Limites de fonctions — Exercice 09

PARTIE A

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) par

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}.\]

1. Restitution organisée de connaissances :

   La fonction exponentielle est l’unique fonction \(g\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant

   \[\left\{\begin{array}{l c l } g'(x)&=& g(x)\ \text{pour}\ \text{tout} x \in \mathbb{R}.\\ g(0)& =& 1 \end{array}\right.\]

   Démontrer que \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1\).

2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(0\).

3. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

PARTIE B

Soit \(\left(u_{n}\right)\) la suite définie pour \(n\) entier supérieur ou égal à 1 par :

\[u_{n} = \dfrac{1}{n}\left[1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}} \right]\]

1. Démontrer que \(1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}= \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}\) puis en déduire que

   \(u_{n} = (\text{e} - 1) f\left(\dfrac{1}{n}\right)\).

2. En déduire, en utilisant aussi la PARTIE A, que la suite \(\left(u_{n}\right)\) converge vers \(\text{e} - 1\).