h\) est autorisée car \(h\ne0\) : \[\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac{h(2ax+ah+b)}h=2ax+ah+b.\] Lorsque \(h\) tend vers \(0\), \(ah\) tend vers \(0\) ; on obtient donc \[\boxed{f'(x)=2ax+b}.\] La dérivée s’annule pour \(2ax+b=0\), soit \(x=-b/(2a)=\alpha\). On retrouve exactement l’abscisse du sommet.

Propriété

Deux réels \(u,v\) de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les deux racines, éventuellement confondues, de \[X^2-SX+P=0.\] Réciproquement, les deux racines réelles de cette équation ont pour somme \(S\) et pour produit \(P\). De tels réels existent exactement lorsque \(S^2-4P\ge0\).

Démonstration des deux sens

Si \(u+v=S\) et \(uv=P\), alors \[(X-u)(X-v)=X^2-vX-uX+uv=X^2-(u+v)X+uv=X^2-SX+P.\] Ainsi \(u,v\) sont les racines de l’équation. Réciproquement, si l’équation possède deux racines réelles, les formules de somme et de produit appliquées à \(a=1\), \(b=-S\), \(c=P\) donnent \[u+v=-\frac{-S}{1}=S,\qquad uv=\frac P1=P.\] L’existence de racines réelles équivaut au discriminant \((-S)^2-4\times1\times P=S^2-4P\ge0\).

Exemple – somme \(9\) et produit \(14\)

On résout \(X^2-9X+14=0\). Son discriminant vaut \((-9)^2-4\times14=81-56=25\). Donc \[X_1=\frac{9-5}{2}=2,\qquad X_2=\frac{9+5}{2}=7.\] Les nombres cherchés sont \(2\) et \(7\). Le contrôle utilise les données initiales : \(2+7=9\) et \(2\times7=14\).

À toi – essaie avant de lire la correction

Peut-on trouver deux nombres réels de somme \(4\) et de produit \(5\) ? Justifie sans inventer de valeurs approchées.

Correction expliquée

L’équation associée est \(X^2-4X+5=0\). Son discriminant vaut \(16-20=-4<0\) : il n’existe pas de tels réels. Une autre justification : si \(u+v=4\), alors \(v=4-u\) et \(uv=u(4-u)=-(u-2)^2+4\le4\). Le produit ne peut donc pas valoir \(5\).

Une racine connue suggère un facteur

Si \(P(r)=0\), on cherche un facteur \(x-r\). Pour un polynôme de degré trois, le facteur restant est du second degré : on peut alors réutiliser les méthodes du chapitre. Un regroupement visible est à privilégier ; sinon on peut développer \((x-r)(Ax^2+Bx+C)\) et déterminer les coefficients.

Exemple complet – regroupement puis différence de carrés

Soit \(P(x)=x^3-4x^2-x+4\). \[\begin{aligned} P(x)&=(x^3-4x^2)+(-x+4)\\ &=x^2(x-4)-1(x-4)\\ &=(x^2-1)(x-4)\\ &=(x-1)(x+1)(x-4). \end{aligned}\] Le signe \(-1\) du deuxième groupe vient de \(-x+4=-(x-4)\) : le facteur restant n’est pas \(+1\). Les trois racines sont \(-1\), \(1\) et \(4\). Ce résultat ne contredit pas « au plus deux racines » : \(P\) est ici de degré trois.

Pourquoi une racine fournit-elle un facteur, au degré trois ?

Écrivons \(P(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\), avec \(A\ne0\), et supposons \(P(r)=0\). Alors \[P(x)=P(x)-P(r)=A(x^3-r^3)+B(x^2-r^2)+C(x-r).\] On vérifie par développement que \(x^3-r^3=(x-r)(x^2+rx+r^2)\) ; de plus \(x^2-r^2=(x-r)(x+r)\). En remplaçant puis en factorisant le facteur commun \(x-r\) : \[\boxed{P(x)=(x-r)\bigl[A(x^2+rx+r^2)+B(x+r)+C\bigr]}.\] Le coefficient de \(x^2\) dans la parenthèse est \(A\ne0\) : le facteur restant est bien du second degré.

Définition

Une équation bicarrée est de la forme \(ax^4+bx^2+c=0\), avec \(a\ne0\). Elle ne comporte que \(x^4\), \(x^2\) et une constante. Poser \(X=x^2\) la transforme en une équation du second degré en \(X\), avec la condition \(X\ge0\) pour une recherche dans \(\mathbb{R}\).

Exemple – deux valeurs positives de \(X\)

Résolvons \(x^4-5x^2+4=0\). Puisque \(x^4=(x^2)^2\), on pose \(X=x^2\) et on résout \[X^2-5X+4=0.\] Le discriminant vaut \(25-16=9\). Donc \[X_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad X_2=\frac{5+3}{2}=4.\] Les deux valeurs sont positives, mais elles ne sont pas encore les solutions en \(x\) : \[x^2=1\iff x=-1\text{ ou }x=1, \qquad x^2=4\iff x=-2\text{ ou }x=2.\] Ainsi \(\boxed{S=\{-2;-1;1;2\}}\). Contrôle pour \(x=2\) : \(2^4-5\times2^2+4=16-20+4=0\). Le même résultat vaut pour \(-2\) car seuls des carrés de \(x\) interviennent.

À toi – essaie avant de lire la correction

Résous \(x^4+x^2-2=0\). Explique ce qui arrive à une solution négative trouvée pour \(X\).

Correction expliquée

On pose \(X=x^2\ge0\). L’équation devient \(X^2+X-2=0\). Le discriminant vaut \(1-4\times1\times(-2)=9\) : \[X_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad X_2=\frac{-1+3}{2}=1.\] La valeur \(X=-2\) est impossible pour un carré réel ; elle ne fournit aucune solution en \(x\). Pour \(X=1\), \(x^2=1\) donne \(x=-1\) ou \(x=1\). Donc \(\boxed{S=\{-1;1\}}\).

Propriété

Pour tous réels \(x,a\) et tout entier \(n\ge2\) : \[\boxed{x^n-a^n=(x-a)\bigl(x^{n-1}+ax^{n-2}+\cdots+a^{n-2}x+a^{n-1}\bigr)}.\] La parenthèse contient \(n\) termes : la puissance de \(x\) diminue de un pendant que celle de \(a\) augmente de un. Le cas \(n=1\) est simplement \(x-a=(x-a)\times1\).

Démonstration – des termes qui se compensent

Pour \(n\ge2\), on distribue d’abord \(x\), puis \(-a\), à tous les termes : \[\begin{aligned} &(x-a)\bigl(x^{n-1}+ax^{n-2}+\cdots+a^{n-1}\bigr)\\ &=x^n+ax^{n-1}+a^2x^{n-2}+\cdots+a^{n-1}x\\ &\quad-ax^{n-1}-a^2x^{n-2}-\cdots-a^{n-1}x-a^n. \end{aligned}\] Chaque terme intermédiaire de la première ligne a son opposé dans la seconde. Il reste seulement \(x^n-a^n\). Aucune division par \(x-a\) n’a été faite : l’identité reste vraie pour \(x=a\).

Vérification au degré trois

\[\begin{aligned} (x-a)(x^2+ax+a^2) &=x\times x^2+x\times ax+x\times a^2\\ &\quad-a\times x^2-a\times ax-a\times a^2\\ &=x^3+ax^2+a^2x-ax^2-a^2x-a^3\\ &=x^3-a^3. \end{aligned}\] Pour \(a=2\), \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\). Le facteur du second degré a un discriminant \(4-16=-12<0\) ; la seule racine réelle de \(x^3-8\) est donc \(2\).