Troisième · Arithmétique · Objectif 2 · Rappels et relations à connaître

Formulaire — Multiples, diviseurs et nombres premiers

1. Une égalité, deux façons de parler

\[\boxed{30=5\times6}\] 30 est un multiple de \(5\) et de \(6\).

5 et 6 sont des diviseurs de \(30\).

Une multiplication exacte permet de reconnaître à la fois des multiples et des diviseurs.

2. Multiples d'un nombre

\[\boxed{\text{Multiple de }b=b\times k}\]

\(b\) est un entier positif ; \(k\) est un entier naturel (0, 1, 2, …).

Multiples de 6 :

\[0\,;\ 6\,;\ 12\,;\ 18\,;\ 24\,;\ 30\,;\ \ldots\] Exemple : \(42=6\times7\).

Donc \(42\) est un multiple de \(6\).

Un nombre possède une infinité de multiples. Le nombre \(0\) est aussi un multiple de \(6\).

3. Diviseurs d'un nombre

\[\boxed{n=d\times k}\]

Si \(n\), \(d\) et \(k\) sont des entiers positifs, alors \(d\) et \(k\) sont des diviseurs de \(n\).

Chercher les diviseurs de 30 :

\[30=1\times30=2\times15\] \[30=3\times10=5\times6\] Tous les diviseurs de 30 :

\[1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10,\ 15,\ 30\]

\(1\) et \(30\) sont toujours diviseurs de \(30\).

4. Critères de divisibilité

Un entier est divisible par…

2	chiffre des unités : \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\) ;
3	somme des chiffres : multiple de \(3\) ;
4	deux derniers chiffres : multiple de \(4\) ;
5	chiffre des unités : \(0\) ou \(5\) ;
9	somme des chiffres : multiple de \(9\) ;
10	chiffre des unités : \(0\).

5. Appliquer un critère

Exemple : le nombre 234.

\[2+3+4=9\] Donc 234 est divisible par 3 et par 9.

Son dernier chiffre est \(4\) : il est aussi divisible par \(2\).

\(34\) n’est pas un multiple de \(4\).

6. Division euclidienne

\[\boxed{a=b\times q+r}\] \[\boxed{0\leqslant r<b}\]

\(a\) et \(b\) sont des entiers naturels, \(b>0\) ; \(q\) est le quotient entier, \(r\) le reste.

\[37=5\times7+2\] Quotient : \(7\) ; reste : \(2\).

\[40=5\times8+0\]

Reste nul : \(5\) est un diviseur de \(40\).

7. Reconnaître un nombre premier

Définition : un nombre premier est un entier supérieur à \(1\) qui possède exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.

Exemple : les diviseurs de \(7\) sont \(1\) et \(7\). Donc \(7\) est premier.

Contre-exemple : \(15=3\times5\), donc \(15\) n’est pas premier.

\(0\) et \(1\) ne sont pas premiers. \(2\) est le seul nombre premier pair.

8. Nombres premiers jusqu'à 100

En bleu : les dix nombres premiers jusqu’à \(30\).

2	3	5	7	11
13	17	19	23	29
31	37	41	43	47
53	59	61	67	71
73	79	83	89	97

9. Diviseurs et multiples communs

Diviseurs communs à 12 et 18 :

\[12:\ 1,2,3,4,6,12\] \[18:\ 1,2,3,6,9,18\] \[\boxed{1,\ 2,\ 3,\ 6}\]

Multiples communs à 6 et 8 :

\[6:\ 6,12,18,\mathbf{24},30,\ldots\] \[8:\ 8,16,\mathbf{24},32,\ldots\]

Premier multiple commun positif : \(24\).

Arithmétique — Multiples, diviseurs et nombres premiers — Formulaire