Limites de fonctions — Exercice 22

Le plan est muni d’un repère orthonormal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\) ; unité graphique : 2 cm. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f_n(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^{nx}\left(1+\text{e}^x\right)}.\] On désigne par \(\mathcal C_n\) la courbe représentative de \(f_n\) dans le repère \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

Dans cette partie, on s’intéresse seulement à la fonction \(f_0\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f_0(x)=\dfrac{\text{e}^x}{1+\text{e}^x}.\]

1. 1. Déterminer la limite de \(f_0(x)\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\).

   2. Déterminer la limite de \(f_0(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

   3. En déduire les asymptotes de \(\mathcal C_0\).

2. Montrer que le point K\(\left(0 ; \dfrac12\right)\) est un centre de symétrie de \(\mathcal C_0\).

3. Étudier les variations de \(f_0\).