Limites de fonctions — Exercice 12

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[\) par : \[f(x)=\dfrac{10(x-8)}{x(x-1)}\] et on désigne par \((\mathcal C)\) sa courbe représentative relative à un repère orthogonal \(\left(O ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. 1. Déterminer les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).

   2. Déterminer les limites de \(f\) quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs inférieures et quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures.

   3. En déduire les asymptotes à la courbe \((\mathcal C)\).

2. 1. Déterminer la dérivée \(f'\) de la fonction \(f\).

   2. Montrer que \(f'(x)\) s’annule pour \(\alpha=8+2\sqrt{14}\) et pour \(\beta=8-2\sqrt{14}\).

   3. Dresser le tableau de variation de \(f\).