Exemple 1.1 — Une définition n’est pas une recette de calcul

Dire « \(y=\ell\) est une asymptote horizontale en \(+\infty\) lorsque \(f(x)-\ell\) tend vers \(0\) » fixe un vocabulaire géométrique. Montrer ensuite que \(f(x)=\ell+1/x\) possède cette asymptote est une application, car il faut vérifier que \(1/x\) tend vers \(0\).

Une démonstration de l’unicité d’une limite est, quant à elle, un raisonnement général : elle doit s’appliquer à toutes les fonctions répondant aux hypothèses, pas seulement à la courbe dessinée à côté.

Exemple 1.2 — Repartir d’une transformation contrôlable

Pour simplifier \(\dfrac{2x+6}{x+3}\), on factorise d’abord le numérateur : \(2x+6=2(x+3)\). Alors, pour \(x\ne-3\), \[\frac{2x+6}{x+3}=\frac{2(x+3)}{x+3}=2.\] Le facteur commun est maintenant visible. Le contrôle en \(x=0\) donne \(6/3=2\) ; ce contrôle aide à détecter une erreur, mais la justification générale reste la factorisation.

Exemple 2.1 — Une grande entrée peut produire une petite image

Pour \(g(x)=1/x\), l’entrée \(x=1\,000\) produit l’image \(g(x)=0{,}001\). Quand l’entrée augmente, les images positives se rapprochent de \(0\).

Pour \(h(x)=x^2\), les entrées \(-10\), \(-100\), \(-1\,000\) donnent respectivement les images \(100\), \(10\,000\), \(1\,000\,000\). Ainsi, une entrée qui part vers \(-\infty\) peut produire des images qui partent vers \(+\infty\). Le signe placé sous le symbole de limite décrit \(x\), pas automatiquement \(f(x)\).

Exemple 2.2 — La racine carrée décide du côté

La fonction \(p(x)=\sqrt{x-2}\) est définie lorsque \(x-2\ge0\), c’est-à-dire lorsque \(x\ge2\). Ainsi \(D_p=[2;+\infty[\).

On peut approcher \(2\) par la droite : \(2{,}1\), \(2{,}01\), \(2{,}001\) sont des entrées autorisées. On ne peut pas l’approcher par la gauche dans ce domaine. On peut aussi étudier \(p\) en \(+\infty\), mais pas en \(-\infty\).

Dire « la limite en \(-\infty\) n’existe pas à cause d’oscillations » serait ici hors sujet : l’approche elle-même n’est pas disponible. Il faut écrire que \(-\infty\) n’est pas une extrémité du domaine permettant cette étude.

Exemple 2.3 — Plusieurs contraintes doivent être satisfaites ensemble

Pour \(q(x)=\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{x-1}\), la racine impose \(9-x^2\ge0\) et le dénominateur impose \(x\ne1\).

La première condition équivaut à \(x^2\le9\), donc à \(-3\le x\le3\). Après retrait de \(1\), on obtient \[D_q=[-3;1[\ \cup\ ]1;3].\] Les approches possibles aux points particuliers sont \(x\to-3^+\), \(x\to1^-\), \(x\to1^+\) et \(x\to3^-\). Les approches vers les deux infinis ne sont pas possibles, puisque toutes les entrées sont comprises entre \(-3\) et \(3\).

Le fait que \(1\) soit interdit n’empêche pas de s’en approcher. À l’inverse, le fait que \(3\) soit autorisé n’autorise pas une approche de \(3\) par la droite.

Exemple 2.4 — Traduire une information donnée

L’énoncé \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=3\) signifie que les images deviennent aussi proches de \(3\) que souhaité lorsque les entrées sont suffisamment négatives. Il ne dit pas que \(f(-3)=3\), que \(f\) est croissante, ni que toutes les images sont supérieures à \(3\).

L’énoncé \(\displaystyle\lim_{t\to2^+}g(t)=-\infty\) décrit des entrées supérieures à \(2\) qui s’en rapprochent et des images qui deviennent aussi négatives que souhaité. La lettre \(t\) joue ici le même rôle que \(x\) dans une autre écriture ; en revanche, on ne change pas le point d’approche ou le côté.

Exemple 3.1 — Une précision numérique pour \(2+3/x\)

Pour \(x>0\), on cherche à rendre \(f(x)=2+3/x\) proche de \(2\) à moins de \(0{,}02\).

Pourquoi regarder la différence ? La précision concerne l’écart à \(2\), et non la taille de \(f(x)\) elle-même. On calcule \[|f(x)-2|=\left|\frac3x\right|=\frac3x,\] la dernière égalité utilisant \(x>0\). Alors \[\begin{align*} |f(x)-2|<0{,}02 &\iff \frac3x<0{,}02\\ &\iff 3<0{,}02x \qquad (x>0)\\ &\iff x>\frac3{0{,}02}=150. \end{align*}\] Ainsi toutes les entrées \(x>150\) satisfont la demande. Le seuil \(150\) suffit. Un seuil \(200\) convient aussi : le but n’est pas toujours de trouver le seuil le plus petit.

Au bord, \(x=150\) donne un écart exactement égal à \(0{,}02\), pas strictement inférieur. Les signes \(<\) et \(\le\) ne doivent pas être échangés sans vérifier la consigne.

Exemple 3.2 — Le même travail vers les entrées négatives

Pour \(x<0\), on pose \(g(x)=-2+6/x\). On veut une distance à \(-2\) inférieure à \(0{,}01\).

Comme \(6/x<0\), sa valeur absolue est \(-6/x=6/|x|\). On obtient \[|g(x)-(-2)|=\frac6{|x|}<0{,}01 \iff |x|>600.\] Dans la direction \(x<0\), la condition \(|x|>600\) s’écrit \(x<-600\). Toutes ces entrées donnent donc des images dans \(]-2{,}01;-1{,}99[\).

De plus, \(g(x)-(-2)=6/x<0\) : les images sont en dessous de \(-2\). Le signe de cet écart donne la position ; sa valeur absolue donne la distance. Ce sont deux informations différentes.

Exemple 3.3 — Une constante atteint sa limite partout

Si \(k(x)=7\) pour tout réel \(x\), alors \(|k(x)-7|=0\). Toute précision positive est satisfaite, quel que soit le seuil. La limite vaut \(7\) aux deux infinis, et la valeur \(7\) est atteinte à chaque entrée.

Il faut donc éviter de définir une limite comme « une valeur que la fonction approche sans jamais l’atteindre ». La fin de cette phrase décrit certaines fonctions, pas la notion générale.

Exemple 3.4 — Des images qui passent des deux côtés de la limite

Pour \(x\ge1\), on pose \(v(x)=1+\sin x/x\). Le rappel trigonométrique utile est simplement \(|\sin x|\le1\). Donc \[|v(x)-1|=\frac{|\sin x|}{x}\le\frac1x.\] Pour obtenir une distance à \(1\) inférieure à une précision donnée, il suffit de prendre \(x\) assez grand pour que \(1/x\) soit inférieur à cette précision. Ce contrôle vaut pour toutes les entrées concernées : \(v\) tend vers \(1\).

Selon le signe de \(\sin x\), les images sont supérieures ou inférieures à \(1\) ; pour \(x=n\pi\) avec \(n\) entier strictement positif, elles valent \(1\). Une limite finie n’impose donc ni une absence d’intersection avec le niveau limite, ni un rapprochement monotone.

Exemple 4.1 — Une fonction affine aux deux infinis

Soit \(p(x)=7-3x\), définie sur \(\mathbb{R}\).

Quand \(x\to+\infty\). On veut prouver que les images deviennent arbitrairement négatives. Fixons un niveau réel \(A\). On résout \[\begin{align*} p(x)<A &\iff 7-3x<A\\ &\iff -3x<A-7\\ &\iff x>\frac{7-A}{3}. \end{align*}\] La division par \(-3\) inverse le sens de l’inégalité. Toutes les entrées après ce seuil satisfont la demande, quel que soit \(A\). Donc \(p(x)\to-\infty\) en \(+\infty\).

Quand \(x\to-\infty\). Pour dépasser un niveau \(A\), on résout \[\begin{align*} p(x)>A &\iff 7-3x>A\\ &\iff -3x>A-7\\ &\iff x<\frac{7-A}{3}. \end{align*}\] Toutes les entrées suffisamment négatives conviennent. Ainsi \(p(x)\to+\infty\) en \(-\infty\).

Contrôle concret. Pour avoir \(p(x)<-1\,000\), il suffit de prendre \(x>1007/3\). Pour avoir \(p(x)>1\,000\), il suffit de prendre \(x<-331\). Les seuils donnent des garanties, pas seulement quelques images favorables.

Exemple 4.2 — Un carré aux entrées négatives

Montrons que \(x^2\to+\infty\) lorsque \(x\to-\infty\).

Pour dépasser un niveau positif \(A\), il suffit d’avoir \(|x|>\sqrt A\). Dans la direction négative, cela s’écrit \(x<-\sqrt A\). On a alors \(-x>\sqrt A\ge0\), donc, en élevant deux nombres positifs au carré, \[x^2=(-x)^2>A.\] Tout niveau positif peut ainsi être dépassé. Les niveaux négatifs sont également dépassés, puisque \(x^2\ge0\). Cela prouve la limite annoncée.

Attention : on n’a pas élevé directement au carré l’inégalité \(x<-\sqrt A\) en gardant son sens. Le carré n’est pas croissant sur les nombres négatifs ; le passage par \(-x\) ou \(|x|\) évite cette erreur.

Exemple 4.3 — Des images négatives dont la grandeur augmente

Considérons \(r(x)=-x^3\) lorsque \(x\to+\infty\). Pour \(x\ge1\), on a \(x^3\ge x\), donc \(-x^3\le-x\).

Fixons un niveau réel \(A\). Si \(x>\max(1,-A)\), alors \(-x<A\) et donc \[r(x)=-x^3\le-x<A.\] Toutes les images sont alors sous le niveau demandé. On a bien \(r(x)\to-\infty\). Le raisonnement n’a pas consisté à remplacer \(x\) par un « nombre infini » : on a construit une condition sur les entrées.

Exemple 4.4 — Une fonction peut tendre vers \(+\infty\) sans être croissante

Sur \([0;+\infty[\), prenons \(b(x)=x+2\sin x\). Le seul encadrement utile est \(-1\le\sin x\le1\), donc \[x-2\le b(x)\le x+2.\] Pour garantir \(b(x)>A\), il suffit d’exiger \(x-2>A\), donc \(x>A+2\). La fonction tend ainsi vers \(+\infty\).

Pourtant, elle ne croît pas tout le temps. Aux entrées \(s=\pi/2+2n\pi\) et \(t=3\pi/2+2n\pi\), avec \(n\) entier positif ou nul, on a \(s<t\), mais \[b(t)-b(s)=(t-2)-(s+2)=\pi-4<0.\] On a utilisé \(\sin s=1\), \(\sin t=-1\) et \(\pi<4\). Il existe donc des descentes aussi loin que l’on veut, sans empêcher le dépassement définitif de chaque niveau fixé.

Exemple 4.5 — Très hauts sommets, mais retours à un même niveau

Sur \([0;+\infty[\), soit \(c(x)=1+x(1+\sin x)\). Comme \(1+\sin x\ge0\), cette fonction est toujours positive.

Pour \(x=\pi/2+2n\pi\), le sinus vaut \(1\) et \(c(x)=1+2x\) : ces images sont aussi grandes que l’on veut. La fonction est non majorée.

Mais pour \(x=3\pi/2+2n\pi\), le sinus vaut \(-1\) et \(c(x)=1\). Ces entrées sont elles aussi aussi grandes que l’on veut. Il n’existe donc aucun seuil après lequel toutes les images dépassent \(2\). La fonction ne tend pas vers \(+\infty\).

Cet exemple distingue trois affirmations : « les images sont positives », « certaines images sont très grandes » et « toutes les images finissent par dépasser chaque niveau ». Seule la troisième est la définition recherchée.

Exemple 5.1 — Une fonction affine : mesurer les deux distances

Pour \(p(x)=2x+1\), étudions les images lorsque \(x\to3\). Le candidat est \(7\). La différence se simplifie exactement : \[p(x)-7=2x+1-7=2x-6=2(x-3).\] La distance de l’image à \(7\) est donc \[|p(x)-7|=2|x-3|.\] Pour obtenir une distance à \(7\) inférieure à \(0{,}1\), il suffit que \(|x-3|<0{,}05\). Pour une précision dix fois plus petite sur l’image, on choisit une proximité dix fois plus forte de l’entrée.

Plus généralement, toute précision positive sur l’image est garantie dès que la distance de \(x\) à \(3\) est inférieure à la moitié de cette précision. Cela prouve \(\lim_{x\to3}p(x)=7\).

L’image \(p(3)\) vaut également \(7\), mais la preuve de limite vient de la relation entre les distances, pas de la seule existence de cette image.

Exemple 5.2 — Un carré : contrôler aussi le facteur qui reste

Pour prouver \(\lim_{x\to2}x^2=4\), on calcule \[x^2-4=(x-2)(x+2).\] On peut vérifier la factorisation en développant : \[(x-2)(x+2)=x^2+2x-2x-4=x^2-4.\] Si l’entrée est à moins de \(1\) de \(2\), alors \(1<x<3\), donc \(3<x+2<5\). Par conséquent, \[|x^2-4|=|x-2|\,|x+2|<5|x-2|.\] Pour obtenir une précision donnée sur l’image, il suffit de demander que la distance \(|x-2|\) soit à la fois inférieure à \(1\) et inférieure au cinquième de cette précision. Les deux conditions peuvent toujours être satisfaites ensemble.

Le premier contrôle, \(|x-2|<1\), évite de laisser le facteur \(x+2\) grandir sans contrôle. Le second réduit effectivement l’écart recherché. En notation approfondie, \(\delta=\min(1,\varepsilon/5)\) convient.

Exemple 5.3 — Le quotient initial a un trou, mais une limite

Reprenons \(f(x)=(x^2-9)/(x-3)\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Pour chaque entrée autorisée, \(f(x)=x+3\), donc \[|f(x)-6|=|x+3-6|=|x-3|.\] Toute précision sur l’image est garantie par la même précision sur l’entrée. Ainsi \[\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=6.\] On n’a pas donné une valeur à une expression indéfinie. On a utilisé une égalité valable pour toutes les entrées voisines, différentes de \(3\).

Exemple 5.4 — La valeur au point peut être différente de la limite

Définissons \(g\) sur \(\mathbb{R}\) par \[g(x)=\begin{cases} x+3,&x\ne3,\\ 100,&x=3. \end{cases}\] Pour \(x\ne3\), on a encore \(|g(x)-6|=|x-3|\). La définition épointée donne donc \(\lim_{x\to3}g(x)=6\), alors que \(g(3)=100\).

La limite dépend du comportement voisin. L’image \(g(3)\) dépend de la valeur choisie exactement au point. Modifier cette seule valeur ne change pas la limite, dans la convention adoptée ici.

Exemple 5.5 — Une fonction par morceaux présente un saut

Soit \[p(x)=\begin{cases} x+1,&x<0,\\ x+2,&x\ge0. \end{cases}\] À gauche de \(0\), la formule à utiliser est \(x+1\). La distance de l’image à \(1\) vaut \(|x|\), donc la limite à gauche vaut \(1\).

À droite de \(0\), la formule est \(x+2\). La distance de l’image à \(2\) vaut \(|x|\), donc la limite à droite vaut \(2\).

Les deux résultats sont différents. Il n’y a pas de limite finie commune en \(0\). La valeur \(p(0)=2\), donnée par la seconde ligne, ne supprime pas cette différence. Les images restent d’ailleurs bornées près de \(0\), donc aucune limite infinie ne peut remplacer la limite finie absente.

Exemple 5.6 — Un seul côté existe dans le domaine

Pour \(s(x)=\sqrt x\), le domaine est \([0;+\infty[\). Si \(0<x<0{,}01\), alors \(0<\sqrt x<0{,}1\). Plus généralement, pour rendre \(\sqrt x\) inférieur à une précision positive, il suffit de prendre \(x\) inférieur au carré de cette précision.

Ainsi \(\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0\). Il n’y a pas d’approche par la gauche dans le domaine réel. Si l’on écrit \(\lim_{x\to0}\sqrt x=0\) en restant dans le domaine, cela désigne ici cette seule approche disponible ; cela ne crée pas une limite à gauche.

Exemple 6.1 — La fonction inverse près de zéro, avec une preuve

La fonction \(x\mapsto1/x\) est définie pour \(x\ne0\).

À droite de \(0\). Fixons un niveau \(A>0\). Si \(0<x<1/A\), les nombres sont positifs et l’inversion renverse leur ordre : \(1/x>A\). On peut donc dépasser tout niveau en se rapprochant suffisamment de \(0\) par la droite. Ainsi \[\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty.\] À gauche de \(0\). Écrivons \(x=-t\) avec \(t>0\). Lorsque \(x\) se rapproche de \(0\) par la gauche, \(t\) se rapproche de \(0\) par la droite. Si \(0<t<1/A\), alors \(1/x=-1/t<-A\). Donc \[\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty.\] Le nombre \(0\) n’est jamais une entrée autorisée. Les expressions « zéro par valeurs positives » et « zéro par valeurs négatives » décrivent le signe des dénominateurs proches de zéro, pas deux nouveaux nombres par lesquels on pourrait diviser.

Exemple 6.2 — Un carré donne le même signe des deux côtés

Pour \(x\ne0\), le nombre \(x^2\) est strictement positif. Fixons un niveau \(A>0\). Si \[0<|x|<\frac1{\sqrt A},\] alors \(0<x^2<1/A\), donc \(1/x^2>A\). La condition ne dépend pas du côté. On a donc \[\lim_{x\to0^-}\frac1{x^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac1{x^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty.\] La présence du carré change le signe à gauche, même si le dénominateur se rapproche encore de zéro.

Exemple 6.3 — Un quotient dont le numérateur ne disparaît pas

Considérons \(f(x)=x/(x-1)\), de domaine \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Pour \(x\ne1\), \[x=(x-1)+1 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=1+\frac1{x-1}.\] À droite de \(1\). Le nombre \(x-1\) est positif et se rapproche de \(0\). Son inverse devient arbitrairement grand, donc \(f(x)\to+\infty\). Pour une garantie concrète, \[1+\frac1{x-1}>100 \iff \frac1{x-1}>99 \iff 0<x-1<\frac1{99}.\] À gauche de \(1\). Posons \(t=1-x>0\). On a \(x-1=-t\), donc \(f(x)=1-1/t\). Pour obtenir \(f(x)<-100\), \[1-\frac1t<-100 \iff \frac1t>101 \iff 0<t<\frac1{101}.\] Le même calcul fonctionne pour tout niveau négatif imposé : \(f(x)\to-\infty\) en \(1^-\).

La droite \(x=1\) est une asymptote verticale. Les deux limites latérales différentes interdisent une limite commune en \(1\).

Exemple 6.4 — Un seul côté est disponible

Soit \(g(x)=1/\sqrt{4-x}\). La racine doit être définie et le dénominateur non nul : \(4-x>0\). Le domaine est donc \(]-\infty;4[\).

L’approche de \(4\) est uniquement une approche par la gauche. Pour un niveau \(A>0\), demander \[0<4-x<\frac1{A^2}\] assure \(0<\sqrt{4-x}<1/A\), puis \(g(x)>A\). Ainsi \[\lim_{x\to4^-}\frac1{\sqrt{4-x}}=+\infty.\] La droite \(x=4\) est une asymptote verticale. Aucune étude à droite de \(4\) n’est requise ni possible dans le domaine réel de cette fonction.

Exemple 6.5 — Même point interdit, mais limite finie

Pour \(x\ne2\), \[k(x)=\frac{x^2-4}{x-2} =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} =x+2.\] La distance de \(k(x)\) à \(4\) est \(|x-2|\). Ainsi les deux limites latérales en \(2\) valent \(4\). La droite \(x=2\) n’est pas une asymptote verticale : aucune limite infinie n’apparaît.

Le dénominateur initial s’annule pourtant en \(2\). Cette seule observation ne permettait donc pas de conclure.

Exemple 6.6 — Une valeur au point ne supprime pas une divergence voisine

Définissons \(m\) par \(m(x)=1/x\) pour \(x\ne0\) et \(m(0)=7\). Avec la convention de limite pour \(x\ne0\), les limites latérales restent \(-\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite. La droite \(x=0\) reste asymptote verticale au sens de la définition donnée.

Le point isolé \((0;7)\) ne contrôle pas les autres images proches de \(0\). Il serait donc faux d’affirmer qu’une asymptote verticale impose toujours l’absence de valeur au point, pour toute fonction possible.

Exemple 6.7 — Un côté fini, un côté infini

Soit \(n(x)=0\) pour \(x\le0\) et \(n(x)=1/x\) pour \(x>0\). À gauche de \(0\), toutes les images sont nulles : la limite vaut \(0\). À droite, la limite vaut \(+\infty\).

La droite \(x=0\) est une asymptote verticale, car un côté suffit. Il n’existe cependant pas de limite commune en \(0\). Cet exemple distingue la définition d’une asymptote de la condition d’assemblage des limites latérales.

Exemple 7.1 — Ce que l’unicité ne mélange pas

Pour \(f(x)=1/x\), la limite en \(0^-\) vaut \(-\infty\) et la limite en \(0^+\) vaut \(+\infty\). Il n’y a aucune contradiction avec l’unicité : les ensembles d’entrées utilisés ne sont pas les mêmes.

En revanche, il serait contradictoire d’annoncer simultanément \(+\infty\) et \(-\infty\) pour la limite en \(0^+\) de cette même fonction. Dans une correction, il faut donc vérifier le point et le côté avant de comparer deux résultats.

Exemple 7.2 — Ni réciproque, ni contrôle de tout le domaine

La fonction \(f(x)=|x|/x\), définie pour \(x\ne0\), vérifie toujours \(|f(x)|=1\). Elle est bornée près de \(0\), mais sa limite à gauche vaut \(-1\) et celle à droite vaut \(1\). Elle n’a donc pas de limite commune en \(0\). Être bornée ne suffit pas pour avoir une limite finie.

Dans l’autre sens, \(1/x\) tend vers \(0\) en \(+\infty\), mais ses images sont arbitrairement grandes au voisinage de \(0^+\). La limite à une extrémité ne donne pas une borne sur tout le domaine.

Exemple 7.3 — Utiliser le signe sans inventer un seuil numérique

Supposons que \(f(x)\to-3\) lorsque \(x\to2^+\). En choisissant une précision \(1\), on sait que, pour toutes les entrées suffisamment proches de \(2\) par la droite, \[-4<f(x)<-2.\] En particulier, \(f(x)\) est négatif et non nul. Sans formule supplémentaire, on n’a pas nécessairement de rayon numérique explicite ; son existence est néanmoins garantie par la limite.

Si, à la place, la limite vaut \(0\), aucune conclusion unique sur le signe n’est possible : \(1/x\), \(-1/x\) et la fonction nulle ont tous la limite \(0\) en \(+\infty\), avec des signes ou des valeurs nulles différents.

Exemple 7.4 — Deux modifications sans effet sur l’approche étudiée

La fonction définie par \(h(x)=7-2/x\) pour \(x>10\) et \(h(x)=x^2\) pour \(x\le10\) a pour limite \(7\) en \(+\infty\). En effet, dans la zone \(x>10\), elle est égale à \(7-2/x\), dont la distance à \(7\) est \(2/x\). La formule différente avant le seuil n’intervient pas.

De même, pour \(x\ne3\), le quotient \((x^2-9)/(x-3)\) vaut \(x+3\). Sa limite en \(3\) est donc celle de \(x+3\), soit \(6\). On ne prétend pas que les deux fonctions ont le même domaine global : l’égalité est utilisée seulement sur les entrées proches de \(3\) et différentes de \(3\).

Exemple 7.5 — Le signe de l’approche de zéro n’est pas un second zéro

Quand \(x\to-\infty\), \(1/x^3\) est négatif, mais sa limite est le nombre \(0\). On peut dire qu’il tend vers zéro par valeurs négatives. On ne crée pas pour autant un autre nombre réel nommé « zéro négatif ».

Pour \(-2/x^2\), le dénominateur est positif sur le domaine et le numérateur négatif : les images sont négatives aux deux extrémités. Leur distance à zéro vaut \(2/x^2\), qui devient arbitrairement petite. La limite vaut donc \(0\) aux deux infinis, par valeurs négatives.

Exemple 7.6 — Une racine en un point, avec sa garantie

La limite de \(\sqrt x\) en \(9\) vaut \(3\). Pour relier la proximité des entrées à celle des images, on utilise \[|\sqrt x-3|=\frac{|x-9|}{\sqrt x+3}\le\frac{|x-9|}{3} \qquad(x\ge0).\] Ainsi \(|x-9|<0{,}03\) assure \(|\sqrt x-3|<0{,}01\). La proximité \(0{,}03\) n’est pas forcément la plus large possible ; elle est une garantie démontrée, ce qui suffit.

Exemple 8.1 — Une même asymptote aux deux infinis, jamais atteinte

Pour \(x\ne0\), soit \(h(x)=4+2/x^2\). La référence \(1/x^2\to0\) aux deux infinis donne déjà le candidat \(4\). On peut vérifier directement la distance : \[|h(x)-4|=\frac2{x^2}.\] Pour une précision positive, rendre \(|x|\) supérieur à la racine carrée du quotient de \(2\) par cette précision suffit. Par exemple, une distance inférieure à \(0{,}02\) est garantie par \(|x|>\sqrt{2/0{,}02}=10\). Les deux directions permettent ce choix. Ainsi \(h\) tend vers \(4\) aux deux infinis et la droite \(y=4\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

Pour la position, on conserve l’écart signé : \(h(x)-4=2/x^2>0\) sur tout le domaine. La courbe est donc toujours au-dessus de la droite. Résoudre \(h(x)=4\) demanderait \(2/x^2=0\), ce qui est impossible. L’existence d’une asymptote ne demande pas une intersection.

Par exemple, \(h(100)=4+0{,}0002\), et non \(4\). Une proximité très forte n’est pas une égalité.

Exemple 8.2 — Le rôle décisif de \(\sqrt{x^2}=|x|\)

Considérons \(f(x)=x/\sqrt{x^2+1}\). Le dénominateur est strictement positif pour tout réel \(x\), donc \(D_f=\mathbb{R}\).

Pour \(x\ne0\), on peut factoriser \(x^2\) sous la racine : \[\begin{align*} \sqrt{x^2+1} &=\sqrt{x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)}\\ &=|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}. \end{align*}\] Les facteurs sous la racine sont positifs, ce qui autorise cette écriture.

Pour \(x>0\), on a \(|x|=x\), donc \[f(x)=\frac1{\sqrt{1+1/x^2}}.\] Pour \(x<0\), on a \(|x|=-x\), donc \[f(x)=-\frac1{\sqrt{1+1/x^2}}.\] Le signe ne doit pas disparaître lors de la simplification.

Pour justifier les limites sans anticiper une règle de composition, posons \(s=\sqrt{1+1/x^2}\), donc \(s\ge1\). L’écart entre \(1/s\) et \(1\) vaut \[\begin{align*} 1-\frac1s &=\frac{s-1}{s}\\ &=\frac{(s-1)(s+1)}{s(s+1)}\\ &=\frac{s^2-1}{s(s+1)}\\ &=\frac{1/x^2}{s(s+1)}. \end{align*}\] Puisque \(s(s+1)\ge2\), on obtient \[0\le1-\frac1s\le\frac1{2x^2}.\] La borne de droite devient arbitrairement petite aux deux infinis. Pour \(x>0\), elle contrôle \(|f(x)-1|\) ; pour \(x<0\), elle contrôle \(|f(x)+1|\). Ainsi \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1.\] Les droites \(y=1\) et \(y=-1\) sont asymptotes, respectivement à droite et à gauche. L’unicité de la limite n’impose pas de faire coïncider deux directions différentes.

Exemple 8.3 — Une intersection exactement calculable

Pour \(x\ne0\), soit \(g(x)=1+(x-2)/x^2\). Si \(|x|\ge1\), alors \[\begin{align*} |g(x)-1| &=\frac{|x-2|}{x^2}\\ &\le\frac{|x|+2}{x^2}\\ &=\frac1{|x|}+\frac2{x^2}\\ &\le\frac3{|x|}. \end{align*}\] La dernière quantité devient arbitrairement petite aux deux infinis. La droite \(y=1\) est donc asymptote aux deux extrémités.

Pourtant, \(g(x)=1\) équivaut à \(x-2=0\), puisque \(x^2\ne0\). L’entrée \(x=2\) est autorisée et donne l’intersection \((2;1)\).

Le signe de \(g(x)-1\) est celui de \(x-2\), car le dénominateur est positif. Sur le domaine, la courbe est en dessous de \(y=1\) pour \(x<2\) et au-dessus pour \(x>2\). Elle traverse donc son asymptote au point calculé.

Exemple 8.4 — Une infinité de traversées reste compatible avec une limite

Sur \([1;+\infty[\), prenons \(v(x)=1+\sin x/x\). Le rappel utile est \(|\sin x|\le1\). Ainsi \[|v(x)-1|=\frac{|\sin x|}{x}\le\frac1x.\] Pour chaque précision, le même seuil que pour \(1/x\to0\) rend l’écart assez petit. On a \(\lim_{x\to+\infty}v(x)=1\), donc l’asymptote horizontale \(y=1\) à droite.

Pour chaque entier \(n\ge1\), \(\sin(n\pi)=0\), donc \(v(n\pi)=1\). Le sinus change de signe de part et d’autre de ces zéros, tandis que \(x\) reste positif. La courbe traverse donc le niveau \(1\) une infinité de fois. Ce qui se réduit est la taille des oscillations, pas nécessairement le nombre d’intersections.

Exemple 9.1 — Additionner, puis interpréter une différence

Lorsque \(x\to+\infty\), \(1/x\to0\) et \(x^2\to+\infty\). Par somme, \[\lim_{x\to+\infty}\left(5+\frac1x\right)=5, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(x^2+5+\frac1x\right)=+\infty.\] En revanche, pour \(x^2-x\), les limites séparées donnent \(+\infty-(+\infty)\), donc une FI. Il faut transformer l’expression. Pour \(x\ne0\), \[x^2-x=x^2\left(1-\frac1x\right).\] Le second facteur tend vers \(1>0\) et le premier vers \(+\infty\) : le produit tend vers \(+\infty\). L’indétermination portait sur la première écriture, pas sur la fonction elle-même.

Exemple 9.2 — Déterminer le signe de chaque facteur complet

Étudions \((2+1/x)(3-x)\) en \(+\infty\). On a \(2+1/x\to2>0\) et \(3-x\to-\infty\). Ainsi, \[\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac1x\right)(3-x)=-\infty.\] Pour \((1-x)(4+1/x^2)\) en \(-\infty\), c’est différent : \(1-x\to+\infty\) et \(4+1/x^2\to4>0\). La limite est donc \(+\infty\). Dans les deux calculs, on a étudié les facteurs complets, pas simplement le signe de \(x\).

Exemple 9.3 — Une limite nulle de quotient

Pour \(x\to+\infty\), le numérateur \(3+1/x\) tend vers \(3\) et le dénominateur \(x^2+1\) tend vers \(+\infty\). Il est toujours strictement positif. Par quotient, \[\lim_{x\to+\infty}\frac{3+1/x}{x^2+1}=0.\] Il n’y a pas de forme indéterminée : un nombre fini divisé par une expression de valeur absolue arbitrairement grande tend vers zéro.

Exemple 9.4 — Le même zéro, deux signes différents

Soit \(F(x)=(x+1)/(x-2)\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Le numérateur tend vers \(3>0\) lorsque \(x\to2\). Pour \(x<2\), \(x-2<0\) ; pour \(x>2\), \(x-2>0\). Donc \[\lim_{x\to2^-}F(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}F(x)=+\infty.\] Les deux comportements diffèrent : il n’existe pas de limite bilatérale en \(2\), même infinie.

Pour \(G(x)=(x+1)/(x-2)^2\), le dénominateur est positif des deux côtés et tend vers \(0\). Cette fois, les deux limites valent \(+\infty\), donc \(G(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to2\).

Exemple 9.5 — Un modèle volontairement simple

Pour \(K(x)=-2/(x+1)\), en \(-1^-\) le dénominateur tend vers \(0^-\) : négatif divisé par négatif donne positif, donc la limite est \(+\infty\). En \(-1^+\), le dénominateur tend vers \(0^+\) : négatif divisé par positif donne négatif, donc la limite est \(-\infty\). Un tableau de signes à deux colonnes suffit ; un tableau de variations serait inutile.

Exemple 10.1 — Une différence qui n’a pas de limite

L’expression \((x+\sin x)-x\) vaut exactement \(\sin x\). Pourtant \(x+\sin x\to+\infty\) : en effet \(x+\sin x\ge x-1\), et \(x-1\) finit par dépasser n’importe quel seuil.

La différence n’a pas de limite en \(+\infty\). Aux abscisses \(\pi/2+2k\pi\), elle vaut \(1\) ; aux abscisses \(3\pi/2+2k\pi\), elle vaut \(-1\), pour tout entier \(k\ge0\). Ces deux familles d’abscisses vont aussi loin que l’on veut et imposent deux valeurs différentes. La fonction reste bornée, donc elle ne tend pas non plus vers un infini.

Exemple 10.2 — Transformer un produit en quotient

Calculons la limite de \[\frac1x\left(3x+\frac1x\right) \quad\text{lorsque }x\to+\infty.\] Le premier facteur tend vers \(0\), le second vers \(+\infty\) : FI. Distribuons le facteur \(1/x\) sur chacun des deux termes : \[\frac1x\times3x+\frac1x\times\frac1x =3+\frac1{x^2}.\] Comme \(1/x^2\to0\), la limite cherchée est \(3\). Écrire seulement « \(0\times\infty\) » n’aurait rien démontré sur ce produit.

Exemple 10.3 — Un quotient d’infinis qui oscille

Considérons \(Q(x)=x(2+\sin x)/x\), pour \(x>0\). Son dénominateur tend vers \(+\infty\). Son numérateur aussi : comme \(2+\sin x\ge1\), il est supérieur ou égal à \(x\).

Après simplification, \(Q(x)=2+\sin x\). Cette expression prend la valeur \(3\) aux abscisses \(\pi/2+2k\pi\) et la valeur \(1\) aux abscisses \(3\pi/2+2k\pi\). Elle n’a donc pas de limite. La même fonction peut aussi s’écrire \((1/x)\times[x(2+\sin x)]\) : elle montre qu’une forme \(0\times\infty\) peut, elle aussi, conduire à une absence de limite.

Exemple 10.4 — Une forme \(0/0\) sans limite bilatérale

Pour \(x\ne0\), soit \(R(x)=x/|x|\). Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(0\) en \(0\). Si \(x>0\), \(|x|=x\), donc \(R(x)=1\). Si \(x<0\), \(|x|=-x\), donc \(R(x)=-1\). \[\lim_{x\to0^+}R(x)=1\ne-1=\lim_{x\to0^-}R(x).\] Le quotient n’a pas de limite en \(0\). Ici, lever l’indétermination ne signifie pas trouver à tout prix un nombre : cela permet de déterminer correctement le comportement.

Exemple 10.5 — Un facteur commun en un point

Pour \(x\ne2\), calculons la limite en \(2\) de \((x^2-4)/(x-2)\). La substitution dans les deux blocs donne \(0/0\) : aucun quotient de limites n’est utilisable.

L’identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) donne ici \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Ainsi, pour \(x\ne2\), \[\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.\] Les deux expressions coïncident pour tous les \(x\) assez proches de \(2\) et distincts de \(2\) ; elles ont donc la même limite. Comme \(x+2\to4\), la limite cherchée vaut \(4\). La fonction initiale reste non définie en \(2\).

Exemple 11.1 — Un coefficient négatif devant une puissance paire

Soit \(P(x)=-3x^4+2x-7\), définie sur \(\mathbb{R}\). À droite, les limites des termes donnent d’abord \(-\infty+\infty-7\), ce qui ne permet pas de conclure par somme. Pour \(x\ne0\), écrivons \[P(x)=x^4\left(-3+\frac2{x^3}-\frac7{x^4}\right).\] Vérification : \(x^4\times(-3)=-3x^4\), \(x^4\times2/x^3=2x\) et \(x^4\times(-7/x^4)=-7\). La factorisation conserve donc tous les termes.

En chacun des deux infinis, le facteur entre parenthèses tend vers \(-3<0\) et \(x^4\to+\infty\). Ainsi, \[\lim_{x\to+\infty}P(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}P(x)=-\infty.\] Le degré pair explique pourquoi les deux limites ont le même signe ; le coefficient négatif explique pourquoi ce signe est négatif.

Exemple 11.2 — Une puissance impaire change le comportement à gauche

Pour \(S(x)=2x^3-5x+1\), on écrit \[S(x)=x^3\left(2-\frac5{x^2}+\frac1{x^3}\right) \quad(x\ne0).\] Le second facteur tend vers \(2>0\). En \(+\infty\), \(x^3\to+\infty\), donc \(S\to+\infty\). En \(-\infty\), \(x^3\to-\infty\), donc \(S\to-\infty\). On ne peut pas déduire la limite en \(-\infty\) en recopiant celle en \(+\infty\) sans examiner la parité.

Exemple 11.3 — Même degré au numérateur et au dénominateur

Soit \(F(x)=(3x^4-x+2)/(x^4+7)\). Le dénominateur est au moins égal à \(7\), donc le domaine est \(\mathbb{R}\). Les deux polynômes tendent vers \(+\infty\) aux deux extrémités : le quotient direct est indéterminé.

Pour \(x\ne0\), on divise tous les termes par \(x^4\) : \[F(x)=\frac{3-x/x^4+2/x^4}{1+7/x^4} =\frac{3-1/x^3+2/x^4}{1+7/x^4}.\] En chacun des deux infinis, \(1/x^3\to0\) et \(1/x^4\to0\). Le numérateur transformé tend vers \(3\) et le dénominateur vers \(1\ne0\). Donc \[\lim_{x\to+\infty}F(x)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=3.\] Le fait d’avoir écrit cette égalité pour \(x\ne0\) n’est pas gênant pour une étude à l’infini : cette zone ne contient pas \(0\).

Exemple 11.4 — Degré plus petit au numérateur

Soit \(G(x)=(4x+1)/(2x^2+3)\), définie sur \(\mathbb{R}\) puisque \(2x^2+3>0\). Pour \(x\ne0\), divisons par \(x^2\) : \[G(x)=\frac{4/x+1/x^2}{2+3/x^2}.\] Dans les deux infinis, le numérateur tend vers \(0+0=0\) et le dénominateur vers \(2\ne0\). Par quotient, la limite est \(0\).

Il n’est pas nécessaire de décider si \(G\) arrive au-dessus ou au-dessous de \(0\) pour établir cette limite. Si on veut préciser l’approche, \(4x+1\) est finalement positif à droite et négatif à gauche ; le dénominateur reste positif.

Exemple 11.5 — Degré supérieur : un facteur \(x\) reste présent

Soit \(H(x)=(2x^3+x)/(x^2-x+2)\). On complète le carré : \[x^2-x+2=\left(x-\frac12\right)^2+\frac74>0.\] Ainsi, \(H\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Pour \(x\ne0\), on factorise \(x^3\) en haut et \(x^2\) en bas : \[H(x)=\frac{x^3(2+1/x^2)}{x^2(1-1/x+2/x^2)} =x\frac{2+1/x^2}{1-1/x+2/x^2}.\] Le quotient de droite tend vers \(2/1=2>0\). Le facteur restant est \(x\). Ainsi, \[\lim_{x\to+\infty}H(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}H(x)=-\infty.\] Le quotient initial n’a pas pour limite \(2\) : ce nombre est seulement la limite du facteur normalisé. Oublier le facteur \(x\) changerait complètement le résultat.

Exemple 11.6 — Degré supérieur, différence paire et coefficient négatif

Pour \(J(x)=(-2x^4+1)/(x^2+3)\), le domaine est \(\mathbb{R}\). Pour \(x\ne0\), \[J(x)=x^2\frac{-2+1/x^4}{1+3/x^2}.\] Le quotient normalisé tend vers \(-2\) et \(x^2\to+\infty\) dans les deux infinis. Les deux limites de \(J\) sont donc \(-\infty\). Ici, la différence des degrés est \(4-2=2\), paire : le signe ne s’inverse pas entre gauche et droite.

Exemple 12.1 — Une différence de deux carrés

Calculons la limite en \(3\) de \[F(x)=\frac{x^2-9}{x-3},\qquad x\ne3.\] Le numérateur tend vers \(3^2-9=0\) et le dénominateur vers \(0\) : FI. On utilise \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) : \[x^2-9=(x-3)(x+3).\] Le développement donne \(x^2+3x-3x-9=x^2-9\), ce qui vérifie l’identité. Pour \(x\ne3\), \[F(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.\] Par égalité au voisinage de \(3\), la limite de \(F\) est celle de \(x+3\), donc \(6\). Aucun calcul n’a divisé par zéro.

Exemple 12.2 — Deux polynômes à factoriser

Soit \(G(x)=(x^2-5x+6)/(x^2-4)\). Comme \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), son domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). En \(2\), les deux blocs tendent vers \(0\).

On vérifie la factorisation du numérateur : \[(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6.\] Pour \(x\notin\{-2;2\}\), \[G(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} =\frac{x-3}{x+2}.\] Le numérateur transformé tend vers \(-1\) et le dénominateur vers \(4\ne0\). Par quotient, \[\lim_{x\to2}G(x)=-\frac14.\] La valeur interdite \(-2\) ne gêne pas l’approche de \(2\), mais elle doit rester exclue du domaine initial annoncé.

Exemple 12.3 — Après simplification, deux infinis opposés

Soit \(H(x)=(x^2-1)/(x-1)^2\), définie pour \(x\ne1\). L’écriture initiale produit \(0/0\) en \(1\). On factorise puis on simplifie une seule fois : \[H(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)} =\frac{x+1}{x-1}\quad(x\ne1).\] Le numérateur tend vers \(2>0\). Le facteur restant \(x-1\) tend vers \(0^-\) à gauche et \(0^+\) à droite. Ainsi, \[\lim_{x\to1^-}H(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}H(x)=+\infty.\] La fonction n’a pas de limite bilatérale en \(1\). Le carré du dénominateur initial ne permettait pas de conclure seul : le numérateur changeait lui aussi de signe.

Exemple 12.4 — Le degré du facteur restant change la conclusion

Considérons \(J(x)=(x-2)^2/(x^2-4)\), définie hors de \(-2\) et \(2\). Pour ces valeurs autorisées, \[J(x)=\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x+2)} =\frac{x-2}{x+2}.\] En \(2\), le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(4\ne0\) ; la limite est \(0\). À l’inverse, pour \((x^2-4)/(x-2)^3\), une simplification laisse \((x+2)/(x-2)^2\). Son numérateur tend vers \(4>0\) et son dénominateur vers \(0^+\) des deux côtés : la limite bilatérale vaut \(+\infty\).

Exemple 12.5 — Garder les parenthèses au numérateur

Calculons en \(1\) la limite de \[K(x)=\frac{\dfrac1{x+1}-\dfrac12}{x-1}.\] Le domaine initial exclut \(-1\) et \(1\). La différence du numérateur tend vers \(1/2-1/2=0\) ; le dénominateur tend vers \(0\).

Réduisons d’abord les deux petites fractions au même dénominateur : \[\frac1{x+1}-\frac12 =\frac{2-(x+1)}{2(x+1)} =\frac{1-x}{2(x+1)} =-\frac{x-1}{2(x+1)}.\] Le signe moins devant \((x+1)\) change le signe de \(x\) et celui de \(1\). Ensuite, diviser par \(x-1\) revient à multiplier par son inverse : \[K(x)=-\frac{x-1}{2(x+1)}\times\frac1{x-1} =-\frac1{2(x+1)} \quad(x\notin\{-1;1\}).\] Le dénominateur final tend vers \(2(1+1)=4\ne0\). La limite cherchée vaut \(-1/4\).

Exemple 12.6 — Diviser par une fraction

Soit \(L(x)=(x-2)/(1-2/x)\). Il faut d’abord \(x\ne0\) ; ensuite, \(1-2/x\ne0\) impose \(x\ne2\). Le domaine est donc \(\mathbb{R}\setminus\{0;2\}\).

En \(2\), les deux blocs tendent vers \(0\). Pour \(x\ne0\), \[1-\frac2x=\frac{x-2}{x}.\] Puis, pour \(x\ne0\) et \(x\ne2\), \[L(x)=\frac{x-2}{(x-2)/x} =(x-2)\frac{x}{x-2}=x.\] La limite en \(2\) vaut donc \(2\). On a inversé la fraction entière \((x-2)/x\), pas un seul de ses termes. Cette égalité ne réintègre ni \(0\) ni \(2\) dans le domaine initial.

Exemple 12.7 — Un modèle simple avec un vrai facteur commun

Pour \(x\ne0\), \((x^2+2x)/x=x(x+2)/x=x+2\). Ici, les deux termes \(x^2\) et \(2x\) contiennent bien un facteur \(x\). On peut le vérifier en redéveloppant \(x(x+2)=x^2+2x\).

Exemple 13.1 — Vérifier la destination du radicande

Pour \(x>0\), \(5+2/x>0\) et \(5+2/x\to5\) lorsque \(x\to+\infty\). La propriété donne \(\sqrt{5+2/x}\to\sqrt5\). Ce n’est pas parce que \(x\) tend vers \(+\infty\) que toute racine écrite avec \(x\) tend vers \(+\infty\) : il faut étudier son contenu.

Exemple 13.2 — Une racine moins une constante, en un point

Calculons la limite en \(4\) de \[F(x)=\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}.\] Le radicande impose \(x\ge-5\) ; le dénominateur impose \(x\ne4\). Les deux blocs tendent vers \(0\) en \(4\). La conjuguée \(\sqrt{x+5}+3\) est au moins égale à \(3\), donc non nulle. Pour tout \(x\) du domaine, \[\begin{align*} F(x)&=\frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\\ &=\frac{x+5-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\\ &=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} =\frac1{\sqrt{x+5}+3}. \end{align*}\] La racine tend vers \(\sqrt9=3\). Le dénominateur final tend vers \(6\ne0\). Ainsi, la limite vaut \(1/6\). La fonction initiale reste non définie en \(4\) ; seule son expression près de \(4\) a été simplifiée.

Exemple 13.3 — Deux racines différentes en un point

Soit \[G(x)=\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+3}}{x-1}.\] Les deux radicandes imposent \(x\ge-4\) et \(x\ge-3/2\), donc \(x\ge-3/2\) ; on exclut aussi \(1\). En \(1\), les deux racines tendent vers \(\sqrt5\), donc le numérateur tend vers \(0\).

La somme des deux racines est strictement positive sur le domaine : le premier radicande y est au moins \(5/2>0\). Par conjugaison, \[\begin{align*} G(x)&=\frac{(x+4)-(2x+3)}{(x-1)(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+3})}\\ &=\frac{1-x}{(x-1)(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+3})}\\ &=-\frac1{\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+3}}. \end{align*}\] Le signe moins vient de \(1-x=-(x-1)\) ; il ne disparaît pas lors de la simplification. La limite en \(1\) vaut donc \(-1/(2\sqrt5)\).

Exemple 13.4 — Une différence de racines en \(+\infty\)

Soit \(H(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt x\), définie pour \(x\ge0\). Les deux racines tendent vers \(+\infty\), donc la différence est indéterminée. La conjuguée est positive, et \[H(x)=\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt x} =\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}.\] Le dénominateur tend vers \(+\infty\) par somme. Le numérateur est constant égal à \(1\) ; la limite du quotient est \(0\). Bien que les deux racines augmentent sans borne, leur écart devient arbitrairement petit.

Exemple 13.5 — Une racine contenant \(x^2\), divisée par \(x\)

Considérons \(J(x)=\sqrt{4x^2+1}/x\). Son domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Pour \(x\ne0\), les deux facteurs \(x^2\) et \(4+1/x^2\) sont positifs, donc \[\sqrt{4x^2+1} =\sqrt{x^2\left(4+\frac1{x^2}\right)} =|x|\sqrt{4+\frac1{x^2}}.\] Ainsi, \[J(x)=\frac{|x|}{x}\sqrt{4+\frac1{x^2}}.\] À droite, \(x>0\), donc \(|x|/x=1\) et \(J(x)\to2\). À gauche, \(x<0\), donc \(|x|/x=-1\) et \(J(x)\to-2\). La même racine positive donne un quotient négatif lorsque son dénominateur est négatif.

Exemple 13.6 — Une différence racine–polynôme aux deux infinis

Soit \(K(x)=\sqrt{x^2+4x}-x\). Le radicande s’écrit \(x(x+4)\). Il est positif ou nul lorsque \(x\le-4\) ou \(x\ge0\) : \[D_K=]-\infty;-4]\,\cup\,[0;+\infty[.\] Les deux infinis sont donc accessibles dans le domaine.

En \(+\infty\). La différence est de forme \(\infty-\infty\). Pour \(x>0\), la conjuguée \(\sqrt{x^2+4x}+x\) est strictement positive. On obtient \[K(x)=\frac{x^2+4x-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x} =\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}.\] Comme \(x>0\), \(\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+4/x}\). Donc \[K(x)=\frac{4x}{x(\sqrt{1+4/x}+1)} =\frac4{\sqrt{1+4/x}+1}.\] Le dénominateur tend vers \(1+1=2\), donc \(K(x)\to2\).

En \(-\infty\). Il n’y a pas la même indétermination : le radicande \(x^2+4x=x^2(1+4/x)\) tend vers \(+\infty\), donc sa racine tend vers \(+\infty\), et \(-x\to+\infty\). La somme \(\sqrt{x^2+4x}+(-x)\) tend vers \(+\infty\).

On peut aussi vérifier le signe par une factorisation exacte, valable pour \(x<-4\) : \[K(x)=(-x)\sqrt{1+\frac4x}-x =(-x)\left(\sqrt{1+\frac4x}+1\right).\] Le premier facteur tend vers \(+\infty\) et le second vers \(2>0\). On retrouve \(+\infty\). Recopier l’expression obtenue pour \(x>0\) aurait été une erreur de signe.

Exemple 14.1 — Une inégalité stricte peut perdre sa stricte différence

Pour tout \(x>0\), on a \(0<1/x\). Pourtant, en \(+\infty\), la fonction nulle et la fonction inverse ont toutes deux pour limite \(0\). On obtient à la limite \(0\le0\), et non \(0<0\).

Autre lecture utile : si \(2-1/x\le F(x)\le2+1/x\) pour \(x>0\) et si l’on sait déjà que \(F\) possède une limite finie \(L\), le passage à la limite donne \(2\le L\le2\), donc \(L=2\). Mais sans avoir prouvé l’existence de \(L\), il faut employer le théorème d’encadrement ci-dessous : il fournit aussi cette existence.

Exemple 14.2 — Une oscillation ajoutée à \(x\)

Soit \(F(x)=x+\sin x\), définie sur \(\mathbb{R}\). On utilise uniquement l’encadrement \(-1\le\sin x\le1\). En ajoutant \(x\) aux trois membres, \[x-1\le x+\sin x\le x+1.\] En \(+\infty\), la borne inférieure \(x-1\) tend vers \(+\infty\) ; par comparaison, \(F\to+\infty\). En \(-\infty\), la borne supérieure \(x+1\) tend vers \(-\infty\) ; par comparaison, \(F\to-\infty\).

La borne utile n’est pas la même selon le sens de l’infini. On n’a pas eu besoin d’attribuer une limite à \(\sin x\).

Exemple 14.3 — Comparaison au voisinage d’un point

Pour \(x\ne2\), soit \(G(x)=1/(x-2)^2+\cos x\). Comme \(\cos x\ge-1\), \[G(x)\ge\frac1{(x-2)^2}-1.\] Le carré \((x-2)^2\) tend vers \(0^+\) en \(2\) des deux côtés ; son inverse tend vers \(+\infty\), donc la borne inférieure tend vers \(+\infty\). Par comparaison, \(G(x)\to+\infty\) en \(2\). La preuve vaut pour l’approche bilatérale, puisque le carré est positif à gauche comme à droite.

Exemple 14.4 — Un quotient oscillant dans les deux infinis

Pour \(x\ne0\), on sait que \(|\sin x|\le1\). Par conséquent, \[\left|\frac{\sin x}{x}\right| =\frac{|\sin x|}{|x|}\le\frac1{|x|}.\] Dans chacun des deux infinis, \(|x|\to+\infty\), donc \(1/|x|\to0\). Le corollaire précédent, avec \(L=0\), donne \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x}=0.\] Utiliser \(|x|\) évite une erreur : pour \(x<0\), diviser \(-1\le\sin x\le1\) par \(x\) inverse les inégalités. L’écriture \(-1/x\le\sin x/x\le1/x\) n’est correcte que pour \(x>0\).

Exemple 14.5 — Une oscillation de plus en plus rapide, mais de plus en plus petite

Soit \(H(x)=x\sin(1/x)\) pour \(x\ne0\). On n’a besoin d’aucune limite de \(\sin(1/x)\) : pour tous les \(x\) autorisés, \[|H(x)|=|x|\,|\sin(1/x)|\le |x|.\] Lorsque \(x\to0\), \(|x|\to0\). On obtient donc \(H(x)\to0\). Le résultat vaut des deux côtés. Le facteur \(x\) contrôle ici l’amplitude du produit, même si le facteur trigonométrique varie très vite.

Exemple 14.6 — Trouver une limite sans connaître la formule

On ne connaît pas la formule de \(P\), mais on sait que, pour tout \(x\ge1\), \[3-\frac4{x^2}\le P(x)\le3+\frac2x.\] En \(+\infty\), \(4/x^2\to0\) et \(2/x\to0\). Les deux bornes tendent vers \(3\) ; par encadrement, \(P(x)\to3\). Il est inutile d’inventer une formule de \(P\) ou de chercher sa dérivée : l’information fournie suffit exactement à l’objectif.

Exemple 15.1 — Le domaine se construit de l’intérieur vers l’extérieur

Prenons \(u(x)=x^2-1\) et \(v(t)=\sqrt t\). La fonction intérieure est définie sur \(\mathbb{R}\), mais la fonction extérieure exige \(t\ge0\). Il faut donc \(x^2-1\ge0\), ce qui équivaut à \(x\le-1\) ou \(x\ge1\). Ainsi, \[(v\circ u)(x)=\sqrt{x^2-1}, \quad D_{v\circ u}=]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[.\] Dans l’autre ordre, \((u\circ v)(x)=(\sqrt x)^2-1=x-1\) est définie seulement pour \(x\ge0\). La simplification ne supprime pas la condition imposée par la racine initiale. Composer n’est pas intervertir librement les fonctions.

Exemple 15.2 — Une racine après un quotient simple

Étudions \(F(x)=\sqrt{3+1/x}\) en \(+\infty\). Son domaine impose \(x\ne0\) et \(3+1/x\ge0\). L’étude du signe de \((3x+1)/x\) donne \[D_F=]-\infty;-1/3]\cup]0;+\infty[.\] En particulier, toute la zone \(x>0\) est autorisée.

Posons \(t=u(x)=3+1/x\). Lorsque \(x\to+\infty\), \(1/x\to0\) et donc \(t\to3\). Les valeurs \(t\) sont positives dans cette zone ; la fonction extérieure \(v(t)=\sqrt t\) est donc définie. Comme \(\sqrt t\to\sqrt3\) lorsque \(t\to3\), la composition donne \[\lim_{x\to+\infty}F(x)=\sqrt3.\] La limite de \(x\) est \(+\infty\), mais l’entrée de la racine tend vers \(3\) : ce ne sont pas les mêmes informations.

Exemple 15.3 — Une exponentielle d’une expression affine

Soit \(G(x)=\mathrm{e}^{2-3x}\), définie sur \(\mathbb{R}\). Posons \(t=2-3x\). En \(+\infty\), on a \(-3x\to-\infty\), donc \(t\to-\infty\) ; la limite de \(\mathrm{e}^t\) en \(-\infty\) est \(0\). Ainsi, \(G(x)\to0\).

En \(-\infty\), \(-3x\to+\infty\), donc \(t\to+\infty\) et \(G(x)\to+\infty\). Le coefficient négatif inverse le sens du déplacement de la valeur intermédiaire. Il n’inverse pas le signe de l’exponentielle, qui reste toujours strictement positive.

Exemple 15.4 — Une exponentielle près d’un point interdit

Pour \(H(x)=\mathrm{e}^{-1/x}\), le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). En \(0^+\), \(1/x\to+\infty\), donc \(-1/x\to-\infty\) et \(H\to0\). En \(0^-\), \(1/x\to-\infty\), donc \(-1/x\to+\infty\) et \(H\to+\infty\). \[\lim_{x\to0^+}\mathrm{e}^{-1/x}=0, \qquad \lim_{x\to0^-}\mathrm{e}^{-1/x}=+\infty.\] La fonction n’a pas de limite bilatérale en \(0\). Le signe moins dans l’exposant échange les deux conclusions du diagnostic initial, sans produire une exponentielle négative.

Exemple 15.5 — Une racine dont le domaine n’autorise qu’un côté

Soit \[J(x)=\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}.\] On exige \(x\ne-1\) et \((x-2)/(x+1)\ge0\). Les signes sont : \[\begin{array}{c|ccc} x&x<-1&-1<x<2&x>2\\\hline x-2&-&-&+\\ x+1&-&+&+\\\hline (x-2)/(x+1)&+&-&+ \end{array}\] En \(2\), le quotient vaut \(0\) et la racine est autorisée ; en \(-1\), le quotient est interdit. Donc \[D_J=]-\infty;-1[\cup[2;+\infty[.\] Près de \(2\), le domaine ne contient que les points à droite de \(2\), ainsi que \(2\) lui-même. Pour \(x\to2^+\), le quotient intérieur tend vers \(0\) par valeurs positives : \[t=\frac{x-2}{x+1}\longrightarrow0^+.\] Comme \(\sqrt t\to0\) en \(0^+\), on obtient \(J(x)\to0\) en \(2^+\). Il n’existe pas d’approche en \(2^-\) dans le domaine : ce n’est pas une limite latérale différente, c’est une approche indisponible.

Exemple 15.6 — Un carré fait arriver du même côté

Prenons la fonction extérieure \(v(t)=1/t\) et deux fonctions intérieures : \(u_1(x)=x-1\) et \(u_2(x)=(x-1)^2\).

En \(1^-\), \(u_1(x)\to0^-\), donc \(v(u_1(x))=1/(x-1)\to-\infty\). En \(1^+\), \(u_1(x)\to0^+\), donc le même quotient tend vers \(+\infty\).

Pour \(u_2\), dès que \(x\ne1\), on a \((x-1)^2>0\). Des deux côtés, \(u_2(x)\to0^+\) et donc \(v(u_2(x))=1/(x-1)^2\to+\infty\). Connaître seulement \(u_1\to0\) et \(u_2\to0\) n’aurait pas permis de différencier ces comportements ; le côté d’arrivée est déterminant.

Exemple 15.7 — Quand la fonction intérieure atteint exactement le point exceptionnel

Définissons \(v\) sur \(\mathbb{R}\) par \[v(t)=\begin{cases}1&\text{si }t\ne0,\\7&\text{si }t=0.\end{cases}\] Avec la convention de limite hors du point, \(v(t)\to1\) lorsque \(t\to0\) et \(t\ne0\). Prenons maintenant \(u(x)=0\) pour tout réel \(x\). Alors \(u(x)\to0\), mais \[v(u(x))=v(0)=7\] pour tout \(x\). La composée tend donc vers \(7\), pas vers \(1\). La fonction intérieure n’approche pas le point exceptionnel par des valeurs distinctes de ce point : elle l’atteint toujours.

Si l’on remplace \(u(x)\) par \(x^2\) et que l’on étudie \(x\to0\), alors \(x^2\ne0\) pour \(x\ne0\). La composée vaut \(1\) dans toute l’approche et tend vers \(1\). La condition supplémentaire du théorème distingue exactement les deux situations.