Exemple 1.2 — Commencer par les entrées autorisées

Pour \(p(x)=\sqrt{x-2}\), la condition \(x-2\ge0\) donne \(D_p=[2;+\infty[\). On peut approcher \(2\) par la droite et partir vers \(+\infty\). On ne peut approcher \(2\) par la gauche ni partir vers \(-\infty\) dans ce domaine.

Exemple 1.4 — Transformer une précision en inégalité

Pour \(x>0\), soit \(f(x)=2+3/x\). Cherchons quand l’écart à \(2\) est strictement inférieur à \(0{,}02\). Comme \(x>0\), \[|f(x)-2|=\frac3x, \qquad \frac3x<0{,}02 \iff 3<0{,}02x \iff x>150.\] Le seuil \(150\) convient : toutes les entrées \(x>150\) satisfont la précision. À \(x=150\), l’écart vaut exactement \(0{,}02\).

Pour une précision quelconque \(\varepsilon>0\), le même calcul donne \(x>3/\varepsilon\). On peut répondre à toute précision : cela démontre \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=2\).

Exemple 1.7 — Une direction pour \(x\), une autre pour les images

Pour \(p(x)=7-3x\), on obtient, quel que soit le réel \(A\), \[p(x)<A\iff x>\frac{7-A}{3}, \qquad p(x)>A\iff x<\frac{7-A}{3}.\] La division par \(-3\) renverse le sens de l’inégalité. Les deux garanties prouvent respectivement \[\lim_{x\to+\infty}(7-3x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}(7-3x)=+\infty.\]

Exemple 2.2 — Une limite malgré un point interdit

Pour \(x\ne3\), \[f(x)=\frac{x^2-9}{x-3} =\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.\] On a donc \(|f(x)-6|=|x-3|\) : toute précision sur les images est garantie par la même proximité des entrées. Ainsi \(\lim_{x\to3}f(x)=6\), bien que \(f(3)\) ne soit pas définie.

Si l’on ajoute la valeur \(f(3)=100\), les images voisines restent identiques : la limite épointée reste \(6\).

Exemple 2.7 — Inverse et inverse du carré près de zéro

Pour tout niveau \(A>0\), la condition \(0<x<1/A\) assure \(1/x>A\). À gauche, on pose \(t=-x>0\) : si \(0<t<1/A\), alors \(1/x=-1/t<-A\). Ainsi \[\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty.\] Les deux limites diffèrent : \(1/x\) n’a pas de limite commune en \(0\).

En revanche, \(0<|x|<1/\sqrt A\) assure \(1/x^2>A\), quel que soit le côté. Donc \[\lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty.\]

Exemple 2.9 — Une seule approche autorisée suffit

Pour \(g(x)=1/\sqrt{4-x}\), la racine est au dénominateur : il faut \(4-x>0\), donc \(D_g=]-\infty;4[\).

Pour tout \(A>0\), demander \(0<4-x<1/A^2\) assure \(0<\sqrt{4-x}<1/A\), puis \(g(x)>A\). Donc \(\lim_{x\to4^-}g(x)=+\infty\) et \(x=4\) est une asymptote verticale. L’approche par la droite n’est pas possible.

Exemple 3.3 — Une conclusion locale, avec sa condition

Si \(f(x)\to-3\) en \(2^+\), la précision \(1\) garantit \(-4<f(x)<-2\) pour toutes les entrées assez proches de \(2\) par la droite. La fonction est donc négative et non nulle dans cette zone.

Si la limite est \(0\), aucune conclusion de signe ne suit : \(1/x\), \(-1/x\) et la fonction nulle tendent tous vers \(0\) en \(+\infty\).

Exemple 3.5 — Conserver la parité et le signe de l’expression

Quand \(x\to-\infty\), \(x^7\to-\infty\) alors que \(x^8\to+\infty\).

Quand \(x\to0^-\), \(x^3\) est négatif et tend vers \(0\) ; ainsi \(-3/x^3\to+\infty\).

Quand \(x\to-\infty\), \(1/x^3\to0\) par valeurs négatives. La limite est bien le nombre \(0\), pas un autre nombre appelé « zéro négatif ».

Exemple 3.8 — Identifier la référence et son domaine

En \(a=-2\), on a \(x^4\to16\), puis \(1/x^4\to1/16\), car \(a\ne0\).

En \(a=9\), on a \(\sqrt x\to3\). La preuve précédente précise même que \(|x-9|<0{,}03\) assure \(|\sqrt x-3|<0{,}01\) pour les entrées \(x\ge0\).

Exemple 4.3 — Identifier les blocs complets

En \(+\infty\), \(1/x\to0\), donc \(5+1/x\to5\) par somme.

Pour \((2+1/x)(3-x)\), le premier facteur tend vers \(2>0\) et le second vers \(-\infty\). Par produit, \[\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac1x\right)(3-x)=-\infty.\] Le signe s’obtient avec les deux facteurs complets, et non avec le seul signe de \(x\).

Exemple 4.6 — Un quotient fini sur infini, puis deux côtés

En \(+\infty\), \(3+1/x\to3\) et \(x^2+1\to+\infty\), avec \(x^2+1>0\). Donc \[\lim_{x\to+\infty}\frac{3+1/x}{x^2+1}=0.\] Pour \(F(x)=(x+1)/(x-2)\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), le numérateur tend vers \(3>0\) en \(2\). Le dénominateur tend vers \(0^-\) à gauche et vers \(0^+\) à droite. Ainsi, \[\lim_{x\to2^-}F(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}F(x)=+\infty.\] En revanche, \((x+1)/(x-2)^2\to+\infty\) des deux côtés : le carré est positif dès que \(x\ne2\).

Exemple 5.3 — Le signe et la parité

Pour \(P(x)=-3x^4+2x-7\), la somme directe en \(+\infty\) est indéterminée. Pour \(x\ne0\), \[P(x)=x^4\left(-3+\frac2{x^3}-\frac7{x^4}\right).\] La parenthèse tend vers \(-3\) et \(x^4\to+\infty\) aux deux extrémités. Ainsi \(P\to-\infty\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Pour \(S(x)=2x^3-5x+1=x^3(2-5/x^2+1/x^3)\), la parenthèse tend vers \(2>0\). La limite est donc \(+\infty\) à droite et \(-\infty\) à gauche.

Exemple 5.6 — Les trois situations, avec leurs transformations

Même degré. Le dénominateur \(x^4+7\) est positif sur \(\mathbb{R}\). Pour \(x\ne0\), \[\frac{3x^4-x+2}{x^4+7} =\frac{3-1/x^3+2/x^4}{1+7/x^4}\longrightarrow3\] dans les deux infinis, car le dénominateur transformé tend vers \(1\).

Degré inférieur au numérateur. Le dénominateur \(2x^2+3\) est positif. Pour \(x\ne0\), \[\frac{4x+1}{2x^2+3} =\frac{4/x+1/x^2}{2+3/x^2}\longrightarrow0\] dans les deux infinis, car le dénominateur transformé tend vers \(2\).

Degré supérieur au numérateur. On a \(x^2-x+2=(x-1/2)^2+7/4>0\). Pour \(x\ne0\), \[\frac{2x^3+x}{x^2-x+2} =x\frac{2+1/x^2}{1-1/x+2/x^2}.\] Le quotient de droite tend vers \(2>0\). Le facteur \(x\) reste présent : la limite vaut \(+\infty\) à droite et \(-\infty\) à gauche, pas \(2\).

Exemple 5.9 — Un facteur commun à deux polynômes

Pour \(G(x)=(x^2-5x+6)/(x^2-4)\), le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). En \(2\), le calcul direct donne une forme \(0/0\). Pour \(x\) dans ce domaine, \[G(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} =\frac{x-3}{x+2}.\] Le numérateur transformé tend vers \(-1\), le dénominateur vers \(4\ne0\). Par égalité locale puis quotient, \[\lim_{x\to2}G(x)=-\frac14.\] La factorisation du numérateur se vérifie par développement : \((x-2)(x-3)=x^2-5x+6\).

Exemple 5.10 — Une simplification peut laisser deux limites différentes

Pour \(x\ne1\), \[\frac{x^2-1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} =\frac{x+1}{x-1}.\] En \(1\), le numérateur restant tend vers \(2>0\). Le dénominateur tend vers \(0^-\) à gauche et \(0^+\) à droite : les limites sont respectivement \(-\infty\) et \(+\infty\). La FI initiale est levée, mais il n’existe pas de limite bilatérale.

Exemple 5.11 — Mettre des fractions au même dénominateur

On cherche en \(1\) la limite de \[K(x)=\frac{\dfrac1{x+1}-\dfrac12}{x-1}, \qquad x\notin\{-1;1\}.\] Le calcul direct donne \(0/0\). On transforme d’abord le numérateur : \[\frac1{x+1}-\frac12 =\frac{2-(x+1)}{2(x+1)} =-\frac{x-1}{2(x+1)}.\] Pour \(x\notin\{-1;1\}\), on obtient \(K(x)=-1/[2(x+1)]\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to1}K(x)=-1/4\).

Le signe moins porte sur toute la parenthèse \((x+1)\) avant simplification.

Exemple 5.15 — Une racine moins une constante en un point

Pour \(F(x)=(\sqrt{x+5}-3)/(x-4)\), le domaine est \([-5;+\infty[\setminus\{4\}\). En \(4\), le calcul direct donne \(0/0\). La conjuguée \(\sqrt{x+5}+3\) est au moins égale à \(3\), donc non nulle. Sur le domaine initial, \[\begin{align*} F(x)&=\frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\\ &=\frac{x+5-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} =\frac1{\sqrt{x+5}+3}. \end{align*}\] Le dernier dénominateur tend vers \(6\ne0\) ; ainsi \(\displaystyle\lim_{x\to4}F(x)=1/6\).

Exemple 5.16 — Deux racines qui deviennent grandes, un écart qui s’annule

Sur \([0;+\infty[\), les deux racines de \(H(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt x\) tendent vers \(+\infty\). La somme des racines est positive et \[H(x)=\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt x} =\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}.\] Le dénominateur tend vers \(+\infty\). Par quotient, \(H(x)\to0\) en \(+\infty\).

Exemple 5.18 — La même racine aux deux infinis

Pour \(J(x)=\sqrt{4x^2+1}/x\), le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Extraire \(x^2\) de la racine fait apparaître \(|x|\), et non nécessairement \(x\) : \[J(x)=\frac{\sqrt{x^2(4+1/x^2)}}x =\frac{|x|}{x}\sqrt{4+\frac1{x^2}}.\] La racine restante tend vers \(2\). À droite, \(|x|/x=1\) ; à gauche, \(|x|/x=-1\). Ainsi \[\lim_{x\to+\infty}J(x)=2, \qquad \lim_{x\to-\infty}J(x)=-2.\]

Exemple 6.4 — Choisir la bonne borne

On rappelle que \(-1\le\sin x\le1\) pour tout réel \(x\). Donc \[x-1\le x+\sin x\le x+1.\] En \(+\infty\), la borne inférieure \(x-1\) tend vers \(+\infty\) : la comparaison donne \(x+\sin x\to+\infty\).

En \(-\infty\), la borne supérieure \(x+1\) tend vers \(-\infty\) : la comparaison donne \(x+\sin x\to-\infty\).

Exemple 6.7 — Un quotient oscillant aux deux infinis

Pour \(x\ne0\), on sait que \(|\sin x|\le1\), donc \[\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1{|x|}.\] Aux deux infinis, \(|x|\to+\infty\) et \(1/|x|\to0\). Par le corollaire, \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x}=0.\] La valeur absolue évite de diviser une inégalité par un nombre de signe inconnu. On n’a pas attribué une limite à \(\sin x\).

Exemple 6.8 — La même idée au voisinage d’un point

Pour \(H(x)=x\sin(1/x)\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \[|H(x)|=|x|\,|\sin(1/x)|\le |x|.\] Lorsque \(x\to0\), la borne \(|x|\) tend vers \(0\). Donc \(H(x)\to0\) des deux côtés. Il n’est pas nécessaire de connaître une limite de \(\sin(1/x)\).

Exemple 6.9 — Une limite sans formule explicite

Si, pour tout \(x\ge1\), on sait que \[3-\frac4{x^2}\le P(x)\le3+\frac2x,\] les deux bornes tendent vers \(3\) en \(+\infty\). Le théorème d’encadrement donne \(P(x)\to3\), sans qu’il soit nécessaire de connaître une formule de \(P\).

Exemple 7.5 — Traduire le théorème dans le bon quotient

Lorsque \(x\to+\infty\), \[\frac{x^7}{\mathrm{e}^x}\longrightarrow0, \qquad \frac{\mathrm{e}^x}{x^7}\longrightarrow+\infty.\] Ces deux quotients présentaient initialement la forme \(+\infty/+\infty\). Le théorème permet de lever l’indétermination ; il faut conserver l’ordre du numérateur et du dénominateur.

Exemple 7.7 — Conserver les coefficients d’un changement de variable

En \(+\infty\), avec \(t=3x\), donc \(x=t/3\), \[\frac{x^2}{\mathrm{e}^{3x}}=\frac19\frac{t^2}{\mathrm{e}^t}\longrightarrow0.\] En \(-\infty\), avec \(t=-2x\), donc \(x=-t/2\), \[x^3\mathrm{e}^{2x}=-\frac18\frac{t^3}{\mathrm{e}^t}\longrightarrow0.\] Dans ce dernier cas, les valeurs sont négatives pour \(x<0\). Le signe des valeurs et la valeur de la limite sont deux informations différentes.

Exemple 7.9 — Une somme finie de quotients

Lorsque \(x\to+\infty\), \[(3x^4-2x+7)\mathrm{e}^{-2x} =3\frac{x^4}{\mathrm{e}^{2x}}-2\frac{x}{\mathrm{e}^{2x}}+7\frac1{\mathrm{e}^{2x}}.\] Les trois quotients tendent vers \(0\) par le corollaire, avec \(a=2\) et respectivement \(n=4\), \(n=1\) et \(n=0\). La limite de l’expression est donc \(0\).

Exemple 7.10 — Une différence d’infinis

En \(+\infty\), l’expression \(\mathrm{e}^x-5x^3\) donne d’abord \(+\infty-(+\infty)\). Comme \(\mathrm{e}^x\) est non nul, \[\mathrm{e}^x-5x^3=\mathrm{e}^x\left(1-5\frac{x^3}{\mathrm{e}^x}\right).\] La parenthèse tend vers \(1>0\), tandis que \(\mathrm{e}^x\to+\infty\). Par produit, la limite cherchée est \(+\infty\).

Exemple 7.11 — Une division commune

Pour \(x>0\), le dénominateur \(\mathrm{e}^x+x\) est positif. On écrit \[\frac{\mathrm{e}^x-x^2}{\mathrm{e}^x+x} =\frac{1-x^2/\mathrm{e}^x}{1+x/\mathrm{e}^x}.\] En \(+\infty\), numérateur et dénominateur tendent vers \(1\). La limite est donc \(1\) par quotient, puisque la limite du dénominateur n’est pas nulle.

Exemple 8.4 — Une racine après un quotient

Pour \(F(x)=\sqrt{3+1/x}\), il faut \(x\ne0\) et \((3x+1)/x\ge0\). Le domaine est \[D_F=]-\infty;-1/3]\cup]0;+\infty[.\] En particulier, les grandes valeurs positives sont autorisées. Quand \(x\to+\infty\), \[t=3+\frac1x\longrightarrow3.\] Les valeurs \(t\) sont positives et \(\sqrt t\to\sqrt3\) lorsque \(t\to3\). Par composition, \(F(x)\to\sqrt3\).

L’entrée \(x\) part à l’infini, mais l’entrée de la racine se rapproche de \(3\).

Exemple 8.5 — Un changement de côté dans l’exposant

Soit \(H(x)=\mathrm{e}^{-1/x}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Les limites de l’exponentielle ont été établies dans la section 

.

• Si \(x\to0^+\), alors \(-1/x\to-\infty\), donc \(\mathrm{e}^{-1/x}\to0\).

• Si \(x\to0^-\), alors \(-1/x\to+\infty\), donc \(\mathrm{e}^{-1/x}\to+\infty\).

Il n’y a pas de limite bilatérale en \(0\). Le signe moins agit sur l’exposant ; l’exponentielle reste toujours positive.

Exemple 8.8 — Conserver le facteur d’échelle

La fonction exponentielle est dérivable et sa dérivée est elle-même : c’est un résultat de première rappelé ici. Comme \(\mathrm{e}^0=1\), \[\lim_{t\to0}\frac{\mathrm{e}^t-1}{t}=1.\] Pour étudier \((\mathrm{e}^{3x}-1)/x\) en \(0\), le calcul direct donne \(0/0\). Pour \(x\ne0\), on écrit \[\frac{\mathrm{e}^{3x}-1}{x}=3\frac{\mathrm{e}^{3x}-1}{3x}.\] Avec \(t=3x\), on a \(t\to0\) et \(t\ne0\). Le quotient de droite tend vers \(1\), donc la limite cherchée vaut \(3\). La présence de \(3x\) dans l’exposant interdit de recopier directement la limite \(1\).

Exemple 9.3 — Une asymptote peut être traversée

Pour \(x\ne0\), soit \(g(x)=1+(x-2)/x^2\). On écrit \[g(x)-1=\frac1x-\frac2{x^2}\longrightarrow0 \quad\text{en }-\infty\text{ et en }+\infty.\] La droite \(y=1\) est asymptote aux deux infinis. Pourtant \(g(2)=1\). Comme \(x^2>0\), le signe de \(g(x)-1\) est celui de \(x-2\) : la courbe traverse bien la droite en \((2;1)\).

Exemple 9.5 — Étude de référence : une fonction, quatre limites

On étudie \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\).

Domaine et écriture utile. Le dénominateur s’annule en \(1\), donc \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Pour \(x\ne1\), \[2x+1=2(x-1)+3 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=2+\frac3{x-1}.\] Aux infinis. L’inverse de \(x-1\) tend vers \(0\) dans les deux directions. Ainsi \[\lim_{x\to-\infty}f(x)=2, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=2.\] Près de \(1\). À gauche, \(x-1\to0^-\) ; à droite, \(x-1\to0^+\). Le numérateur du terme \(3/(x-1)\) est positif. Par conséquent, \[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\] Les deux limites latérales sont différentes : il n’y a pas de limite bilatérale en \(1\).

Asymptotes. La droite \(x=1\) est une asymptote verticale ; la droite \(y=2\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

Position. L’écart \(f(x)-2=3/(x-1)\) est négatif pour \(x<1\) et positif pour \(x>1\). Il n’est jamais nul : la courbe ne coupe pas \(y=2\).

Contrôle de deux points. \(f(0)=-1\) et \(f(2)=5\).

Exemple 9.6 — Les limites donnent les extrémités, la dérivée donne les flèches

Pour \(x\ne1\), les règles de dérivation connues donnent \[f'(x)=-\frac3{(x-1)^2}<0.\] La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des intervalles \(]-\infty;1[\) et \(]1;+\infty[\). On place ensuite les quatre limites aux extrémités des flèches du tableau.

Exemple 9.8 — Un remplissage qui se rapproche d’une capacité

Le volume d’eau d’un réservoir, en litres, est modélisé par \[V(t)=40(1-\mathrm{e}^{-t/2}),\qquad t\geq0,\] où \(t\) est le nombre d’heures écoulées. La formule est définie pour tout réel, mais le modèle ne considère que \(t\geq0\).

Lorsque \(t\to+\infty\), \(-t/2\to-\infty\), donc \(\mathrm{e}^{-t/2}\to0\) et \[\lim_{t\to+\infty}V(t)=40.\] Le modèle prévoit un volume aussi proche que souhaité de \(40\) litres à long terme. Pourtant, pour tout temps fini, \[40-V(t)=40\mathrm{e}^{-t/2}>0.\] La capacité n’est jamais exactement atteinte dans ce modèle. Pour toute précision positive, l’écart devient inférieur à cette précision et le reste à partir d’un certain temps.

Pour justifier l’allure croissante du dessin, si \(0\leq t_1<t_2\), alors \(-t_1/2>-t_2/2\), donc \(\mathrm{e}^{-t_1/2}>\mathrm{e}^{-t_2/2}\), puis \(V(t_1)<V(t_2)\). La croissance est établie séparément de la limite.

Exemple 10.2 — Une même écriture, plusieurs conclusions

Pour \(x>0\), \(f(x)=3-2/x\) vérifie \(f(x)-3=-2/x\). Cet écart tend vers \(0\) : \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=3\), donc \(y=3\) est une asymptote horizontale à droite. L’écart est négatif : la courbe reste sous la droite. Il est non nul : la valeur \(3\) n’est pas atteinte. Enfin, \(|f(x)-3|=2/x\) permet de garantir une précision en choisissant un seuil.