Correction expliquée 1.1 — Lire les objets avant de calculer

\(A\) est un point, \(\overrightarrow{AB}\) un vecteur de déplacement, \(AB\) la distance entre les points. On soustrait les coordonnées de départ aux coordonnées d’arrivée : \[\overrightarrow{AB}=(2-(-1)\,;-2-2\,;1-(-3))=(3\,;-4\,;4).\] Le repère étant orthonormé, \(AB^2=3^2+(-4)^2+4^2=9+16+16=41\). Le premier vecteur non nul est multiplié par \(3\) : \(3(2\,;1\,;0)=(3\times(2)\,;3\times1\,;3\times0)=(6\,;3\,;0)\). Les deux vecteurs sont donc colinéaires. Pour \((6\,;4\,;0)\), la première coordonnée imposerait le facteur \(3\), mais la deuxième donnerait alors \(3\), pas \(4\) : ils ne sont pas colinéaires. Si les différences signées posent problème, commence par « Calculer un déplacement » ; si le facteur commun pose problème, va à « Colinéarité et alignement ». Les deux rappels sont dans cette unité.

Correction expliquée 1.13 — Déplacement, longueur et position du milieu

\[\overrightarrow{AB}=(-2-1\,;2-(-2)\,;6-0)=(-3\,;4\,;6).\] Ainsi \(AB^2=(-3)^2+4^2+6^2=9+16+36=61\) et \(AB=\sqrt{61}\). Le milieu est \[I\left(\frac{1+(-2)}2\,;\frac{-2+2}2\,;\frac{0+6}2\right)=\left(-\frac12\,;0\,;3\right).\] Contrôle : on écrit \(1=\frac11=\frac{1\times2}{1\times2}=\frac22\), donc \(-\frac12-1=-\frac12-\frac22=-\frac32\). Ainsi \(\overrightarrow{AI}=(-\tfrac12-1\,;0-(-2)\,;3-0)=(-\tfrac32\,;2\,;3)=\tfrac12\overrightarrow{AB}\).

Correction expliquée 1.15 — Trois objets, trois réponses

\[\overrightarrow{PQ}=(1-(-3)\,;-1-1\,;-2-2)=(4\,;-2\,;-4).\] \(PQ^2=4^2+(-2)^2+(-4)^2=16+4+16=36\), donc \(PQ=6\). Le milieu vaut \[J\left(\frac{-3+1}{2}\,;\frac{1+(-1)}2\,;\frac{2+(-2)}2\right)=(-1\,;0\,;0).\] Le vecteur décrit le déplacement de \(P\) à \(Q\) ; le milieu décrit une position depuis l’origine. Vérification : \(\overrightarrow{PJ}=(-1-(-3)\,;0-1\,;0-2)=(2\,;-1\,;-2)\) et \(PJ^2=2^2+(-1)^2+(-2)^2=4+1+4=9\), donc \(PJ=3=PQ/2\) ; de plus \(\overrightarrow{PJ}=\tfrac12\overrightarrow{PQ}\).

Correction expliquée 1.18 — Correction et orientation

\[2(1;-1;0)+(0;2;1) =(2\times1+0;2\times(-1)+2;2\times0+1) =(2+0;-2+2;0+1)=(2;0;1).\] Le coefficient multiplie les trois coordonnées du premier vecteur. Si une seule a été modifiée, reprendre la définition et l’exemple de distribution de la section qui suit ; si l’erreur concerne \(2\times(-1)\), un produit de signes opposés est négatif.

Correction expliquée 1.23 — Vérifier les trois coordonnées

\[2\vec{u}+3\vec{v}=(2\times2+3\times(-1)\,;2\times(-1)+3\times3\,;2\times1+3\times0)=(4-3\,;-2+9\,;2+0)=(1\,;7\,;2)=\vec{q}.\] Les trois produits de \(2\vec{u}\) sont \((2\times2;2\times(-1);2\times1)=(4;-2;2)\) ; ceux de \(3\vec{v}\) sont \((3\times(-1);3\times3;3\times0)=(-3;9;0)\). Les trois égalités sont satisfaites, ce qui vérifie cette combinaison précise, sans conclure que deux vecteurs engendrent tout l’espace.

Correction expliquée 1.25 — Deux coordonnées correctes ne suffisent pas

\[\vec{u}-2\vec{v}=(1+(-2)\times(-2)\,;0+(-2)\times1\,;2+(-2)\times1) =(1+4\,;0-2\,;2-2)=(5;-2;0).\] La proposition est fausse puisque \(0\ne4\) pour la troisième coordonnée. Il faut remplacer cette coordonnée de \(\vec{q}\) par \(0\). Les deux autres étaient correctes. On ne « répare » pas une égalité vectorielle en ignorant la coordonnée gênante.

Correction expliquée 1.35 — La coordonnée nulle est une condition

\(\vec{u}\ne\vec0\). L’équation \(2\lambda=-6\) se divise par \(2\ne0\) dans les deux membres : \(\frac{2\lambda}{2}=\frac{-6}{2}\), soit \(\lambda=-3\). On vérifie \((-3)\times0=0\) et \((-3)\times(-1)=3\) : \(\vec{v}=-3\vec{u}\). Avec la première coordonnée remplacée par \(1\), aucun multiple de \(\vec{u}\) ne conviendrait, puisque son premier coefficient reste \(0\). Il ne faut donc pas tenter de calculer un quotient de deux zéros ; il faut lire la condition correspondante.

Correction expliquée 1.37 — Une abscisse commune décrit d’abord un plan

\[\overrightarrow{AB}=(2-2;2-(-1);-2-4)=(0;3;-6),\] \[\overrightarrow{AC}=(2-2;0-(-1);2-4)=(0;1;-2).\] \(\overrightarrow{AB}\ne\vec0\). L’ordonnée impose \(3\lambda=1\). Puisque \(3\ne0\), on divise les deux membres : \(\frac{3\lambda}{3}=\frac13\), d’où \(\lambda=1/3\) ; les autres coordonnées donnent \((1/3)\times0=0\) et \((1/3)\times(-6)=-2\). Ainsi \(\overrightarrow{AC}=\tfrac13\overrightarrow{AB}\) et \(C\) appartient au segment \([AB]\), à un tiers du trajet depuis \(A\). Une abscisse commune impose seulement d’être dans le plan \(x=2\). Dans ce plan, des points peuvent former un triangle ; par exemple \((2;0;0)\), \((2;1;0)\) et \((2;0;1)\) ne sont pas alignés, car les deux déplacements \((0;1;0)\) et \((0;0;1)\) ne sont pas colinéaires.

Correction expliquée 1.40 — Rétablir le geste, puis revenir à la tâche

1. \(3-(-4)=3+4=7\). Contrôle : \(-4+7=3\). Reviens ensuite à \(\overrightarrow{PQ}\) dans l’essai de coordonnées.

2. \(-3(2;-1;1)=((-3)\times2;(-3)\times(-1);(-3)\times1)=(-6;3;-3)\). Reviens ensuite au calcul \(\vec{u}-2\vec{v}\) de la tentative sur les combinaisons.

3. Le vecteur \((2;0;-1)\) n’est pas nul. \(2\lambda=-6\) impose, par division par \(2\ne0\), \(\frac{2\lambda}{2}=\frac{-6}{2}\), donc \(\lambda=-3\) ; \((-3)\times0=0\) et \((-3)\times(-1)=3\). Ils sont donc colinéaires. Reviens ensuite à l’alignement de \(A,B,C\) et vérifie les trois coordonnées. Une réussite à ce petit essai invite à retenter la tâche initiale ; elle ne prouve pas à elle seule que tous les cas sont acquis.

Correction expliquée 1.42 — Résultats et critères de reprise

1. \(\overrightarrow{EF}=(0-(-2);3-0;-5-1)=(2;3;-6)\). Donc \(EF^2=2^2+3^2+(-6)^2=4+9+36=49\), d’où \(EF=7\). Le milieu est \(K((-2+0)/2;(0+3)/2;(1-5)/2)=(-1;3/2;-2)\).

2. \(2\vec{u}-\vec{v}=(2\times1+(-1)\times2;2\times(-1)+(-1)\times0;2\times2+(-1)\times(-1))=(2-2;-2-0;4+1)=(0;-2;5)\).

3. \(\overrightarrow{GH}=(1-(-1);2-3;2-0)=(2;-1;2)\) et \(\overrightarrow{GI}=(5-(-1);0-3;6-0)=(6;-3;6)=3(2;-1;2)\). Les produits \(3\times2=6\), \(3\times(-1)=-3\) et \(3\times2=6\) contrôlent le facteur sur les trois coordonnées. \(G\ne H\), donc les trois points sont alignés.

Critères : bonnes natures d’objets, signes explicités, trois coordonnées contrôlées et conclusion géométrique. Une difficulté de signe renvoie au premier mini-parcours de réparation ; une difficulté de distributivité au deuxième ; un facteur choisi sans vérification au troisième.

Correction expliquée 2.1 — Garder toutes les contraintes

Dans \(2x+3=7\), soustraire \(3\) aux deux membres donne \(2x+3-3=7-3\), donc \(2x=4\). Diviser les deux membres par \(2\ne0\) donne \(2x/2=4/2\), donc \(x=2\). Pour le système, la première égalité donne \(y=4-x\). Dans la deuxième : \(2x-(4-x)=2\), donc \(2x+(-1)\times4+(-1)\times(-x)=2\), puis \(2x-4+x=2\) et \(3x-4=2\). Ajouter \(4\) aux deux membres donne \(3x=6\), puis diviser par \(3\ne0\) donne \(x=2\). Alors \(y=4-2=2\) ; les deux contrôles sont \(2+2=4\) et \(2\times2-2=4-2=2\). L’égalité \(0t=5\) est impossible ; \(0t=0\) est vraie pour tout \(t\in\mathbb{R}\). Un système exige toutes ses équations à la fois. Si tu as oublié cette simultanéité, commence par les définitions qui suivent ; pour les opérations et les signes, utilise le rappel de transformation.

Correction expliquée 2.11 — Substitution et contrôle

\(a-b+b=2+b\) donne \(a=2+b\). La première équation devient \((2+b)+2b=8\), donc \(2+3b=8\). Soustraire \(2\) aux deux membres donne \(2+3b-2=8-2\), donc \(3b=6\). Diviser par \(3\ne0\) donne \(\frac{3b}{3}=\frac63\), donc \(b=2\). Alors \(a=2+2=4\). On vérifie \(4+2\times2=8\) et \(4-2=2\). Les opérations sont réversibles, donc la solution est unique.

Correction expliquée 2.13 — Deux chemins qui conduisent au même couple

Substitution. Soustraire \(2x\) aux deux membres de la première égalité donne \(y=5-2x\). Alors \[\begin{aligned} 3x-2(5-2x)&=4\\ \iff3x+(-2)\times5+(-2)\times(-2x)&=4\\ \iff3x-10+4x&=4\\ \iff7x-10&=4. \end{aligned}\] Les produits sont \((-2)\times5=-10\) et \((-2)\times(-2x)=4x\). Ajouter \(10\) aux deux membres donne \(7x=14\) ; diviser par \(7\ne0\) donne \(x=2\), puis \(y=5-4=1\). Élimination. Multiplier les deux membres de la première égalité par \(2\) donne \[2(2x+y)=2\times5 \iff(2\times2)x+2\times y=10 \iff4x+2y=10.\] En l’additionnant à \(3x-2y=4\), on obtient \((4x+2y)+(3x-2y)=10+4\), donc \(7x=14\) et le même \(x=2\). La première équation donne \(4+y=5\), puis \(y=1\). Contrôle. \(2\times2+1=5\) et \(3\times2-2\times1=4\). Une justification du choix peut être : « J’isole \(y\) parce que son coefficient vaut \(1\) », ou « Je multiplie la première équation par \(2\) pour fabriquer des coefficients opposés de \(y\) ».

Correction expliquée 2.19 — La troisième condition accepte ou rejette

La somme donne \(2x=4\) ; comme \(2\ne0\), \(\frac{2x}{2}=\frac42\), donc \(x=2\). Dans \(x-y=1\), \(2-y=1\) ; soustraire \(2\) aux deux membres donne \(2-y-2=1-2\), soit \(-y=-1\), puis diviser par \(-1\ne0\) donne \(\frac{-y}{-1}=\frac{-1}{-1}\), donc \(y=1\). La troisième expression vaut \(2+2\times1=4\), donc le couple \((2;1)\) résout le système. Si le dernier membre vaut \(5\), cette même expression vaut toujours \(4\ne5\). Les deux premières équations imposant un seul couple, aucun autre ne peut convenir : le système modifié est impossible.

Correction expliquée 2.21 — Distinguer répétition et information nouvelle

La deuxième équation s’obtient en multipliant les deux membres de la première par \(2\) : \[2(x+2y)=2\times5 \iff2\times x+(2\times2)y=10 \iff2x+4y=10.\] Elle ne donne aucune contrainte supplémentaire. La troisième donne \(x=2+y\). Dans la première, \((2+y)+2y=5\), donc \(2+3y=5\). Soustraire \(2\) aux deux membres donne \(2+3y-2=5-2\), soit \(3y=3\) ; diviser par \(3\ne0\) donne \(\frac{3y}{3}=\frac33\), donc \(y=1\). Alors \(x=3\). Contrôles : \(3+2\times1=5\), \(2\times3+4\times1=6+4=10\), \(3-1=2\). La solution est \((3;1)\). Une équation répétée ne rend pas le système impossible ; elle est simplement redondante.

Correction expliquée 2.26 — Correction et orientation

La combinaison vaut \((a\times1+b\times0+c\times1\,;a\times0+b\times1+c\times1\,;a\times0+b\times0+c\times0)=(a+c;b+c;0)\). Sa troisième coordonnée vaut toujours \(0\), alors que celle du vecteur demandé vaut \(1\). Aucune décomposition n’existe : cette famille n’est donc pas une base. Les trois vecteurs étaient pourtant non nuls. Pour retrouver ce qu’il faut prouver, lire la définition « Existence et unicité d’une décomposition » ci-dessous : tous les vecteurs doivent être obtenus, chacun d’une seule manière.

Correction expliquée 2.34 — Le dernier coefficient commande les précédents

La combinaison donne d’abord \[a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=(a\times1+b\times1+c\times0\,;a\times0+b\times1+c\times1\,;a\times0+b\times0+c\times1)=(a+b;b+c;c).\] Le système est donc \(a+b=x\), \(b+c=y\), \(c=z\). On obtient successivement \[c=z,\qquad b=y-z,\qquad a=x-(y-z)=x+(-1)\times y+(-1)\times(-z)=x-y+z.\] Ces valeurs sont imposées et fonctionnent : \(a+b=x-y+z+y-z=x\), \(b+c=y-z+z=y\), \(c=z\). La famille est donc une base. Pour \((x;y;z)=(2;-1;3)\) : \(c=3\), \(b=-1-3=-4\), \(a=2-(-1)+3=6\). La décomposition est \(6\vec{u}-4\vec{v}+3\vec{w}\). Contrôle : \[\begin{aligned} &(6\times1+(-4)\times1+3\times0;6\times0+(-4)\times1+3\times1;6\times0+(-4)\times0+3\times1)\\ &=(6-4+0;0-4+3;0+0+3)=(2;-1;3). \end{aligned}\] Les coordonnées recherchées dans la nouvelle base sont \((6;-4;3)\).

Correction expliquée 2.36 — Unicité et existence, puis contrôle numérique

La combinaison développée vaut \[a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=(a\times1+b\times0+c\times1\,;a\times0+b\times1+c\times0\,;a\times1+b\times0+c\times(-1))=(a+c;b;a-c).\] Elle donne donc \(a+c=x\), \(b=y\), \(a-c=z\). La somme de \(a+c=x\) et \(a-c=z\) donne \(a+c+a-c=x+z\), soit \(2a=x+z\). Comme \(2\ne0\), \(\frac{2a}{2}=\frac{x+z}{2}\), donc \(a=(x+z)/2\). Leur différence donne \((a+c)-(a-c)=x-z\), soit \(a+c+(-1)\times a+(-1)\times(-c)=x-z\), donc \(a+c-a+c=2c=x-z\) ; la division \(\frac{2c}{2}=\frac{x-z}{2}\) donne \(c=(x-z)/2\). Enfin \(b=y\). Ces valeurs sont uniques ; elles existent pour tout \(x,y,z\), car le diviseur \(2\) est non nul. Vérification : \[\begin{aligned} a+c&=\frac{x+z+x-z}{2}=x,\\ a-c&=\frac{x+z-(x-z)}2\\ &=\frac{x+z+(-1)\times x+(-1)\times(-z)}2\\ &=\frac{x+z-x+z}{2}=z, \end{aligned}\] et \(b=y\). La famille est une base. Pour \((4;-2;0)\), \(a=(4+0)/2=2\), \(b=-2\), \(c=(4-0)/2=2\). Le triplet dans la nouvelle base est \((2;-2;2)\). La reconstruction confirme le résultat : \[\begin{aligned} &2(1;0;1)-2(0;1;0)+2(1;0;-1)\\ &=(2\times1+(-2)\times0+2\times1\,;2\times0+(-2)\times1+2\times0\,;2\times1+(-2)\times0+2\times(-1))\\ &=(2+0+2;0-2+0;2+0-2)=(4;-2;0). \end{aligned}\]

Correction expliquée 2.39 — Nouveaux essais corrigés et retour

1. \(5-3(2-t)=5+(-3)\times2+(-3)\times(-t)=5-6+3t=-1+3t\). L’équation devient \(-1+3t=8\) ; ajouter \(1\) aux deux membres donne \(-1+3t+1=8+1\), soit \(3t=9\) ; diviser par \(3\ne0\) donne \(\frac{3t}{3}=\frac93\), donc \(t=3\). Contrôle : \(5-3(2-3)=5-3(-1)=8\). Reviens à l’essai \(2x+y=5\), \(3x-2y=4\).

2. Additionner les deux premières équations donne \(2x=6\), donc \(x=3\) ; \(3-y=1\) donne \(-y=-2\), donc \(y=2\). La troisième vaut \(2\times3+2=8\) : le système est compatible. Reviens à l’essai de trois équations, en effectuant réellement le contrôle restant.

3. La combinaison vaut \[a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=(a\times1+b\times0+c\times0\,;a\times0+b\times1+c\times0\,;a\times0+b\times0+c\times2)=(a;b;2c).\] Pour obtenir \((x;y;z)\), il faut et il suffit que \(a=x\), \(b=y\), \(c=z/2\), solution unique puisque \(2\ne0\). C’est une base, bien que \(\vec{w}\) ne soit pas unitaire. Reviens à la tentative de changement de base et sépare existence, unicité et calcul particulier.

Correction expliquée 2.41 — Corriger et décider quoi retravailler

1. Ajouter \(2y\) aux deux membres donne \(x=-1+2y\). La seconde devient \(3(-1+2y)+y=11\), donc \(3\times(-1)+3\times(2y)+y=11\), puis \(-3+6y+y=11\) et \(-3+7y=11\). Ajouter \(3\) aux deux membres donne \(-3+7y+3=11+3\), soit \(7y=14\) ; comme \(7\ne0\), \(\frac{7y}{7}=\frac{14}{7}\), donc \(y=2\) et \(x=-1+4=3\). Contrôles : \(3-4=-1\) et \(9+2=11\).

2. La somme des deux premières équations donne \(2a=6\), donc \(a=3\) ; \(3+b=4\) donne \(b=1\). La troisième vaut \(2\times3+1=7\ne8\). Il n’existe aucune solution.

3. La combinaison générale vaut \[(a\times1+b\times1+c\times1\,;a\times0+b\times1+c\times1\,;a\times0+b\times0+c\times1)=(a+b+c;b+c;c).\] Le système général est donc \(a+b+c=x\), \(b+c=y\), \(c=z\). Donc \(c=z\), \(b=y-z\), \(a=x-(y-z)-z=x+(-1)\times y+(-1)\times(-z)-z=x-y+z-z=x-y\). Ces valeurs sont uniques et vérifient les trois égalités : \(x-y+y-z+z=x\), \(y-z+z=y\), \(z=z\). La famille est une base. Pour \((2;3;4)\), les coordonnées sont \((2-3;3-4;4)=(-1;-1;4)\). Reconstruction : \[\begin{aligned} &((-1)\times1+(-1)\times1+4\times1\,;(-1)\times0+(-1)\times1+4\times1\,;(-1)\times0+(-1)\times0+4\times1)\\ &=(-1-1+4;0-1+4;0+0+4)=(2;3;4). \end{aligned}\]

Critères : opérations réversibles explicites, vérification de chaque contrainte, interprétation du résultat et séparation entre coordonnées initiales et nouvelles. Une erreur de distributivité renvoie à la première réparation ; un contrôle omis à la deuxième ; une preuve de base réduite à un exemple à la troisième.

Correction expliquée 3.7 — Correction et orientation

\[\overrightarrow{AB}=(3-1\,;-2-(-2)\,;1-4)=(2\,;-2+2\,;-3)=(2\,;0\,;-3).\] Ce vecteur est non nul, donc \(A\ne B\) et \((AB)\) est bien déterminée. Si \(A=B\), les trois différences sont nulles ; un seul point ne choisit pas une direction. En cas d’erreur de signe, reprendre le rappel local : coordonnée de l’arrivée moins coordonnée du départ.

Correction expliquée 3.11 — Correction de l’essai guidé

\[\overrightarrow{EF}=(0-(-2)\,;-3-1\,;5-4)=(2\,;-4\,;1)\ne\vec0.\] Ainsi \(x=-2+2t\), \(y=1-4t\), \(z=4+t\), avec \(t\in\mathbb{R}\). Pour \(t=0\), les coordonnées sont \((-2\,;1\,;4)\). Pour \(t=1\), elles valent \(-2+2\times1=0\), \(1-4\times1=-3\), \(4+1=5\) : on retrouve \(F\).

Correction expliquée 3.13 — Correction de la tentative

\[\overrightarrow{CD}=(1-1\,;-4-2\,;2-(-1))=(0\,;-6\,;3).\] Le directeur \(\vec{u}=\tfrac13\overrightarrow{CD}=(0\,;-2\,;1)\) est non nul. On obtient \(x=1\), \(y=2-2t\), \(z=-1+t\), \(t\in\mathbb{R}\). Pour \(D\), \(-1+t=2\) donne \(-1+t+1=2+1\), donc \(t=3\). On vérifie \(y=2-2\times3=2-6=-4\) et \(x=1\). La première coordonnée n’est pas inutile : elle impose que tous les points de la droite aient pour abscisse 1.

Correction expliquée 3.15 — Réponse possible et critères

Obtenir les deux points contrôle les données, mais n’explique pas encore l’ensemble décrit. La relation \(\overrightarrow{AM}=t\vec{u}\) montre que chaque point produit reste dans la direction choisie à partir de \(A\). Réciproquement, tout point de la droite correspond à un multiple réel de \(\vec{u}\), donc à une valeur de \(t\). Une réponse complète mentionne la direction non nulle, les deux sens et le fait que le paramètre parcourt tous les réels.

Correction expliquée 3.18 — Correction de la variation

On a \(\overrightarrow{AB}=3\vec{u}\) et \(\overrightarrow{AM}=t\vec{u}=\tfrac{t}{3}\overrightarrow{AB}\). Le coefficient \(3\) est positif : \(0\le\tfrac{t}{3}\le1\) équivaut à \(0\le t\le3\). Ainsi \([AB]\) correspond à \([0\,;3]\). L’intervalle \([0\,;1]\) s’arrête au point \(A+\vec{u}=(3\,;1\,;2)\) : il ne parcourt qu’une partie de \([AB]\). La restriction du paramètre dépend du directeur effectivement choisi.

Correction expliquée 3.20 — Nouvel essai corrigé et retour

\[\overrightarrow{KL}=(2-(-1)\,;2-2\,;-3-0)=(3\,;0\,;-3)\ne\vec0.\] Une représentation est \(x=-1+3t\), \(y=2\), \(z=-3t\), \(t\in\mathbb{R}\). Pour \(t=1\), on retrouve \((-1+3\,;2\,;-3)=(2\,;2\,;-3)\). Reprends maintenant l’essai C07 avec \(C\) et \(D\) et vérifie chaque différence avant de simplifier le directeur.

Correction expliquée 3.22 — Correction de la reprise

\(\overrightarrow{PQ}=(1-3\,;4-0\,;2-(-2))=(-2\,;4\,;4)\). On choisit \(\vec{u}=(-1\,;2\,;2)\). D’où \(x=3-t\), \(y=2t\), \(z=-2+2t\). Pour retrouver \(Q\), \(2t=4\) donne, puisque \(2\ne0\), \(\dfrac{2t}{2}=\dfrac42\), puis \(\dfrac22t=2\), soit \(1t=2\) et \(t=2\). Alors \(3-2=1\) et \(-2+2\times2=-2+4=2\). La valeur \(t=0\) redonne \(P\).

Correction expliquée 3.24 — Correction et orientation

Pour \(P\), l’ordonnée impose \(-2+t=-1\), donc \(-2+t+2=-1+2\) et \(t=1\). On vérifie \(1+2\times1=3\) et \(z=4\) : \(P\in r\). Pour \(Q\), la troisième coordonnée demandée vaut 5, alors que la représentation impose toujours 4. La contradiction suffit : \(Q\notin r\). Si tu as oublié la troisième égalité, reprends le sens de l’accolade dans la définition.

Correction expliquée 3.28 — Correction de l’essai guidé

L’équation \(2-s=0\) donne \(2-s-2=0-2\), soit \(-s=-2\). Le coefficient \(-1\) est non nul : \(\dfrac{-s}{-1}=\dfrac{-2}{-1}\), puis \(\dfrac{-1}{-1}s=2\), soit \(1s=2\) et \(s=2\). Alors \(x=-1+3\times2=-1+6=5\) et \(z=5+2\times2=5+4=9\). Les trois coordonnées concordent ; \(M\in r\).

Correction expliquée 3.30 — Correction de la tentative

Pour \(A\), la cote impose \(-3+s=0\), donc \(-3+s+3=0+3\) et \(s=3\). L’abscisse vaut \(4-2\times3=4-6=-2\) ; l’ordonnée vaut 1. Ainsi \(A\in r\). Pour \(B\), l’ordonnée serait 2, alors que tout point de \(r\) a pour ordonnée 1. Donc \(B\notin r\), indépendamment des autres coordonnées. Résoudre les autres équations serait ici inutile.

Correction expliquée 3.32 — Réponse possible et critères

Dans le problème exact donné, l’appartenance demande que les trois égalités soient vraies pour le même paramètre. Une seule égalité fausse suffit à exclure le point. Deux coordonnées correctes ne définissent pas une appartenance partielle. Dans une mesure expérimentale, une tolérance pourrait être fixée, mais elle ne fait pas partie de cet énoncé. La réponse doit mentionner simultanéité, même paramètre et distinction exact/approché.

Correction expliquée 3.34 — Correction de la variation

L’ordonnée donne \(-2+t=-3\), puis \(-2+t+2=-3+2\), donc \(t=-1\). On vérifie \(1+2\times(-1)=1-2=-1\) et \(z=4\). Ainsi \(N\) appartient à la droite complète. Mais \(-1<0\) : la valeur nécessaire est exclue si \(t\ge0\). Le point n’appartient pas à la demi-droite ainsi décrite. Le domaine du paramètre est une donnée mathématique.

Correction expliquée 3.36 — Nouvel essai corrigé et retour

\(1+s=3\) donne \(1+s-1=3-1\), donc \(s=2\). Pour cette valeur, \(y=-2\) et \(z=2+2=4\). Ainsi \(P\) appartient à la droite, tandis que \(Q\) n’y appartient pas car sa cote est 5. Reviens maintenant à l’exemple C08 et rédige une phrase expliquant pourquoi aucune autre valeur ne peut convenir à \(Q\).

Correction expliquée 3.38 — Correction de la reprise

Pour \(P\), \(2+5t=-3\) donne \(2+5t-2=-3-2\), soit \(5t=-5\). Le coefficient \(5\ne0\) autorise \(\dfrac{5t}{5}=\dfrac{-5}{5}\), puis \(\dfrac55t=-1\), soit \(1t=-1\) et \(t=-1\). Alors \(y=-1\) et \(z=3-2\times(-1)=3+2=5\) ; donc \(P\) appartient à la droite. Le point \(Q\) ne lui appartient pas, car l’ordonnée 0 ne vaut pas \(-1\).

Correction expliquée 3.40 — Correction et orientation

On écrit mentalement \(x=7+0t\) et \(z=1+(-1)t\). Le point obtenu pour \(t=0\) est \((7\,;-2\,;1)\) ; un directeur est \(\vec{u}=(0\,;3\,;-1)\). Le vecteur \((0\,;6\,;-2)=2\vec{u}\) est également directeur, car \(2\ne0\). Le vecteur nul n’est jamais directeur. Si tu as confondu point et direction, reviens à la place des constantes et des coefficients dans la définition.

Correction expliquée 3.46 — Correction de l’essai guidé

Le point d’appui est \(C(0\,;-5\,;5)\) et le directeur \((-1\,;-2\,;1)=-\vec{u}\). Pour trouver \(C\) sur \(d\), \(2+t=0\) donne \(2+t-2=0-2\), soit \(t=-2\). Alors \(-1+2\times(-2)=-1-4=-5\) et \(3-(-2)=5\). Le point appartient bien à \(d\) et les directions sont colinéaires ; les droites sont confondues. Le changement de paramètre est \(t=-2-s\) : les trois coordonnées deviennent \(2+(-2-s)=-s\), \(-1+2(-2-s)=-1+2\times(-2)-2\times s=-1-4-2s=-5-2s\), et \(3-(-2-s)=3+2+s=5+s\).

Correction expliquée 3.48 — Correction de la tentative

Le directeur de \(d\) est \((2\,;1\,;-1)\). Celui de \(e\) est \((-4\,;-2\,;2)=-2(2\,;1\,;-1)\). Pour le point \((5\,;-1\,;2)\), l’équation \(1+2t=5\) donne \(1+2t-1=5-1\), soit \(2t=4\). Comme \(2\ne0\), \(\dfrac{2t}{2}=\dfrac42\), puis \(\dfrac22t=2\), donc \(t=2\). On vérifie \(-3+2=-1\) et \(4-2=2\). Donc \(d=e\). Le changement \(t=2-2s\) donne \(1+2(2-2s)=1+2\times2-2\times2s=1+4-4s=5-4s\), \(-3+(2-2s)=-3+2-2s=-1-2s\), et \(4-(2-2s)=4-2+2s=2+2s\). Après remplacement par \(z=3+2s\), le point d’appui devient \((5\,;-1\,;3)\). Les deux premières coordonnées imposent encore \(t=2\), mais la troisième sur \(d\) vaut 2 et non 3. Les directions restent colinéaires ; les droites sont parallèles distinctes. Le changement d’une constante n’est donc pas toujours anodin.

Correction expliquée 3.50 — Réponse possible et critères

Si \(\beta=0\), \(t=\alpha\) reste fixe : on ne parcourt qu’un seul point de la première droite. Si \(\beta\ne0\), chaque \(t\) correspond à \(s=(t-\alpha)/\beta\) ; tous les points sont conservés. Les paramètres sont des coordonnées choisies séparément sur le même objet ; ils peuvent changer d’origine, de sens et d’échelle. Une réponse complète mentionne le parcours de tous les réels et l’existence de la transformation inverse.

Correction expliquée 3.52 — Correction de la variation

Pour \(t=0\), on obtient \(A(2\,;-1\,;3)\) ; pour \(s=0\), on obtient \(B(5\,;5\,;0)\). Ces points sont différents. L’égalité des ensembles parcourus n’est pas l’égalité des positions à valeurs numériques égales des paramètres. Pour parler de temps, il faudrait préciser une origine temporelle commune, une unité et les lois de déplacement ; aucune de ces données n’est contenue dans la seule égalité des droites.

Correction expliquée 3.54 — Nouvel essai corrigé et retour

Les constantes sont \(-1\), 3 et 5 ; le point d’appui est donc \((-1\,;3\,;5)\). Les coefficients de \(r\) sont \(-2\), 0 et 1 ; le directeur est \((-2\,;0\,;1)\ne\vec0\). Contrôle : entre \(r=0\) et \(r=1\), le point passe de \((-1\,;3\,;5)\) à \((-3\,;3\,;6)\) ; la différence est \((-3-(-1)\,;3-3\,;6-5)=(-2\,;0\,;1)\). Reviens au repérage C09 et lis cette fois les coefficients avant de regarder les constantes.

Correction expliquée 3.56 — Correction de la reprise

Le point de paramètre 3 est \(B(-2+3\,;4-3\times3\,;1+2\times3)=(1\,;-5\,;7)\). Le directeur initial est \((1\,;-3\,;2)\) ; son multiple par \(-2\) est \((-2\,;6\,;-4)\), non nul. On obtient \(x=1-2s\), \(y=-5+6s\), \(z=7-4s\), \(s\in\mathbb{R}\). Le changement est \(t=3-2s\). En effet, \(-2+(3-2s)=1-2s\) ; \(4-3(3-2s)=4-3\times3+3\times2s=4-9+6s=-5+6s\) ; \(1+2(3-2s)=1+2\times3-2\times2s=7-4s\). Comme le coefficient \(-2\) est non nul, le changement couvre tous les paramètres initiaux.

Correction expliquée 4.6 — Correction et orientation

Non : des directions différentes permettent une intersection, mais ne la garantissent pas dans l’espace. Ici, un point commun devrait avoir simultanément pour cote 0 et 1, donc vérifier \(0=1\), ce qui est impossible. Les droites sont non coplanaires. Si tu avais conclu « sécantes », relis la classification et compare avec la situation dans un plan.

Correction expliquée 4.12 — Correction de l’essai guidé

Les directeurs \((2\,;1\,;-1)\) et \((-1\,;-1\,;1)\) ne sont pas colinéaires : les deux dernières coordonnées imposeraient un multiplicateur \(-1\), qui donnerait pour première coordonnée \(-2\) et non \(-1\). Le système d’intersection est \(1+2t=5-s\), \(-1+t=1-s\), \(3-t=1+s\). Dans la première, ajouter \(s\) puis soustraire \(1\) aux deux membres donne \[1+2t+s-1=5-s+s-1,\qquad 2t+s=4.\] Dans la deuxième, ajouter \(1+s\) aux deux membres donne \[-1+t+1+s=1-s+1+s,\qquad t+s=2.\] Soustraire la deuxième de la première donne \((2t+s)-(t+s)=4-2\), donc \(2t+s-t-s=2\), puis \(t=2\). Dans \(t+s=2\), on obtient \(2+s=2\) ; soustraire 2 aux deux membres donne \(2+s-2=2-2\), donc \(s=0\). La troisième équation donne \(3-2=1+0\), soit \(1=1\). Sur \(d\), le point est \((1+2\times2\,;-1+2\,;3-2)=(5\,;1\,;1)\). Sur \(e\), il vaut \((5-0\,;1-0\,;1+0)=(5\,;1\,;1)\). Les droites sont sécantes, avec \(t=2\) et \(s=0\), deux paramètres différents pour le même point.

Correction expliquée 4.14 — Correction de la tentative

Les directeurs sont \((1\,;1\,;-1)\) et \((1\,;-1\,;2)\). La première coordonnée imposerait un multiplicateur 1 ; la deuxième ne convient pas. Les directions sont différentes. Les deux premières équations sont \(t=2+s\) et \(1+t=1-s\). Soustraire \(s\) dans la première donne \(t-s=2+s-s\), soit \(t-s=2\). Dans la seconde, soustraire 1 puis ajouter \(s\) donne \(1+t-1=1-s-1\), soit \(t=-s\), puis \(t+s=-s+s=0\). Additionner les deux équations obtenues donne \((t-s)+(t+s)=2+0\), soit \(2t=2\) ; diviser par \(2\ne0\) donne \(\dfrac{2t}{2}=\dfrac22\), puis \(\dfrac22t=1\), donc \(t=1\). Dans \(1+s=0\), soustraire 1 donne \(1+s-1=0-1\), donc \(s=-1\). Mais les cotes obtenues sont \(2-1=1\) sur \(d\) et \(1+2\times(-1)=1-2=-1\) sur \(e\). Elles sont différentes. Le couple candidat n’est pas solution du système complet. Les deux premières équations ayant imposé ce seul couple, aucun autre couple ne peut satisfaire les trois. Les droites sont non coplanaires.

Correction expliquée 4.16 — Réponse possible et critères

Chaque droite possède son propre point d’appui et son propre directeur. Les valeurs des paramètres sont donc choisies indépendamment ; un même point peut être atteint avec des valeurs différentes. Imposer \(t=s\) ajoute une condition absente du problème. Le contrôle des trois coordonnées initiales transforme un candidat en solution ; un candidat trouvé avec deux équations peut échouer dans la troisième. Une réponse complète explique ces deux idées et peut citer l’essai guidé, où \(t=2\) et \(s=0\).

Correction expliquée 4.18 — Correction de la variation

Les directeurs et les deux premières coordonnées sont inchangés : ils donnent toujours l’unique candidat \(t=1\), \(s=-1\). La cote de la seconde droite devient \(3+2\times(-1)=3-2=1\), égale à \(2-1=1\) sur la première. Les abscisses valent \(1=2+(-1)\) et les ordonnées \(1+1=1-(-1)=2\). Les droites sont maintenant sécantes en \((1\,;2\,;1)\). Une modification de la cote du point d’appui peut donc transformer deux droites non coplanaires en deux droites sécantes.

Correction expliquée 4.20 — Nouvel essai corrigé et retour

L’abscisse donne \(1+t=3\), donc \(1+t-1=3-1\) et \(t=2\). L’ordonnée donne alors \(2=1+s\), donc \(2-1=1+s-1\) et \(s=1\). Les cotes sont toutes deux nulles. Le point commun est \((3\,;2\,;0)\). Reviens à la tentative C10, conserve les noms \(t\) et \(s\), puis termine par le contrôle de la cote.

Correction expliquée 4.22 — Correction de la reprise

Les directeurs \((1\,;2\,;0)\) et \((-2\,;1\,;1)\) ne sont pas colinéaires : un multiple du premier a une troisième coordonnée nulle. La cote impose \(3=3+s\), donc \(3-3=3+s-3\) et \(s=0\). L’abscisse donne \(2+t=3\), donc \(t=1\). L’ordonnée vaut \(-1+2\times1=1\) sur \(d\) et \(1+0=1\) sur \(e\). Les droites sont sécantes en \((3\,;1\,;3)\).

Correction expliquée 4.25 — Correction et orientation

On a \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=(\alpha\,;\beta\,;0)\). Le premier vecteur s’obtient avec \(\alpha=2\), \(\beta=-3\). Le second imposerait simultanément \(\alpha=2\), \(\beta=-3\) et \(0=1\), ce qui est impossible. Si ce passage paraît difficile, reprendre le rappel local et calculer séparément \(\alpha\vec{u}\) puis \(\beta\vec{v}\) avant de les additionner.

Correction expliquée 4.31 — Correction de l’essai guidé

Les directions ne sont pas colinéaires : tout multiple de \(\vec{u}\) a une deuxième coordonnée nulle, alors que celle de \(\vec{v}\) vaut 1. On a \(\overrightarrow{AB}=(1-0\,;2-0\,;0-1)=(1\,;2\,;-1)\) et \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=(\alpha\,;\beta\,;\alpha-\beta)\). Les deux premières coordonnées imposent \(\alpha=1\), \(\beta=2\) ; la troisième donne \(1-2=-1\), comme demandé. Les droites sont coplanaires. Le point commun se trouve avec \(t=1\), \(s=-2\). Sur la première : \(A+\vec{u}=(1\,;0\,;2)\). Sur la seconde : \(B-2\vec{v}=(1-2\times0\,;2-2\times1\,;0-2\times(-1))=(1\,;0\,;2)\).

Correction expliquée 4.33 — Correction de la tentative

Les directeurs sont non colinéaires, car un multiple de \(\vec{u}\) a sa troisième coordonnée nulle, tandis que celle de \(\vec{v}\) vaut 1. Le déplacement entre les points d’appui vaut \(\overrightarrow{AB}=(0-2\,;1-0\,;3-(-1))=(-2\,;1\,;4)\). La combinaison a pour coordonnées \((\alpha\,;\alpha+\beta\,;\beta)\). L’abscisse impose \(\alpha=-2\) et la cote impose \(\beta=4\). Mais l’ordonnée obtenue est \(-2+4=2\), différente de 1. La combinaison n’existe pas : les droites ne sont pas coplanaires, donc aucun plan ne les contient simultanément.

Correction expliquée 4.35 — Réponse possible et critères

Les directeurs indiquent les directions des droites mais pas l’écart entre leurs positions. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) relie les points d’appui et permet de savoir si cet écart reste dans le plan engendré par les directions. Deux directions non colinéaires engendrent une direction de plan ; deux directions colinéaires ne décrivent qu’une direction de droite. La réponse doit relier le déplacement à la position, et la non-colinéarité au fait d’engendrer un plan.

Correction expliquée 4.39 — Nouvel essai corrigé et retour

On a \(2\vec{u}-\vec{v}=(2\times1-0\,;2\times0-1\,;2\times0-0)=(2\,;-1\,;0)\). Le premier vecteur est donc dans le plan des directions. Toute combinaison garde la troisième coordonnée nulle ; le second ne peut pas être obtenu, puisque sa troisième coordonnée vaut 1. Reprends la tentative C11 et distingue bien « les deux directions ne sont pas colinéaires » de « le déplacement entre les droites n’est pas dans leur plan ».

Correction expliquée 4.41 — Correction de la reprise

Les directions sont non colinéaires, car la première coordonnée de \(\vec{v}\) est nulle alors que sa deuxième ne l’est pas : la colinéarité avec \(\vec{u}\) imposerait un multiplicateur nul, impossible pour un directeur non nul. Le déplacement vaut \((2-0\,;4-1\,;1-0)=(2\,;3\,;1)\). La combinaison vaut \((\alpha\,;3\beta\,;2\alpha-3\beta)\). Les deux premières coordonnées donnent \(\alpha=2\) et \(3\beta=3\) ; diviser par \(3\ne0\) donne \(\dfrac{3\beta}{3}=\dfrac33\), puis \(\dfrac33\beta=1\), donc \(\beta=1\). La troisième coordonnée vaut \(2\times2-3\times1=4-3=1\), donc la combinaison convient. Le point commun est \(A+2\vec{u}=(2\,;1\,;4)\) ; sur l’autre droite, \(B-\vec{v}=(2-0\,;4-3\,;1-(-3))=(2\,;1\,;4)\).

Correction expliquée 5.12 — Correction et orientation

Les trois produits sont \(2\), \(-2\) et \(0\). Donc \(\vec{u}\mathbin{\cdot}\vec{v}=2-2+0=0\) ; les vecteurs sont orthogonaux. Si le blocage porte sur le signe, retenir qu’un produit de signes opposés est négatif, et qu’un produit par \(0\) vaut \(0\). Si le calcul est correct mais sa conclusion manque, relire la

, qui relie le nombre calculé à la géométrie.

Correction expliquée 5.16 — Correction de l’essai guidé

\[\vec{u}\mathbin{\cdot}\vec{v}=3\times k+1\times2+(-2)\times1=3k+2-2=3k.\] La condition est \(3k=0\). Le diviseur est \(3\), qui est non nul. On effectue la même division dans les deux membres : \[\frac{3k}{3}=\frac{0}{3},\qquad \frac33k=0,\qquad k=0.\] On n’a pas divisé par \(k\) ; il serait injustifié de supposer \(k\ne0\). Pour \(k=0\), \(\vec{v}=(0;2;1)\) est bien non nul et \(3\times0+1\times2+(-2)\times1=0+2-2=0\).

Correction expliquée 5.18 — Correction de la tentative

Les vecteurs sont non nuls quels que soient \(a\), car \(\vec{u}\) a pour première coordonnée \(2\) et \(\vec{v}\) a pour deuxième coordonnée \(3\). Leur produit est \[2\times a+(-1)\times3+1\times1=2a-3+1=2a-2.\] L’orthogonalité équivaut à \(2a-2=0\). Ajoutons \(2\) aux deux membres : \((2a-2)+2=0+2\), donc \(2a=2\). Puisque \(2\ne0\), divisons par \(2\) : \(2a/2=2/2\), donc \(a=1\).

Pour cette valeur, \(\vec{v}=(1;3;1)\) et le contrôle donne \(2\times1+(-1)\times3+1\times1=2-3+1=0\). Une seule valeur convient.

Correction expliquée 5.20 — Réponse possible et critères

Non. On a \(\vec{u}\mathbin{\cdot}\vec{u}=\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2\). Si \(\vec{u}\ne\vec0\), sa norme est strictement positive, donc son carré est strictement positif. Le produit n’est pas nul ; le critère d’orthogonalité ne peut pas être satisfait.

Une justification complète contient le lien produit scalaire–norme, l’utilisation de la non-nullité et la conclusion par le critère. Le vecteur nul constitue le cas à part : il est orthogonal à lui-même par la convention donnée.

Correction expliquée 5.22 — Orthogonalité des directions et rôle de la base

1. Les directeurs \((1;0;0)\) et \((0;1;0)\) sont non nuls et leur produit vaut \(1\times0+0\times1+0\times0=0\). Les droites sont donc orthogonales au sens de leurs directions. Elles n’ont aucun point commun : la première impose \(z=0\), la seconde \(z=1\). Elles ne sont donc pas perpendiculaires, mot qui désigne ici des droites sécantes formant un angle droit.

2. Non. La nouvelle base n’est pas orthonormée. Dans la base orthonormée de référence, le vrai produit est \(1\times1+0\times1+0\times0=1\), donc les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux. Les coordonnées seules ne portent pas toute l’information métrique lorsqu’on change pour une base non orthonormée.

Correction expliquée 5.24 — Correction du nouvel essai et retour

\[\vec p\mathbin{\cdot}\vec q=1\times2+(-2)\times3+2\times2=2-6+4=0.\] Les vecteurs sont orthogonaux. Ici le deuxième produit est négatif, parce que ses facteurs ont des signes opposés. Retourner ensuite au calcul fautif précédent et expliquer pourquoi son deuxième produit était, au contraire, positif. Le signe se décide produit par produit, avant la somme.

Correction expliquée 5.26 — Correction de la reprise différée

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=(2-0\,;0-1\,;1-(-1))=(2;-1;2),\\ \overrightarrow{AC}&=(-1-0\,;3-1\,;1-(-1))=(-1;2;2). \end{align*}\] Le produit est \(2\times(-1)+(-1)\times2+2\times2=-2-2+4=0\). Les deux vecteurs étant non nuls, l’angle en \(A\) est droit.

On a \(AB^2=2^2+(-1)^2+2^2=4+1+4=9\) et \(AC^2=(-1)^2+2^2+2^2=1+4+4=9\). Enfin \(\overrightarrow{BC}=(-1-2\,;3-0\,;1-1)=(-3;3;0)\), donc \(BC^2=9+9+0=18=9+9\). Le contrôle confirme l’angle droit en \(A\).

Correction expliquée 5.33 — Correction et orientation

Non : il faut aussi tester la seconde direction. Or \(\vec{n}\mathbin{\cdot}\vec{v}=0\times0+1\times1+0\times0=1\ne0\). Le premier calcul n’était pas faux ; il était insuffisant. Relire le

pour repérer les trois conditions : normal proposé non nul, directions non colinéaires, deux produits nuls.

Correction expliquée 5.37 — Correction de l’essai guidé

Le vecteur \(\vec{u}\) est non nul. La relation \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\) donnerait \(0=\lambda\times1\), donc \(\lambda=0\) ; elle donnerait alors, à la troisième coordonnée, \(1=0\times3=0\), impossible. Les directions ne sont pas colinéaires.

Le candidat \(\vec{n}\) est non nul car \(2\ne0\). Ses produits avec les deux directions sont \[\begin{align*} \vec{n}\mathbin{\cdot}\vec{u}&=2\times1+(-1)\times2+0\times3=2-2+0=0,\\ \vec{n}\mathbin{\cdot}\vec{v}&=2\times0+(-1)\times0+0\times1=0+0+0=0. \end{align*}\] Le critère démontre qu’il est normal. Le point \(A\) situe le plan mais ne change pas sa direction ; on ne calcule pas \(\vec{n}\mathbin{\cdot}A\), produit qui confondrait point et vecteur.

Correction expliquée 5.39 — Correction et comparaison des candidats

\[\overrightarrow{AB}=(0-(-1)\,;2-2\,;2-0)=(1;0;2),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1-(-1)\,;4-2\,;1-0)=(0;2;1).\] Si \(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\), la première coordonnée donne \(0=\lambda\), alors que la deuxième donnerait \(2=\lambda\times0=0\). C’est impossible : les points ne sont pas alignés.

Les deux candidats sont non nuls. Pour \(\vec{n}\), \[\begin{align*} \vec{n}\mathbin{\cdot}\overrightarrow{AB}&=4\times1+1\times0+(-2)\times2=4+0-4=0,\\ \vec{n}\mathbin{\cdot}\overrightarrow{AC}&=4\times0+1\times2+(-2)\times1=0+2-2=0. \end{align*}\] Il est normal. Pour \(\vec m\), le premier produit vaut \(4\times1+0\times0+(-2)\times2=4-4=0\), mais le second vaut \(4\times0+0\times2+(-2)\times1=-2\ne0\). Il n’est pas normal. Avoir seulement retiré la coordonnée \(1\) du premier candidat ne conservait pas sa direction.

Correction expliquée 5.41 — Réponse possible et critères

Deux directions non colinéaires \(\vec{u},\vec{v}\) permettent d’écrire toute direction du plan sous la forme \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\). Si les deux produits avec \(\vec{n}\) sont nuls, la bilinéarité donne \(\vec{n}\mathbin{\cdot}\bigl(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\bigr)=\alpha\times0+\beta\times0=0\). On a donc traité toutes les directions à la fois, sans les énumérer.

Les critères d’une réponse complète sont : écrire la combinaison générale, indiquer pourquoi elle couvre le plan, développer le produit par bilinéarité et rappeler que le candidat normal doit être non nul.

Correction expliquée 5.43 — Une condition qui manque réellement

On a \(\overrightarrow{AB}=(1;0;0)\) et \(\overrightarrow{AC}=(2;0;0)=2\overrightarrow{AB}\). Les points sont alignés et ne déterminent pas un plan unique. Le second produit scalaire répète en fait la même condition de direction que le premier.

Le plan de directions \((1;0;0)\) et \((0;0;1)\) contient les trois points et admet \(\vec{n}\) pour normal. Mais le plan de directions \((1;0;0)\) et \((0;1;0)\) les contient aussi, et \(\vec{n}\) n’y est pas normal, puisque son produit avec \((0;1;0)\) vaut \(1\). La conclusion au sujet d’un unique « plan \((ABC)\) » n’est donc pas définie.

Correction expliquée 5.45 — Correction du nouvel essai et retour

Le vecteur \((0;0;0)\) est rejeté parce qu’il est nul. Le vecteur \((1;0;0)\) est non nul, mais son produit avec la première direction vaut \(1\times1+0\times0+0\times0=1\), donc il est rejeté. Enfin \((0;0;-3)\) est non nul et ses produits valent respectivement \(0\times1+0\times0+(-3)\times0=0\) et \(0\times0+0\times1+(-3)\times0=0\) : lui seul est normal.

Retourner à la copie initiale et ajouter la condition manquante avant les deux produits. Une vérification correcte commence par les hypothèses du critère.

Correction expliquée 5.47 — Correction de la reprise différée

\[\overrightarrow{AB}=(2-1\,;0-1\,;0-0)=(1;-1;0),\qquad \overrightarrow{AC}=(1-1\,;2-1\,;2-0)=(0;1;2).\] Si \(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\), la première coordonnée imposerait \(\lambda=0\), puis la deuxième donnerait \(1=0\times(-1)=0\), impossible. Les points définissent donc un plan. Le candidat est non nul, puisque sa première coordonnée vaut \(2\). \[\begin{align*} \vec{n}\mathbin{\cdot}\overrightarrow{AB}&=2\times1+2\times(-1)+(-1)\times0=2-2+0=0,\\ \vec{n}\mathbin{\cdot}\overrightarrow{AC}&=2\times0+2\times1+(-1)\times2=0+2-2=0. \end{align*}\] Le théorème à deux directions montre que \(\vec{n}\) est normal au plan \((ABC)\).

Correction expliquée 6.2 — Correction et orientation

1. On soustrait les coordonnées du départ à celles de l’arrivée : \(\overrightarrow{AM}=(x-2;y-(-1);z-3)=(x-2;y+1;z-3)\). 2. Dans un repère orthonormé, le produit scalaire est la somme des trois produits correspondants : \(2\times1+3\times0+(-1)\times2=2+0-2=0\). 3. On remplace simultanément \(x,y,z\) par \(1,0,4\) : \(2\times1+3\times0-4+2=2+0-4+2=0\). L’égalité est vraie, donc \(B\) appartient à l’ensemble décrit. Si une différence de coordonnées bloque, reprendre la première ligne du rappel suivant ; si le rôle de zéro bloque, relire la définition de l’équation d’un plan ci-dessous.

Correction expliquée 6.12 — Développer et ordonner les coefficients

Pour le premier plan, \[3\times x+3\times1+0\times y+0\times(-2)+2\times z+2\times0=0,\] donc \(3x+3+0+0+2z+0=0\), soit \(3x+2z+3=0\). Au point donné : \(3\times(-1)+2\times0+3=-3+0+3=0\). Pour le second, on soustrait \(7\) aux deux membres : \(5z-2x-7=7-7=0\). Dans l’ordre \(x,y,z\), l’équation est \(-2x+0y+5z-7=0\). Un normal est \((-2;0;5)\), non nul. La coordonnée \(y\) n’est pas oubliée : son coefficient est zéro.

Correction expliquée 6.14 — Le point, le normal et la constante

Le normal est non nul. On écrit \[\begin{align*} 1(x-0)+(-2)(y-(-2))+4(z-1)&=0,\\ 1\times x+1\times0+(-2)\times y+(-2)\times2+4\times z+4\times(-1)&=0,\\ x-2y-4+4z-4&=0. \end{align*}\] Ainsi \(x-2y+4z-8=0\). Le contrôle en \(A\) donne \(0-2\times(-2)+4\times1-8=0+4+4-8=0\). Multiplier les deux membres par \(2\) donne \[\begin{aligned} 2(x-2y+4z-8)&=2\times0,\\ 2\times x+2\times(-2y)+2\times(4z)+2\times(-8)&=0, \end{aligned}\] soit \(2x-4y+8z-16=0\). Comme \(2\ne0\), on peut aussi diviser par \(2\) pour revenir à l’équation initiale : les ensembles de solutions sont identiques.

Correction expliquée 6.21 — Zéro pour l’un, pas pour l’autre

En \(A\), \(1-2\times0+3\times1-4=1-0+3-4=0\), donc \(A\in\mathcal P\). En \(B\), \(1-2\times1+3\times1-4=1-2+3-4=-2\ne0\), donc \(B\notin\mathcal P\). Les coefficients de \(\mathcal Q\) sont \((-2)\times1=-2\), \((-2)\times(-2)=4\), \((-2)\times3=-6\), \((-2)\times(-4)=8\). Le facteur \(-2\) est non nul : \(\mathcal P=\mathcal Q\). Un point ne change pas d’appartenance lorsqu’on change seulement l’écriture de l’équation.

Correction expliquée 6.23 — Une condition d’appartenance devient une équation

L’appartenance équivaut à \[2t+2-(t-1)-5=0, \quad 2t+2+(-1)\times t+(-1)\times(-1)-5=0,\] soit \(2t+2-t+1-5=0\), puis \((2-1)t+(2+1-5)=0\), donc \(t-2=0\). On ajoute \(2\) aux deux membres : \(t-2+2=0+2\), d’où \(t=2\). Le point est \(M(2;2;2-1)=M(2;2;1)\). Le contrôle donne \(2\times2+2-1-5=4+2-1-5=0\). Les opérations étaient équivalentes, donc cette valeur de \(t\) est la seule possible.

Correction expliquée 6.26 — Simplifier change la nature de l’ensemble

\(z=4\) s’écrit \(0x+0y+z-4=0\) : le normal \((0;0;1)\) est non nul, donc c’est un plan. La deuxième égalité est \(0=4\), toujours fausse : ensemble vide. Enfin, \(2(x+1)-2x=2\times x+2\times1-2x=2x+2-2x=2\). L’égalité à \(2\) est donc vraie pour tous les points : espace entier. Les termes en \(x\) se sont annulés. Il faut contrôler l’expression simplifiée, pas l’apparence de départ.

Correction expliquée 6.29 — Correction de la reprise différée

Le normal est non nul. L’équation est \(2(y-1)-3(z+1)=0\). On distribue avant de réduire : \(2\times y+2\times(-1)+(-3)\times z+(-3)\times1=0\), puis \(2y-2-3z-3=0\), donc \(2y-3z-5=0\). En \(B\) comme en \(C\), la partie utile vaut \(2\times1-3\times(-1)-5=2+3-5=0\) ; l’abscisse ne joue aucun rôle car son coefficient est nul. Les deux points appartiennent au plan. Multiplier les deux membres par \(3\ne0\) donne \(3(2y-3z-5)=3\times0\), puis \(3\times(2y)+3\times(-3z)+3\times(-5)=0\), soit \(6y-9z-15=0\). La première convient donc. La seconde ne convient pas : son terme constant devrait être \(3\times(-5)=-15\). Contrôle en \(B\) : \(6\times1-9\times(-1)+15=6+9+15=30\ne0\).

Correction expliquée 7.3 — Correction et orientation

1. Si \((0;3;1)=k(2;0;1)\), la deuxième coordonnée imposerait \(3=k\times0=0\), impossible. Ils ne sont pas colinéaires. 2. Les produits scalaires valent \(3\times2+2\times0+(-6)\times1=6+0-6=0\) et \(3\times0+2\times3+(-6)\times1=0+6-6=0\). 3. On moyenne les coordonnées correspondantes : \(I((-2+2)/2;(1+3)/2;(0+4)/2)=I(0/2;4/2;4/2)=I(0;2;2)\). Si le premier point bloque, repartir de l’égalité des trois coordonnées ; si le deuxième bloque, reprendre la formule du produit scalaire du rappel ; si le troisième bloque, relire le rappel du milieu dans la partie sur le plan médiateur ci-dessous.

Correction expliquée 7.7 — Ne sauter aucune condition

\(\overrightarrow{AB}=(1-0;2-1;2-2)=(1;1;0)\) et \(\overrightarrow{AC}=(0-0;2-1;3-2)=(0;1;1)\). Un multiple du premier a sa troisième coordonnée nulle, donc ne peut être le second. Les points sont non alignés. Le normal proposé est non nul ; ses produits scalaires sont \(1\times1+(-1)\times1+1\times0=1-1+0=0\) et \(1\times0+(-1)\times1+1\times1=0-1+1=0\). Avec \(A\) : \[1(x-0)-1(y-1)+1(z-2)=0,\] \[1\times x+1\times0+(-1)\times y+(-1)\times(-1)+1\times z+1\times(-2)=0, \quad x+0-y+1+z-2=0,\] donc \(x-y+z-1=0\). Les produits distribués sont \(1x\), \(1\times0\), \((-1)y\), \((-1)\times(-1)\), \(1z\), \(1\times(-2)\). Contrôles : en \(A\), \(0-1+2-1=0\) ; en \(B\), \(1-2+2-1=0\) ; en \(C\), \(0-2+3-1=0\).

Correction expliquée 7.9 — Unicité puis calcul

\(\overrightarrow{AB}=(1-(-1);1-0;1-1)=(2;1;0)\) et \(\overrightarrow{AC}=(-1-(-1);1-0;2-1)=(0;1;1)\). Leurs troisièmes coordonnées excluent que le second soit multiple du premier. Il existe un plan unique. Le vecteur \((1;-2;2)\) est non nul, et \(1\times2+(-2)\times1+2\times0=2-2+0=0\), \(1\times0+(-2)\times1+2\times1=0-2+2=0\). Il est donc normal. On obtient \[(x+1)-2y+2(z-1)=0, \quad x+1+(-2)y+2z+2\times(-1)=0,\] soit \(x-2y+2z-1=0\). Les contrôles valent \(-1-0+2-1=0\) en \(A\), \(1-2+2-1=0\) en \(B\), et \(-1-2+4-1=0\) en \(C\).

Correction expliquée 7.12 — Appartenance ne signifie pas unicité

\(\overrightarrow{AC}=(2;4;6)=2(1;2;3)=2\overrightarrow{AB}\) : les points sont alignés. Le plan \(2x-y=0\) les contient effectivement : les résultats sont \(0\), \(2\times1-2=0\) et \(2\times2-4=0\). Le plan \(3x-z=0\) les contient aussi : \(0\), \(3\times1-3=0\), \(3\times2-6=0\). Ces plans sont distincts : \((0;0;1)\) vérifie \(2x-y=0\), mais \(3x-z=-1\ne0\). Les points ne définissent donc pas un plan unique. Le premier plan est un plan les contenant ; la notation \((ABC)\) n’est pas justifiée ici.

Correction expliquée 7.17 — Deux systèmes simples, deux contrôles

Pour l’essai guidé, \(a+c=0\) donne \(a=-c\) après soustraction de \(c\) aux deux membres ; \(b+c=0\) donne \(b=-c\). Prendre \(c=1\) fournit \((-1;-1;1)\). Contrôles : \(-1+0+1=0\) et \(0-1+1=0\). Pour la tentative, soustraire \(2a\) aux deux membres de \(2a+c=0\) donne \(c=-2a\) ; ajouter \(c\) aux deux membres de \(b-c=0\) donne \(b=c=-2a\). Choisir \(a=1\) fournit \((1;-2;-2)\), non nul. Les produits sont \(1\times2+(-2)\times0+(-2)\times1=2+0-2=0\) et \(1\times0+(-2)\times1+(-2)\times(-1)=0-2+2=0\).

Correction expliquée 7.25 — Calcul géométrique et contrôle des distances

\(A\ne B\). Le milieu est \(I((0+2)/2;(0+0)/2;(0+2)/2)=I(1;0;1)\) et \(\overrightarrow{AB}=(2-0;0-0;2-0)=(2;0;2)=2(1;0;1)\). L’équation \((x-1)+(z-1)=0\) donne \(x+z-2=0\). En \(I\), \(1+1-2=0\) ; en \(M\), \(0+2-2=0\). Les distances vérifient \(MA^2=0^2+7^2+2^2=0+49+4=53\) et \(MB^2=(0-2)^2+(7-0)^2+(2-2)^2=4+49+0=53\).

Variante par développement de l’équidistance. Pour un point variable \((x;y;z)\), \[x^2+y^2+z^2=(x-2)^2+y^2+(z-2)^2.\] On développe chaque carré avec ses quatre produits : \[(x-2)^2=x\times x+x\times(-2)+(-2)\times x+(-2)\times(-2)=x^2-2x-2x+4,\] \[(z-2)^2=z\times z+z\times(-2)+(-2)\times z+(-2)\times(-2)=z^2-2z-2z+4.\] Soustraire \(x^2+y^2+z^2\) aux deux membres donne \(0=-4x-4z+8\). Diviser par \(-4\ne0\) donne \(0=x+z-2\). C’est la même équation. Cette voie explique algébriquement pourquoi un lieu défini par des distances devient un plan.

Correction expliquée 7.27 — Une équation et un double contrôle

Les points sont distincts ; le théorème identifie l’ensemble comme leur plan médiateur. Le milieu est \(I((-1+3)/2;(2+0)/2;(1+(-1))/2)=I(1;1;0)\). \(\overrightarrow{AB}=(3-(-1);0-2;-1-1)=(4;-2;-2)=2(2;-1;-1)\). Une équation est \[2(x-1)-(y-1)-(z-0)=0, \quad 2x+2\times(-1)-y+(-1)\times(-1)-z=0,\] soit \(2x-y-z-1=0\). En \(M\), \(2\times0-0-(-1)-1=0-0+1-1=0\) : il appartient au plan. Contrôle : \(MA^2=(0-(-1))^2+(0-2)^2+(-1-1)^2=1+4+4=9\), tandis que \(MB^2=(0-3)^2+(0-0)^2+(-1-(-1))^2=9+0+0=9\). Les deux distances valent \(3\).

Correction expliquée 7.31 — Les deux constructions à retrouver

1. \(\overrightarrow{AB}=(1-0;0-0;2-1)=(1;0;1)\) et \(\overrightarrow{AC}=(0-0;2-0;1-1)=(0;2;0)\) ne sont pas colinéaires, car la deuxième coordonnée du second est non nulle. Le normal proposé est non nul et ses produits scalaires valent \(1\times1+0\times0+(-1)\times1=0\) et \(1\times0+0\times2+(-1)\times0=0\). L’équation est \(x-(z-1)=0\), soit \(x+(-1)\times z+(-1)\times(-1)=0\), donc \(x-z+1=0\). Contrôles : \(0-1+1=0\), \(1-2+1=0\), \(0-1+1=0\). 2. \(D\ne E\) ; le milieu est \((0;0;(2+6)/2)=(0;0;4)\), et \(\overrightarrow{DE}=(0-0;0-0;6-2)=(0;0;4)\) a la direction du normal \((0;0;1)\). Le plan médiateur est \(z-4=0\). Pour tout point \((x;y;4)\), les distances au carré sont \(x^2+y^2+(4-2)^2=x^2+y^2+4\) et \(x^2+y^2+(4-6)^2=x^2+y^2+4\) : le contrôle est valable pour tout le plan.

Correction expliquée 8.6 — Correction et orientation

Pour \(3t=6\), le coefficient \(3\ne0\) autorise \(\dfrac{3t}{3}=\dfrac63\), puis \(\dfrac33t=2\), donc \(t=2\), unique solution. L’égalité \(0t=0\) est vraie pour tout réel, car \(0\times t=0\) quelle que soit la valeur de \(t\). L’égalité \(0t=5\) est impossible, car son membre de gauche vaut toujours 0. Si tu as obtenu \(t=0\) dans le deuxième cas, reprends cette distinction : égalité toujours vraie ne signifie pas paramètre nul.

Correction expliquée 8.12 — Correction de l’essai guidé

La substitution donne \[\begin{aligned} (2-t)+2(1+t)-(3+2t)+1&=0,\\ 2-t+2\times1+2\times t-3-2t+1&=0,\\ (2+2-3+1)+(-t+2t-2t)&=0,\\ 2-t&=0. \end{aligned}\] Soustraire 2 aux deux membres donne \(2-t-2=0-2\), soit \(-t=-2\), puis, puisque \(-1\ne0\), \(\dfrac{-t}{-1}=\dfrac{-2}{-1}\), soit \(\dfrac{-1}{-1}t=2\) et \(t=2\). Le point obtenu est \((2-2\,;1+2\,;3+2\times2)=(0\,;3\,;7)\). Dans l’équation du plan : \(0+2\times3-7+1=0+6-7+1=0\). Il s’agit bien du point unique d’intersection.

Correction expliquée 8.14 — Correction de la tentative

Pour \(d\), \[\begin{aligned} 3(1+t)-(1+3t)+2\times2-6 &=3\times1+3\times t-1-3t+4-6\\ &=(3-1+4-6)+(3t-3t)=0. \end{aligned}\] L’équation est vraie pour tous les réels \(t\) ; donc \(d\subset P\). Pour \(e\), \[\begin{aligned} 3(1+s)-(3s)+2\times2-6 &=3\times1+3\times s-3s+4-6\\ &=(3+4-6)+(3s-3s)=1. \end{aligned}\] L’équation du plan exigerait \(1=0\) ; aucun \(s\) ne convient. Le directeur commun est \((1\,;3\,;0)\), dont le produit scalaire avec \((3\,;-1\,;2)\) vaut \(3\times1+(-1)\times3+2\times0=0\). La droite \(e\) est donc strictement parallèle au plan.

Correction expliquée 8.16 — Réponse possible et critères

Ce produit scalaire renseigne sur la direction, pas sur la position de la droite. Il implique que la valeur de l’expression du plan est constante le long de la droite. Il reste à évaluer cette constante en un point d’appui : si le point appartient au plan, toute la droite y est incluse ; sinon, aucun point n’y appartient. Une réponse complète nomme les deux branches et explique le rôle du point d’appui.

Correction expliquée 8.18 — Correction de la variation

Si \(k=0\), la cote vaut toujours 1, donc aucun point n’appartient à \(P\) : la droite est strictement parallèle au plan. Si \(k\ne0\), l’équation \(1+kt=0\) donne \(1+kt-1=0-1\), donc \(kt=-1\). Le coefficient \(k\) est non nul dans cette branche : \(\dfrac{kt}{k}=\dfrac{-1}{k}\), puis \(\dfrac{k}{k}t=-\dfrac1k\), donc \(t=-1/k\). Le point d’intersection est \((-1/k\,;0\,;0)\), car \(1+k(-1/k)=1-1=0\). Le cas \(k=0\) n’empêche pas la droite d’exister : son directeur est alors \((1\,;0\,;0)\). Il empêche seulement de diviser l’équation d’intersection par \(k\).

Correction expliquée 8.20 — Nouvel essai corrigé et retour

La substitution donne \((1+s)-(1+s)=1+s-1-s=0\), quel que soit \(s\). Toute la droite est incluse dans le plan. Par exemple, les points \((1\,;1\,;2)\) pour \(s=0\) et \((2\,;2\,;2)\) pour \(s=1\) sont deux points distincts de l’intersection. Reviens à la tentative C18 et écris « tous les réels conviennent » dans la branche où tu obtiens une identité.

Correction expliquée 8.22 — Correction de la reprise

\[\begin{aligned} 2(1-t)+(-2+3t)-(2+t)-1 &=2\times1-2\times t-2+3t-2-t-1\\ &=(2-2-2-1)+(-2t+3t-t)=-3. \end{aligned}\] L’équation du plan demanderait \(-3=0\), ce qui est impossible. Le coefficient du paramètre est nul ; la direction est parallèle au plan. La droite est strictement parallèle à \(P\).

Correction expliquée 8.31 — Correction et orientation

Les normaux sont \((1\,;-2\,;1)\) et \((2\,;-4\,;2)=2(1\,;-2\,;1)\). Les plans sont parallèles. Pour qu’ils soient confondus, la constante de \(Q\) devrait aussi être multipliée par 2, donc valoir \(2\times4=8\). Elle vaut \(-1\) : les plans sont strictement parallèles. Si tu t’es arrêté aux trois premiers coefficients, reprends la proposition locale et son rôle pour la constante.

Correction expliquée 8.35 — Correction de l’essai guidé

Le normal de \(P\) est \((2\,;-1\,;1)\). Celui de \(Q\) vaut \((4\,;-2\,;2)=2(2\,;-1\,;1)\). Pour une coïncidence, sa constante devrait valoir \(2\times(-1)=-2\). Elle vaut 3, donc \(Q\) est strictement parallèle à \(P\). Le normal de \(R\) est \((1\,;3\,;1)\). Le produit scalaire avec celui de \(P\) vaut \(2\times1+(-1)\times3+1\times1=2-3+1=0\). Les plans sont orthogonaux et donc sécants. Les constantes n’interviennent pas dans ce test d’orthogonalité, qui porte sur les directions.

Correction expliquée 8.37 — Correction de la tentative

Le normal de \(P\) est \((1\,;1\,;-1)\). L’équation de \(Q\) est exactement celle de \(P\) multipliée par \(2\ne0\) : les normaux et la constante sont tous multipliés par 2. Les plans sont confondus. Le normal de \(R\) est \((1\,;-1\,;0)\), et \((1\,;1\,;-1)\cdot(1\,;-1\,;0)=1\times1+1\times(-1)+(-1)\times0=1-1+0=0\). Ainsi \(R\) est orthogonal à \(P\), donc sécant. Pour \(S\), le normal est \((2\,;-1\,;2)\). La colinéarité demanderait, à partir de la première coordonnée, un multiplicateur 2 ; la deuxième serait alors 2 au lieu de \(-1\). Les plans sont sécants. Le produit scalaire vaut \(1\times2+1\times(-1)+(-1)\times2=2-1-2=-1\ne0\) : ils ne sont pas orthogonaux.

Correction expliquée 8.39 — Réponse possible et critères

Les trois coefficients donnent un normal, qui fixe la direction du plan. Plusieurs plans parallèles peuvent avoir le même normal et des positions différentes. La constante choisit cette position : avec des normaux dans le rapport \(\lambda\ne0\), les équations décrivent le même plan seulement si leurs constantes sont dans ce même rapport. Une réponse complète distingue orientation et position et précise que le même multiplicateur doit agir sur tous les coefficients.

Correction expliquée 8.41 — Correction de la variation

Le produit scalaire directeur–normal vaut \(1\times1+1\times(-1)+0\times0=0\) : la direction de \(d\) est parallèle au plan \(P\). La substitution donne \((1+t)-(-1+t)=1+t+1-t=2\ne0\), donc la droite est strictement parallèle à \(P\), et ne lui est pas orthogonale. Pour \(Q\), le même vecteur \((1\,;1\,;0)\) joue maintenant le rôle d’un normal de plan. Son produit scalaire nul avec le normal de \(P\) signifie que les deux plans sont orthogonaux. La nature des objets détermine la signification du calcul.

Correction expliquée 8.43 — Nouvel essai corrigé et retour

Les normaux de \(Q\) et \(R\) sont tous deux \(3(1\,;1\,;-1)\). La constante de \(Q\) est \(3=3\times1\), donc son équation est trois fois celle de \(P\) : les plans sont confondus. La constante de \(R\) vaut \(-2\), différente de 3 ; les plans \(R\) et \(P\) sont strictement parallèles. Reprends la tentative C19 et compare les quatre coefficients dans la branche des normaux colinéaires.

Correction expliquée 8.45 — Correction de la reprise

L’équation de \(Q\) est celle de \(P\) multipliée par \(-3\ne0\) : \(-3\times2=-6\), \(-3\times1=-3\), \(-3\times(-2)=6\), \(-3\times5=-15\). Donc \(Q=P\). Les normaux de \(P\) et \(R\) valent \((2\,;1\,;-2)\) et \((1\,;2\,;2)\). Leur produit scalaire est \(2\times1+1\times2+(-2)\times2=2+2-4=0\), donc les plans sont orthogonaux. Le directeur de \(d\) est précisément un normal de \(P\) : la droite est orthogonale au plan. Ses coordonnées sont \(x=2t\), \(y=t\), \(z=-2t\). La substitution donne \[2(2t)+t-2(-2t)+5=4t+t+4t+5=9t+5=0.\] Soustraire 5 aux deux membres donne \(9t+5-5=0-5\), soit \(9t=-5\). Comme \(9\ne0\), \(\dfrac{9t}{9}=\dfrac{-5}{9}\), puis \(\dfrac99t=-\dfrac59\), donc \(t=-5/9\). Le point est \(H(-10/9\,;-5/9\,;10/9)\). Contrôle dans le plan : \[2\left(-\frac{10}{9}\right)-\frac59-2\left(\frac{10}{9}\right)+5 =-\frac{20}{9}-\frac59-\frac{20}{9}+\frac{5\times9}{1\times9} =\frac{-20-5-20+45}{9}=0.\] Le point appartient bien au plan et à la droite : c’est leur unique intersection.

Correction expliquée 9.3 — Correction et orientation

1. Un normal est \((1;2;-2)\), non nul. 2. \(3+2\times0-2\times0-3=3+0-0-3=0\), donc \(K\) est dans le plan. 3. \(\overrightarrow{AK}=(3-4;0-0;0-(-1))=(-1;0;1)\). S’il était \(k(1;2;-2)\), on aurait \(-1=k\) et \(0=2k\). La seconde équation donne \(k=0\) après division par \(2\ne0\), ce qui contredit la première. Le vecteur n’est pas colinéaire au normal : l’appartenance seule ne suffit pas. 4. \(\overrightarrow{AH}=(1-1;2-2;3-7)=(0;0;-4)\), donc \(AH=\sqrt{0^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{16}=4\). La distance est positive, même si la différence des cotes est négative. Si ces étapes bloquent, reprendre le rappel des coordonnées et de la norme avant la méthode ci-dessous.

Correction expliquée 9.10 — La même équation, puis les trois coordonnées

Le normal \((2;-1;2)\) est non nul. La substitution donne \[2(2+2t)-(-t)+2(2t)-1=0,\] \[2\times2+2\times2t+(-1)\times(-t)+2\times2t-1=0, \quad 4+4t+t+4t-1=0,\] donc \(9t+3=0\). Soustraction de \(3\) aux deux membres : \(9t+3-3=0-3\), donc \(9t=-3\). Division par \(9\ne0\) : \(9t/9=-3/9\), donc \(t=(-1\times3)/(3\times3)=-1/3\). Avec \(2=(2\times3)/(1\times3)=6/3\), \(x_H=2+2(-1/3)=6/3-2/3=4/3\) ; \(y_H=-(-1/3)=1/3\) ; \(z_H=2(-1/3)=-2/3\). Contrôle : \(2(4/3)-1/3+2(-2/3)-1=8/3-1/3-4/3-(1\times3)/(1\times3)=(8-1-4-3)/3=0\). Le déplacement est \(\overrightarrow{AH}=(4/3-6/3;1/3;-2/3)=(-2/3;1/3;-2/3)=(-1/3)(2;-1;2)\). Ainsi \(H(4/3;1/3;-2/3)\) est bien le projeté.

Correction expliquée 9.12 — Un pied obtenu avec un paramètre positif

Le normal est non nul. La droite est \(x=t\), \(y=1-2t\), \(z=2t\). La condition de plan est \[t-2(1-2t)+2(2t)-4=0, \quad t+(-2)\times1+(-2)\times(-2t)+2\times2t-4=0,\] soit \(t-2+4t+4t-4=0\), donc \(9t-6=0\). Ajouter \(6\) aux deux membres donne \(9t-6+6=0+6\), donc \(9t=6\). Comme \(9\ne0\), \(9t/9=6/9\), donc \(t=(2\times3)/(3\times3)=2/3\). Alors \(x_H=2/3\) et \(z_H=2\times(2/3)=4/3\). Pour l’ordonnée, \(1=(1\times3)/(1\times3)=3/3\), donc \(y_H=1-2(2/3)=3/3-4/3=-1/3\). Le point est \(H(2/3;-1/3;4/3)\). Contrôle de l’équation : \(2/3-2(-1/3)+2(4/3)-4=2/3+2/3+8/3-12/3=0\). Contrôle du déplacement : \(\overrightarrow{AH}=(2/3;-1/3-3/3;4/3)=(2/3;-4/3;4/3)=(2/3)(1;-2;2)\).

Correction expliquée 9.15 — Une condition ne remplace pas l’autre

\(K\) appartient au plan, car \(3+0-0-3=0\), mais \(\overrightarrow{AK}=(-1;0;1)\) n’est pas colinéaire à \((1;2;-2)\) : la deuxième coordonnée imposerait un facteur \(0\), incompatible avec la première. \(\overrightarrow{AJ}=(5-4;2-0;-3-(-1))=(1;2;-2)\) est bien le normal. Mais \(J\) donne \(5+2\times2-2\times(-3)-3=5+4+6-3=12\ne0\) : il n’est pas dans le plan. Enfin \(B=K\) appartient déjà au plan. Son projeté est donc \(B\). Le déplacement nul satisfait \(\overrightarrow{BB}=0\vec{n}\) ; aucune droite \((BB)\) n’est nécessaire.

Correction expliquée 9.24 — Le pied et un autre point du plan

Un normal est \((0;0;1)\). Le projeté garde l’abscisse et l’ordonnée de \(A\) et prend la cote \(3\) : \(H(1;2;3)\). Le déplacement \(\overrightarrow{AH}=(1-1;2-2;3-7)=(0;0;-4)\) est normal et \(H\) est dans le plan. \(AH=\sqrt{0^2+0^2+(-4)^2}=4\), donc \(d(A,\mathcal P)=4\). \(\overrightarrow{HM}=(4-1;6-2;3-3)=(3;4;0)\), donc \(HM=\sqrt{9+16}=5\). Pythagore donne \(AM^2=AH^2+HM^2=16+25=41\), d’où \(AM=\sqrt{41}>4\), car \(41>16\). Le point \(M\ne H\) laisse un déplacement non nul dans le plan : il ne réalise pas le minimum.

Correction expliquée 9.26 — Deux calculs concordants

Le numérateur est \(|2\times0+2\times0+0-6|=|-6|=6\) ; la norme du normal vaut \(\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt9=3>0\). La distance est \(6/3=2\). Pour le projeté, \(H(2t;2t;t)\) appartient au plan si \(2(2t)+2(2t)+t-6=0\), soit \(4t+4t+t-6=0\), donc \(9t-6=0\). Ajouter \(6\) aux deux membres donne \(9t-6+6=0+6\), donc \(9t=6\). Diviser les deux membres par \(9\ne0\) donne \(9t/9=6/9\), donc \(t=(2\times3)/(3\times3)=2/3\). Ainsi \(H(4/3;4/3;2/3)\). Contrôle du plan : \(2(4/3)+2(4/3)+2/3-6=8/3+8/3+2/3-18/3=0\) ; ici \(6=(6\times3)/(1\times3)=18/3\). \[OH^2=\frac{16}{9}+\frac{16}{9}+\frac49=\frac{36}{9}=4, \qquad OH=2.\] Enfin \(2\times3+0+0-6=0\), donc \(M\in\mathcal P\), mais \(OM=3>2\). La distance au plan est le minimum, pas la distance à n’importe lequel de ses points.

Correction expliquée 9.29 — Longueur du normal, pas carré de sa longueur

Le dénominateur doit être la norme du normal : \(\sqrt{4+4+1}=3\), pas \(4+4+1=9\). La distance vaut donc \(6/3=2\). Dans l’autre équation, le normal est \((-10;-10;-5)\), de norme \(\sqrt{100+100+25}=\sqrt{225}=15\). Le numérateur est \(|30|=30\) ; on obtient \(30/15=2\). Le facteur \(-5\) appliqué à toute l’équation a multiplié les deux quantités positives par \(5\), donc leur quotient reste le même.

Correction expliquée 9.32 — Correction de la reprise

1. Un normal est \((0;0;1)\) ; le pied garde \(x=-3,y=4\) et vérifie \(z=2\). Il est \(H(-3;4;2)\), et \(AH=\sqrt{0+0+2^2}=2\). 2. Le normal est \((3;-4;0)\). Sur la droite normale, l’équation donne \(3(3t)-4(-4t)+10=0\), soit \(3\times3t+(-4)\times(-4t)+10=0\), puis \(9t+16t+10=0\), donc \(25t+10=0\). Soustraire \(10\) aux deux membres donne \(25t+10-10=0-10\), donc \(25t=-10\). Diviser par \(25\ne0\) donne \(25t/25=-10/25\), donc \(t=(-2\times5)/(5\times5)=-2/5\). Le pied est \(H(-6/5;8/5;0)\). Contrôle : \(3(-6/5)-4(8/5)+10=-18/5-32/5+50/5=0\), avec \(10=(10\times5)/(1\times5)=50/5\). La norme donne \(OH=\sqrt{36/25+64/25}=\sqrt{100/25}=\sqrt4=2\). La formule donne aussi \(|10|/\sqrt{3^2+(-4)^2}=10/\sqrt{25}=10/5=2\).

Correction expliquée 10.1 — Appartenir à la droite ne suffit pas

Les deux points appartiennent à \(d\). Mais \(\overrightarrow{PH}=(2-2;0-3;0-4)=(0;-3;-4)\) donne \(\overrightarrow{PH}\cdot(1;0;0)=0\times1+(-3)\times0+(-4)\times0=0\) ; le déplacement est orthogonal à la droite. À l’inverse, \(\overrightarrow{PK}=(0-2;0-3;0-4)=(-2;-3;-4)\) a pour produit scalaire \((-2)\times1+(-3)\times0+(-4)\times0=-2+0+0=-2\) avec ce directeur : \(K\) ne convient pas. \(PH=\sqrt{0^2+(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{0+9+16}=5\). Le pied est \(H\). Si tu as seulement testé l’appartenance, le rappel « Les outils nécessaires » ci-dessous est le point de reprise ; si le produit scalaire pose difficulté, le même rappel donne sa formule et son sens.

Correction expliquée 10.11 — Le paramètre vaut \(2\)

\(\overrightarrow{PH}=(1+t-2;t-3;0-1)=(t-1;t-3;-1)\). Le produit scalaire vaut \[\begin{aligned} &(t-1)\times1+(t-3)\times1+(-1)\times0\\ &=t\times1+(-1)\times1+t\times1+(-3)\times1+(-1)\times0\\ &=t-1+t-3+0=2t-4. \end{aligned}\] L’équation \(2t-4=0\) donne \(2t-4+4=0+4\) en ajoutant \(4\) aux deux membres, donc \(2t=4\) ; la division \(\frac{2t}{2}=\frac42\), autorisée par \(2\ne0\), donne \(t=2\). Ainsi \(H=(3;2;0)\). Contrôles : les trois coordonnées proviennent du paramètre \(2\) ; \(\overrightarrow{PH}=(1;-1;-1)\) et \(1\times1+(-1)\times1+(-1)\times0=0\). C’est le projeté recherché.

Correction expliquée 10.13 — Un résultat exact avec tiers

\(\overrightarrow{AP}=(2-0;0-1;3-(-1))=(2;-1;4)\). Puis \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=1^2+(-2)^2+2^2=1+4+4=9>0\) et \[\overrightarrow{AP}\cdot\vec{u}=2\times1+(-1)\times(-2)+4\times2=2+2+8=12.\] Donc \(t_0=12/9=4/3\). Le point est \[H=\left(\frac43;1-2\times\frac43;-1+2\times\frac43\right) =\left(\frac43;\frac33-\frac83;-\frac33+\frac83\right) =\left(\frac43;-\frac53;\frac53\right).\] Les constantes \(1\) et \(-1\) ont été écrites \(3/3\) et \(-3/3\) en multipliant numérateur et dénominateur par \(3\). L’appartenance se vérifie avec \(\overrightarrow{AH}=(4/3;-8/3;8/3)=(4/3)\vec{u}\) : les produits sont \((4/3)\times1=4/3\), \((4/3)\times(-2)=-8/3\) et \((4/3)\times2=8/3\). De plus, \[\overrightarrow{PH}=\left(\frac43-\frac63;-\frac53-0;\frac53-\frac93\right)=\left(-\frac23;-\frac53;-\frac43\right),\] et \[\overrightarrow{PH}\cdot\vec{u}=\left(-\frac23\right)\times1+\left(-\frac53\right)\times(-2)+\left(-\frac43\right)\times2=-\frac23+\frac{10}{3}-\frac83=\frac{-2+10-8}{3}=0.\] On a contrôlé les deux conditions, pas seulement appliqué une formule.

Correction expliquée 10.20 — Le pied améliore le point d’appui

\(\overrightarrow{PH}=(3-2;2-3;0-1)=(1;-1;-1)\), donc \(PH^2=1^2+(-1)^2+(-1)^2=1+1+1=3\) et \(\operatorname{dist}(P,d)=\sqrt3\). Le déplacement \(\overrightarrow{PA}=(1-2;0-3;0-1)=(-1;-3;-1)\) donne \(PA^2=(-1)^2+(-3)^2+(-1)^2=1+9+1=11\), donc \(PA=\sqrt{11}>\sqrt3\). Le point d’appui appartient à la droite, mais n’est pas le pied ; le minimum est donc strictement plus petit. On vérifie aussi \(AH^2=2^2+2^2=8\) et \(PA^2=PH^2+AH^2=3+8=11\).

Correction expliquée 10.22 — La condition minimale décide le paramètre

\(\overrightarrow{AP}=(2-0;0-1;0-0)=(2;-1;0)\), \(\overrightarrow{AP}\cdot\vec{u}=2\times1+(-1)\times0+0\times(-1)=2\) et \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=1+0+1=2>0\). Donc \(t_0=2/2=1\) et \(H=(1;1;-1)\). \(\overrightarrow{PH}=(1-2;1-0;-1-0)=(-1;1;-1)\) donne un produit scalaire \((-1)\times1+1\times0+(-1)\times(-1)=-1+1=0\), et \(H=M(1)\) appartient à la droite. La distance est \(PH=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\). Enfin \(PA^2=(-2)^2+1^2+0^2=5\), donc \(PA=\sqrt5>\sqrt3\). Le point le plus proche est unique par le théorème du minimum, pas seulement parce qu’un logiciel a fourni une valeur.

Correction expliquée 10.26 — La restriction du paramètre change le minimum

Le projeté sur la droite est \((3;0;0)\), correspondant à \(t=3\) : il n’appartient pas au segment. Pour \(0\le t\le1\), \[PM(t)^2=(t-3)^2+(0-1)^2=(3-t)^2+1.\] Dans cet intervalle, \(3-t\ge2\) avec égalité seulement pour \(t=1\). La distance est donc minimale en \(B\), et vaut \(\sqrt{2^2+1}=\sqrt5\). La distance à la droite est \(1\), tandis que celle au segment est \(\sqrt5\). Cette variation facultative rappelle pourquoi il faut lire l’objet et l’ensemble des paramètres avant d’appliquer une méthode.

Correction expliquée 10.28 — Trois reprises corrigées

1. Le pied est \((3;0;0)\) : le paramètre est \(3\) et le déplacement \((0;2;-1)\) a un produit scalaire nul avec \((1;0;0)\), puisque \(0\times1+2\times0+(-1)\times0=0\). Reviens à la tentative avec une direction oblique et vérifie ses deux conditions.

2. \(\overrightarrow{AP}=(-3;2;0)\) ; le numérateur vaut \((-3)\times1+2\times0+0\times0=-3\) et le dénominateur vaut \(1^2+0^2+0^2=1>0\). Donc \(t=(-3)/1=-3\) ; le pied est \((-3;0;0)\). Son déplacement depuis \(P\) est \((0;-2;0)\) ; son produit scalaire avec le directeur vaut \(0\times1+(-2)\times0+0\times0=0\), ce qui prouve l’orthogonalité. Reviens à la démonstration et vérifie l’ordre des lettres \(AP\).

3. \(A=O\), donc \(PA=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\). Le pied est \((2;0;0)\) et la distance vaut \(3\). On a bien \(13=9+4\). Reviens à la tentative de distance et distingue point d’appui, pied et minimum.

Correction expliquée 10.30 — Calcul exact et conditions de réussite

\(\overrightarrow{AP}=(2-1;2-0;4-1)=(1;2;3)\). Le produit scalaire vaut \(1\times1+2\times2+3\times2=1+4+6=11\), et \(\left\lVert\vec{u}\right\rVert^2=1+4+4=9>0\). Donc \(t_0=11/9\) et \[H=\left(1+1\times\frac{11}9;0+2\times\frac{11}9;1+2\times\frac{11}9\right)=\left(1+\frac{11}9;\frac{22}9;1+\frac{22}9\right)=\left(\frac{20}9;\frac{22}9;\frac{31}9\right),\] où \(1=9/9\) par multiplication en haut et en bas par \(9\). Le déplacement est \[\overrightarrow{PH}=\left(\frac{20-18}{9};\frac{22-18}{9};\frac{31-36}{9}\right)=\left(\frac29;\frac49;-\frac59\right),\] avec \(2=18/9\), \(4=36/9\). Le produit scalaire donne \((2/9)\times1+(4/9)\times2+(-5/9)\times2=(2+8-10)/9=0\), et l’appartenance est assurée par \(t_0\). La distance vaut \[PH=\sqrt{\left(\frac29\right)^2+\left(\frac49\right)^2+\left(-\frac59\right)^2}=\sqrt{\frac4{81}+\frac{16}{81}+\frac{25}{81}}=\frac{\sqrt{45}}9=\frac{\sqrt5}{3}.\] Pour tout autre \(M\) de la droite, \(PM^2=PH^2+HM^2>PH^2\), car \(HM^2>0\). Le nouveau directeur \(2\vec{u}\) donne le paramètre \(s_0=t_0/2=(11/9)/2=(11/9)\times(1/2)=11/18\), car diviser par le nombre non nul \(2\) revient à multiplier par son inverse \(1/2\) ; le point reste le même. Critères : directeur non nul, deux conditions contrôlées, fractions exactes, distance positive et minimum justifié pour tout point. Si l’une de ces étapes manque, reprends l’exemple correspondant avant de retenter cette tâche après un délai.

Correction expliquée 11.8 — Correction et orientation

Le couple \((2;-1)\) donne \((2;-1;0)\). Aucun couple ne donne \((2;-1;4)\), car la troisième coordonnée vaut toujours \(0\). L’ensemble est le plan de condition \(z=0\) ; ses deux directions \((1;0;0)\) et \((0;1;0)\) ne sont pas colinéaires. Si l’on avait oublié la troisième ligne, on aurait admis à tort tous les points de l’espace. Pour la simultanéité des lignes, relire la

.

Correction expliquée 11.13 — Correction de l’essai guidé

La relation \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\) imposerait, par la première coordonnée, \(\lambda=0\), puis, par la deuxième, \(1=0\), contradiction. La représentation est donc celle d’un plan : \[x=-1+s,\qquad y=2+t,\qquad z=2s-t,\qquad s,t\in\mathbb{R}.\] Pour \(P\), \(1=-1+s\) donne \(1+1=-1+s+1\), donc \(2=s\). Puis \(3=2+t\) donne \(3-2=2+t-2\), donc \(1=t\). Ainsi \(s=2\) et \(t=1\). Le contrôle est \(2\times2-1=4-1=3\), donc \(P\) appartient au plan.

Pour un point quelconque, \(s=x+1\) et \(t=y-2\). Alors \[\begin{aligned} z&=2(x+1)-(y-2)\\ &=2\times x+2\times1+(-1)\times y+(-1)\times(-2)\\ &=2x+2-y+2=2x-y+4. \end{aligned}\] Une équation est donc \(-2x+y+z=4\). Réciproquement, cette équation donne \(z=2x-y+4\). Avec \(s=x+1\), \(t=y-2\), les deux premières coordonnées sont \(-1+(x+1)=x\) et \(2+(y-2)=y\). Pour la troisième, on refait les produits avec ces expressions : \[\begin{aligned} 2s-t&=2(x+1)-(y-2)\\ &=2\times x+2\times1+(-1)\times y+(-1)\times(-2)\\ &=2x+2-y+2=2x-y+4=z. \end{aligned}\] On a bien l’équivalence complète.

Correction expliquée 11.15 — Correction : deux représentations d’un même plan

On isole \(x\) en retranchant \(2y\) et ajoutant \(z\) aux deux membres : \[x+2y-z-2y+z=3-2y+z,\qquad x=3-2y+z.\] Ainsi \[x=3-2s+t,\qquad y=s,\qquad z=t.\] Le point d’appui est \((3;0;0)\) ; les directions sont \(\vec{u}=(-2;1;0)\) et \(\vec{v}=(1;0;1)\). Une relation \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\) donnerait \(1=\lambda\times0=0\) à la troisième coordonnée ; elles ne sont pas colinéaires.

Pour \(E\), les deux dernières coordonnées imposent \((s;t)=(2;2)\), et la première devient \(3-2\times2+2=3-4+2=1\) : \(E\) convient. Pour \(F\), le couple imposé est \((2;3)\), mais la première devient \(3-2\times2+3=3-4+3=2\ne1\) : \(F\) ne convient pas.

Avec le second choix, on tire de l’équation \(z=x+2y-3\), d’où \[x=s,\qquad y=t,\qquad z=s+2t-3.\] Pour n’importe quel couple, on contrôle les deux représentations : \[\begin{aligned} (3-2s+t)+2s-t&=3-2s+t+2s-t=3,\\ s+2t-(s+2t-3)&=s+2t+(-1)\times s\\ &\quad+(-1)\times(2t)+(-1)\times(-3)\\ &=s+2t-s-2t+3=3. \end{aligned}\] Réciproquement, tout point de l’équation est obtenu par le couple \((y;z)\) dans la première et par le couple \((x;y)\) dans la seconde. Les ensembles de points sont donc identiques, même si les couples associés à un point changent.

Correction expliquée 11.17 — Réponse possible et critères

Dans la première description, les deux directions sont toutes deux \((1;2;3)\) ; elles sont colinéaires. En posant \(q=s+t\), on obtient \((x;y;z)=(q;2q;3q)\), la droite passant par l’origine et dirigée par \((1;2;3)\). Tout réel \(q\) est effectivement obtenu, par exemple avec \((s;t)=(q;0)\).

Dans la seconde, les directions \((1;0;0)\) et \((0;1;0)\) seraient non colinéaires, mais les deux paramètres ne sont pas libres : \(t=s\). Les points deviennent \((s;s;0)\), donc une droite de directeur \((1;1;0)\).

Une justification complète distingue les deux obstacles : non-colinéarité des directions d’un côté, liberté du couple de l’autre. Compter les lettres sans vérifier ces conditions ne donne pas la dimension de l’ensemble.

Correction expliquée 11.19 — Une absence de coefficient n’impose pas une coordonnée nulle

L’équation ne contient pas \(y\) : elle ne lui impose aucune valeur. Fixer \(y=0\) ajoute une condition qui n’était pas demandée et ne conserve qu’une droite. La représentation complète est \[x=s,\qquad y=t,\qquad z=6-2s,\qquad s,t\in\mathbb{R}.\] Les directions \((1;0;-2)\) et \((0;1;0)\) ne sont pas colinéaires. Le point \((0;5;6)\) vérifie \(2\times0+6=6\) et appartient au plan, mais la proposition initiale ne peut pas l’obtenir puisque sa deuxième coordonnée y reste nulle.

Correction expliquée 11.21 — Correction et retour au point initial

Le point \((2;-1;1)\) impose \((s;t)=(2;-1)\). Sa troisième coordonnée est bien \(2+(-1)=1\) : il appartient au plan.

Revenons à \(Q(4;1;0)\) dans le modèle initial. Les première et troisième lignes imposent \(s=3\) et \(t=-2\). Le même couple donne dans la deuxième ligne \(-1+3+(-2)=0\), et non \(1\). Aucun autre couple n’est possible puisque ces deux valeurs étaient imposées ; \(Q\) n’appartient donc pas au plan.

Correction expliquée 11.23 — Correction de la reprise différée

On calcule \(\overrightarrow{AB}=(2-0;1-1;0-(-1))=(2;0;1)\) et \(\overrightarrow{AC}=(0-0;3-1;1-(-1))=(0;2;2)\). Si le second était \(\lambda\) fois le premier, la première coordonnée donnerait \(0=2\lambda\), donc \(\lambda=0\) après division par \(2\ne0\) ; la deuxième donnerait alors \(2=0\), contradiction.

La représentation est \(x=2s\), \(y=1+2t\), \(z=-1+s+2t\). Pour \(D\), \(2=2s\) donne, puisque \(2\ne0\), \(\dfrac22=\dfrac{2s}{2}\), puis \(1=\dfrac22s=s\), donc \(s=1\). La deuxième équation donne \(-1-1=1+2t-1\), soit \(-2=2t\). Comme \(2\ne0\), \(\dfrac{-2}{2}=\dfrac{2t}{2}\), donc \(-1=\dfrac22t=t\) et \(t=-1\). Le contrôle de la troisième ligne est \(-1+1+2\times(-1)=-2\) : \(D\) appartient au plan.

Pour un point quelconque, \(s=x/2\) et \(2t=y-1\). Ainsi \[z=-1+\frac{x}{2}+(y-1)=\frac{x}{2}+y-2.\] En multipliant les deux membres par \(2\), on écrit d’abord les trois produits : \[\begin{aligned} 2z&=2\left(\frac{x}{2}+y-2\right)\\ &=2\times\frac{x}{2}+2\times y+2\times(-2)\\ &=\frac{2}{2}x+2y-4=x+2y-4. \end{aligned}\] On obtient donc \(x+2y-2z=4\).

Réciproquement, pour un point de cette équation, prenons \(s=x/2\) et \(t=(y-1)/2\). Ces divisions sont autorisées car \(2\ne0\). Les deux premières coordonnées donnent \[2s=2\times\frac{x}{2}=\frac22x=x, \qquad 1+2t=1+2\times\frac{y-1}{2} =1+\frac22(y-1)=1+y-1=y.\] Pour la troisième, \[\begin{aligned} -1+s+2t&=-1+\frac{x}{2}+2\times\frac{y-1}{2}\\ &=-1+\frac{x}{2}+\frac22(y-1) =\frac{x}{2}+y-2. \end{aligned}\] La mise au même dénominateur multiplie le numérateur et le dénominateur par \(2\), puis distribue ce facteur au numérateur : \[\begin{aligned} y-2&=\frac{y-2}{1} =\frac{2(y-2)}{2\times1}\\ &=\frac{2\times y+2\times(-2)}{2} =\frac{2y-4}{2}. \end{aligned}\] Ainsi \[-1+s+2t=\frac{x}{2}+\frac{2y-4}{2} =\frac{x+2y-4}{2}=\frac{2z}{2}=z.\] Le sens inverse est donc établi.

Correction expliquée 11.29 — Correction et orientation

La coordonnée \(z\) n’est pas fixée. Les points \((1;2;0)\), \((1;2;1)\) et \((1;2;-3)\) conviennent. L’ensemble entier est décrit par \(x=1\), \(y=2\), \(z=t\), avec \(t\in\mathbb{R}\) : c’est une droite de directeur \((0;0;1)\). Si l’on n’a écrit qu’un point, relire le rôle d’une coordonnée libre dans le

; résoudre le système doit conserver toutes les solutions.

Correction expliquée 11.33 — Correction de l’essai guidé

La première équation donne \(x+z-z=3-z\), donc \(x=3-z\). La seconde donne \(y-z+z=-1+z\), donc \(y=z-1\). Ainsi \[x=3-t,\qquad y=t-1,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.\] Le contrôle est \((3-t)+t=3\) et \((t-1)-t=-1\). Réciproquement, tout point commun est obtenu en choisissant \(t=z\), car ses deux autres coordonnées sont alors imposées par les équations. L’intersection est la droite passant par \((3;-1;0)\) de directeur \((-1;1;1)\), non nul.

Correction expliquée 11.35 — Correction complète

En additionnant membre à membre, on obtient \(x+2y-z+2x-y+z=1+4\), soit \(3x+y=5\). Donc \(y=5-3x\). Avec \(x=t\), la première équation donne \(z=x+2y-1\), d’où \[\begin{aligned} z&=t+2(5-3t)-1\\ &=t+2\times5+2\times(-3t)-1\\ &=t+10-6t-1=9-5t. \end{aligned}\] La droite obtenue a pour représentation \[x=t,\qquad y=5-3t,\qquad z=9-5t,\qquad t\in\mathbb{R}.\] Elle passe par \((0;5;9)\) et son directeur est \((1;-3;-5)\), non nul. Pour tout \(t\), \[\begin{align*} x+2y-z&=t+2(5-3t)-(9-5t)\\ &=t+2\times5+2\times(-3t)\\ &\quad+(-1)\times9+(-1)\times(-5t)\\ &=t+10-6t-9+5t=1,\\ 2x-y+z&=2t-(5-3t)+(9-5t)\\ &=2t+(-1)\times5+(-1)\times(-3t)+9-5t\\ &=2t-5+3t+9-5t=4. \end{align*}\] Réciproquement, tout point initial satisfait l’équation obtenue par addition, donc \(y=5-3x\), puis la première équation impose \(z=9-5x\). Il se retrouve avec \(t=x\). Les solutions sont exactement celles de la droite affichée.

Correction expliquée 11.37 — Réponse possible et critères

Non : cela prouve seulement que la droite est contenue dans l’intersection. Les deux équations proposées décrivent le même plan, car la seconde est deux fois la première, constante comprise. La droite \((x;y;z)=(2+t;-t;0)\) est dans les deux plans : \(2+t-t+0=2\), et le second membre de gauche vaut alors \(4\). Pourtant le point \((0;0;2)\) est aussi commun aux deux plans et n’appartient pas à cette droite, dont la troisième coordonnée reste nulle.

Il faut donc aussi établir que tout point commun est obtenu dans la représentation proposée, ou utiliser une suite d’opérations explicitement réversibles menant à la description de toutes les solutions. Les critères d’une justification complète sont la distinction inclusion/égalité, un contre-exemple effectif, puis l’explication du sens réciproque.

Correction expliquée 11.39 — Trois ensembles différents

Pour \(\mathcal Q_1\), l’équation est exactement deux fois celle de \(\mathcal P\) : les deux plans sont confondus et l’intersection est le plan entier.

Pour \(\mathcal Q_2\), un point de \(\mathcal P\) vérifie nécessairement \(2x+4y-2z=2\). Il ne peut pas vérifier en même temps que cette expression vaut \(3\). Les plans sont disjoints ; l’intersection est vide.

Pour \(\mathcal Q_3\), on soustrait membre à membre, en distribuant le signe moins : \[\begin{aligned} (x+2y+z)-(x+2y-z)&=1-1,\\ x+2y+z+(-1)\times x+(-1)\times(2y)+(-1)\times(-z)&=0,\\ x+2y+z-x-2y+z&=0. \end{aligned}\] On obtient \(2z=0\). Puisque \(2\ne0\), \(\dfrac{2z}{2}=\dfrac02\), puis \(\dfrac22z=0\), donc \(z=0\). Il reste \(x+2y=1\). Avec \(y=t\), on obtient \(x=1-2t\), \(y=t\), \(z=0\). Pour tout \(t\), les deux équations valent \(1-2t+2t=1\). Tout point commun vérifie réciproquement \(z=0\) puis \(x=1-2y\) ; l’intersection est exactement cette droite.

Correction expliquée 11.42 — Correction du nouvel essai et retour

La deuxième équation donne \(x-y+y=1+y\), donc \(x=1+y\). On pose \(y=t\) et obtient \((x;y;z)=(1+t;t;2)\), pour tout réel \(t\). Le contrôle donne \(z=2\) et \((1+t)-t=1\). Réciproquement, toute solution est obtenue avec \(t=y\).

Retour au système initial : il fallait conserver \(y=t\), ce qui donne \((-1+2t;t;3-3t)\). Le point calculé par la copie correspond seulement à \(t=0\). Par exemple, \(t=1\) fournit l’autre point \((1;1;0)\), qui vérifie \(1+1+0=2\) et \(2\times1-1+0=1\).

Correction expliquée 11.44 — Correction : un exemple simple de trois plans

L’addition donne \(2x+y-z+x-y+z=0+3\), soit \(3x=3\). Puisque \(3\ne0\), \(\dfrac{3x}{3}=\dfrac33\), puis \(\dfrac33x=1\), donc \(x=1\). La première équation devient \(2+y-z=0\) : ajouter \(z\) aux deux membres donne \(2+y-z+z=0+z\), donc \(z=y+2\). Avec \(y=t\), les points communs sont \[(x;y;z)=(1;t;t+2),\qquad t\in\mathbb{R}.\] Ils vérifient les deux équations : \[\begin{aligned} 2+t-(t+2)&=2+t+(-1)\times t+(-1)\times2\\ &=2+t-t-2=0,\\ 1-t+(t+2)&=1-t+t+2=3. \end{aligned}\] Tout point initial possède réciproquement \(x=1\), puis \(z=y+2\) ; il est obtenu avec \(t=y\).

Dans le troisième plan, on doit avoir \(1+t+(t+2)=4\), soit \(2t+3=4\). Soustrayons \(3\) aux deux membres : \((2t+3)-3=4-3\), donc \(2t=1\). Puisque \(2\ne0\), \(\dfrac{2t}{2}=\dfrac12\), puis \(\dfrac22t=\dfrac12\), donc \(t=1/2\). La troisième coordonnée vaut \(1/2+2\). Pour additionner, on écrit \(2=2/1=(2\times2)/(1\times2)=4/2\), d’où \(z=1/2+4/2=5/2\).

Le seul point commun aux trois plans est donc \(H(1;1/2;5/2)\). Contrôlons : \[\begin{align*} 2x+y-z&=2+\tfrac12-\tfrac52 =\tfrac42+\tfrac12-\tfrac52=0,\\ x-y+z&=1-\tfrac12+\tfrac52 =\tfrac22-\tfrac12+\tfrac52=\tfrac62=3,\\ x+y+z&=1+\tfrac12+\tfrac52 =\tfrac22+\tfrac12+\tfrac52=\tfrac82=4. \end{align*}\] Chaque passage à \(1=2/2\) multiplie aussi le numérateur et le dénominateur de \(1/1\) par \(2\). Les trois conditions initiales sont vérifiées.

Correction expliquée 12.3 — Correction et orientation

1. \(\Omega A^2=(3-1)^2+0^2+0^2=4\), donc \(\Omega A=\sqrt4=2\). 2. \(t^2=9\) donne \(t=3\) ou \(t=-3\) : les deux carrés valent \(9\). Un carré ne pouvant être négatif, \(t^2=-1\) n’a aucune solution réelle. 3. Le pied est \(H(0;0;3)\) et \(OH=3\). Pour tout \(M(x;y;3)\), \(OM^2=x^2+y^2+9\ge9\), avec égalité seulement pour \(x=y=0\). Si le premier point bloque, reprendre la formule de distance ; si le deuxième bloque, reprendre le signe des carrés et le rappel sur les trinômes ci-dessous ; si le troisième bloque, la partie « sphère et plan » redonne la preuve du minimum nécessaire.

Correction expliquée 12.10 — Les écarts au centre restent visibles

L’équation est \((x+1)^2+y^2+(z-2)^2=9\). \[(x+1)^2=x\times x+x\times1+1\times x+1\times1=x^2+x+x+1,\] \[(z-2)^2=z\times z+z\times(-2)+(-2)\times z+(-2)\times(-2)=z^2-2z-2z+4.\] On obtient \(x^2+2x+1+y^2+z^2-4z+4=9\). Soustraire \(9\) aux deux membres donne \(x^2+y^2+z^2+2x-4z+(1+4-9)=0\), soit \(x^2+y^2+z^2+2x-4z-4=0\). En \(A\), les écarts sont \(2-(-1)=3\), \(0-0=0\), \(2-2=0\) ; leur somme de carrés vaut \(9\). Le point appartient à la sphère.

Correction expliquée 12.12 — Retrouver un rayon positif

On distribue chaque carré avant de réduire : \[\begin{align*} (x-1)^2&=x\times x+x\times(-1)+(-1)\times x+(-1)\times(-1)=x^2-x-x+1,\\ (y-2)^2&=y\times y+y\times(-2)+(-2)\times y+(-2)\times(-2)=y^2-2y-2y+4,\\ (z+3)^2&=z\times z+z\times3+3\times z+3\times3=z^2+3z+3z+9. \end{align*}\] En regroupant les deux termes croisés de chaque ligne, on obtient respectivement \(x^2-2x+1\), \(y^2-4y+4\) et \(z^2+6z+9\). On remplace donc les trois groupes par \[(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+(z+3)^2-9+10=0.\] Les constantes donnent \(-1-4-9+10=-4\). Ajouter \(4\) aux deux membres donne \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=4\). C’est la sphère de centre \((1;2;-3)\) et de rayon \(2\). En \(M\), la somme vaut \((1-1)^2+(2-2)^2+(-1+3)^2=0+0+4=4\), donc \(M\) appartient à la sphère.

Correction expliquée 12.15 — Sphère, singleton, ensemble vide

Pour \(9>0\), c’est la sphère de centre \((2;-1;0)\) et de rayon \(\sqrt9=3\). Pour \(0\), chaque carré s’annule : \(x-2=0\), \(y+1=0\), \(z=0\), donc le seul point est \((2;-1;0)\). Pour \(-4<0\), aucune somme de carrés réels ne convient : ensemble vide. On ne peut pas annoncer un « rayon \(\sqrt{-4}\) » dans la géométrie réelle de cette unité.