Exercice écrit
Exercice 19 – Reconstruire la preuve de l'irrationalité de $\sqrt2$
Exercice
On suppose, pour obtenir une contradiction, que \(\sqrt2=\dfrac ab\) avec \(a\in\mathbb Z\), \(b\in\mathbb N^*\) et \(\dfrac ab\) irréductible.
a) Montrer que \(a^2=2b^2\).
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Se connecterb) En déduire que \(a\) est pair en utilisant la propriété \(a^2\) pair \(\Rightarrow a\) pair.
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Se connecterc) Écrire \(a=2k\) et montrer que \(b^2\) est pair, puis que \(b\) est pair.
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Se connecterd) Quelle contradiction obtient-on avec l'hypothèse « \(a/b\) irréductible » ?
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On suppose, pour obtenir une contradiction, que \(\sqrt2=\dfrac ab\) avec \(a\in\mathbb Z\), \(b\in\mathbb N^*\) et \(\dfrac ab\) irréductible.
a) Montrer que \(a^2=2b^2\).
b) En déduire que \(a\) est pair en utilisant la propriété \(a^2\) pair \(\Rightarrow a\) pair.
c) Écrire \(a=2k\) et montrer que \(b^2\) est pair, puis que \(b\) est pair.
d) Quelle contradiction obtient-on avec l'hypothèse « \(a/b\) irréductible » ?
e) Conclure sur \(\sqrt2\).
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