Fonctions cosinus et sinus — Cours en classe

Définition — Radian et cercle trigonométrique

Sur un cercle de rayon \(r>0\), un angle au centre positif qui intercepte un arc de longueur \(L\) mesure \(\theta=L/r\) radians. Ainsi \(L=r\theta\). Un tour complet mesure \(2\pi\) radians ; \(180^\circ=\pi\) radians.

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) d’un repère orthonormé direct. Son origine est \(I=(1;0)\). Le sens positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre.

Définition — Cosinus et sinus d’un réel

Au réel \(x\), on associe le point \(M(x)\) obtenu en parcourant le cercle depuis \(I\) : une longueur \(x\) dans le sens positif si \(x>0\), une longueur \(|x|\) dans le sens négatif si \(x<0\). Pour \(x=0\), on reste en \(I\). On définit \[\boxed{M(x)=(\cos x;\sin x).}\] Le cosinus est l’abscisse ; le sinus est l’ordonnée. Les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\).

Propriété — Un point, plusieurs mesures

Pour tous \(x,y\in\mathbb{R}\), \[M(x)=M(y)\quad\Longleftrightarrow\quad x-y=2k\pi\ \text{pour un entier }k\in\mathbb{Z}.\]

Démonstration.

Ajouter \(2k\pi\) ajoute ou retire un nombre entier de tours. Réciproquement, deux parcours qui aboutissent au même point diffèrent d’un nombre entier de tours, chacun de longueur \(2\pi\).

Exemple 1 — Réduire une mesure

Un tour vaut \(12\pi/6\). Ainsi \[\frac{29\pi}{6}-4\pi=\frac{5\pi}{6}\in]-\pi;\pi].\] La différence est bien \(4\pi\), soit deux tours. De même, \(-25\pi/3+8\pi=-\pi/3\). Les nombres \(-\pi\) et \(\pi\) donnent le même point, mais restent deux réels distincts dans un ensemble de solutions.

Propriété — Identité fondamentale et encadrements

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle \boxed{\cos^2x+\sin^2x=1},\)\(\displaystyle -1\leq\cos x\leq1,\)\(\displaystyle -1\leq\sin x\leq1.\) La notation \(\sin^2x\) désigne \((\sin x)^2\), et non \(\sin(x^2)\).

Démonstration.

Le point \(M(x)\) appartient au cercle unité, d’équation \(u^2+v^2=1\). On remplace \(u\) par \(\cos x\) et \(v\) par \(\sin x\). Les carrés sont positifs ou nuls ; chacun est donc inférieur ou égal à \(1\), ce qui donne les deux encadrements.

Exemple 2 — Retrouver une coordonnée sans perdre son signe

On sait que \(\cos x=3/5\) et \(-\pi/2<x<0\). Alors \[\sin^2x=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.\] Dans ce quadrant, le sinus est négatif. Par conséquent, \(\boxed{\sin x=-4/5}\). L’équation \(s^2=16/25\) autorise deux signes ; le domaine permet de choisir.

Définition — Fonction paire ou impaire

Soit \(f\) définie sur un ensemble \(D\) symétrique par rapport à \(0\) : si \(x\in D\), alors \(-x\in D\).

• \(f\) est paire si, pour tout \(x\in D\), \(f(-x)=f(x)\). Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• \(f\) est impaire si, pour tout \(x\in D\), \(f(-x)=-f(x)\). Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Propriété — Parité du cosinus et du sinus

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle \boxed{\cos(-x)=\cos x},\)\(\displaystyle \boxed{\sin(-x)=-\sin x}.\) Le cosinus est pair ; le sinus est impair.

Démonstration.

Les points d’angles \(x\) et \(-x\) sont symétriques par rapport à l’axe horizontal du cercle. Ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées.

Exemple 3 — Déterminer une parité

La fonction \(f(x)=x\sin x\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et \[f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x).\] Elle est donc paire. Une vérification sur quelques valeurs ne suffirait pas : l’égalité doit valoir pour tout réel \(x\).

Définition — Période

Un réel \(T>0\) est une période d’une fonction \(f\) de domaine \(D\) si \(D\) est stable par les translations de \(T\) et de \(-T\), et si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x\in D\). La courbe se reproduit par translation de vecteur \((T;0)\).

Propriété — Périodicité des deux fonctions

Pour tous \(x\in\mathbb{R}\) et \(k\in\mathbb{Z}\), \(\displaystyle \boxed{\cos(x+2k\pi)=\cos x},\)\(\displaystyle \boxed{\sin(x+2k\pi)=\sin x}.\) Les deux fonctions sont donc \(2\pi\)-périodiques.

Démonstration.

Les mesures \(x\) et \(x+2k\pi\) donnent le même point du cercle et donc les mêmes coordonnées.

Exemple 4 — Vérifier une période d’une composée

Pour \(g(x)=\sin(2x)\), \[g(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin(2x)=g(x).\] Le nombre \(\pi\) est donc une période. Il faut vérifier l’égalité sur l’expression complète : la seule présence d’un sinus ne suffit pas. Ainsi \(x\sin x\) n’a pas la période \(2\pi\), puisque ses valeurs en \(\pi/2\) et \(5\pi/2\) valent respectivement \(\pi/2\) et \(5\pi/2\).

Propriété — Angles associés

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[\begin{array}{ll} \cos(\pi-x)=-\cos x,& \sin(\pi-x)=\sin x,\\[1.5mm] \cos(\pi+x)=-\cos x,& \sin(\pi+x)=-\sin x,\\[1.5mm] \cos\left(\dfrac\pi2-x\right)=\sin x,& \sin\left(\dfrac\pi2-x\right)=\cos x,\\[1.5mm] \cos\left(\dfrac\pi2+x\right)=-\sin x,& \sin\left(\dfrac\pi2+x\right)=\cos x. \end{array}\]

Démonstration.

La symétrie par rapport à l’axe vertical transforme \((u;v)\) en \((-u;v)\) ; le demi-tour le transforme en \((-u;-v)\). La symétrie par rapport à la droite \(v=u\) échange les coordonnées. Enfin, le quart de tour direct transforme \((u;v)\) en \((-v;u)\). En prenant \((u;v)=(\cos x;\sin x)\), on obtient les quatre lignes.

Exemple 5 — Calculer une valeur exacte par symétrie

Comme \(5\pi/6=\pi-\pi/6\), \(\displaystyle \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\)\(\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6}=\frac12.\) Le point est dans le deuxième quadrant : l’abscisse est négative et l’ordonnée positive, ce qui contrôle les signes.

Corollaire — Zéros

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[\sin x=0\ \Longleftrightarrow\ x=k\pi\text{ pour un }k\in\mathbb{Z},\] \[\cos x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\frac\pi2+k\pi\text{ pour un }k\in\mathbb{Z}.\]

Théorème — Dérivées du sinus et du cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\), \(\displaystyle \boxed{(\sin)'(x)=\cos x},\)\(\displaystyle \boxed{(\cos)'(x)=-\sin x}.\) Elles sont donc également continues sur \(\mathbb{R}\).

Statut des justifications. La dérivabilité du sinus et la première formule sont admises ici. La formule du cosinus est démontrée ci-dessous. Les règles usuelles de dérivation sont des résultats antérieurs.

Démonstration.

L’identité des angles associés donne \(\cos x=\sin(x+\pi/2)\). La fonction intérieure \(u(x)=x+\pi/2\) a pour dérivée \(1\). La règle de la chaîne et le résultat admis pour le sinus donnent \[(\cos)'(x)=\cos\left(x+\frac\pi2\right)\times1=-\sin x.\] Enfin, toute fonction dérivable est continue, d’où la continuité annoncée.

Corollaire — Dériver une composée

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\), alors, sur \(I\), \(\displaystyle \boxed{(\sin u)'=u'\cos u},\)\(\displaystyle \boxed{(\cos u)'=-u'\sin u}.\) En particulier, pour \(a,b\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle (\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b),\)\(\displaystyle (\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b).\)

Démonstration.

On applique \((F\circ u)'=(F'\circ u)\,u'\) avec \(F=\sin\) ou \(F=\cos\). Ces deux fonctions extérieures sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Pour l’argument affine \(u(x)=ax+b\), on a \(u'=a\). Si \(a=0\), la composée est constante et la formule donne bien \(0\).

Méthode — Reconnaître la structure avant de calculer

Préciser le domaine, puis identifier l’opération extérieure. Pour une composée, écrire l’argument \(u\), sa dérivée \(u'\), puis \(F'(u)\,u'\). Pour le produit ou le quotient de deux fonctions \(u\) et \(v\) dérivables sur l’intervalle étudié, utiliser \((uv)'=u'v+uv'\) ; pour le quotient, vérifier en plus que \(v\) ne s’annule pas sur cet intervalle avant d’utiliser \[\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.\] On simplifie seulement après avoir appliqué la bonne règle.

Exemple 6 — Suivre le signe et la dérivée de l’argument

Pour \(f(x)=\cos(-50x+70)\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), \[f'(x)=[-\sin(-50x+70)]\times(-50) =50\sin(-50x+70).\] Pour \(g(x)=\sin(3x^2-1)\), également dérivable sur \(\mathbb{R}\), \[g'(x)=\cos(3x^2-1)\times6x=6x\cos(3x^2-1).\] L’argument reste à sa place ; sa dérivée est un facteur supplémentaire.

Exemple 7 — Distinguer un carré, une composée et un produit

Les trois fonctions suivantes sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) : \[\begin{aligned} f(x)=\sin^2x&\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2\sin x\cos x,\\ g(x)=\sin(x^2)&\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=2x\cos(x^2),\\ p(x)=x\sin x&\quad\Longrightarrow\quad p'(x)=\sin x+x\cos x. \end{aligned}\] Dans la première ligne, on dérive le carré de \(\sin x\) ; dans la deuxième, le sinus de \(x^2\) ; dans la troisième, un produit de deux fonctions.

Exemple 8 — Une valeur interdite reste interdite

La fonction \(G(x)=\sin(1/x)\) est définie pour \(x\ne0\). Sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\), \[G'(x)=-\frac1{x^2}\cos\left(\frac1x\right).\] Cette formule ne définit pas une dérivée en \(0\) : la fonction elle-même n’y est pas définie.

Proposition — Deux limites issues de la dérivabilité

Les arguments étant en radians, \(\displaystyle \boxed{\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1},\)\(\displaystyle \boxed{\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0}.\)

Démonstration.

Puisque \(\sin0=0\) et \(\cos0=1\), les quotients sont les taux d’accroissement respectifs du sinus et du cosinus en \(0\). Leurs limites valent donc \(\sin'(0)=\cos0=1\) et \(\cos'(0)=-\sin0=0\).

Exemple 9 — Faire apparaître le quotient de référence

Pour \(x\ne0\), \[\frac{\sin(3x)}{2x}=\frac32\,\frac{\sin(3x)}{3x}.\] Quand \(x\to0\), \(3x\to0\) ; la limite vaut donc \(3/2\). On ne remplace pas \(\sin(3x)\) par \(3x\) dans une égalité.

Théorème rappelé — Signe de la dérivée et variations

Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et dérivable à l’intérieur de \(I\). Si \(f'\geq0\) à l’intérieur, \(f\) est croissante sur \(I\) ; si \(f'\leq0\), elle est décroissante. Un signe strict à l’intérieur donne une variation stricte.

Propriété — Variations du cosinus

Le cosinus est strictement croissant sur \([-\pi;0]\) et strictement décroissant sur \([0;\pi]\).

Démonstration.

Sur les intérieurs respectifs, \(-\sin x\) est strictement positif puis strictement négatif. Le théorème précédent donne les variations, bornes comprises grâce à la continuité.

Propriété — Variations du sinus

Le sinus est strictement décroissant sur \([-\pi;-\pi/2]\), strictement croissant sur \([-\pi/2;\pi/2]\), puis strictement décroissant sur \([\pi/2;\pi]\).

Démonstration.

On applique le théorème de monotonie aux trois signes stricts de \(g'=\cos\). Les valeurs aux bornes sont \(0,-1,1,0\), dans l’ordre du tableau.

Exemple 10 — Comparer deux images avec les variations

Comme \(0<\pi/5<\pi/3<\pi\) et que le cosinus décroît sur \([0;\pi]\), \[\cos\frac\pi5>\cos\frac\pi3=\frac12.\] Pour le sinus, la même justification ne vaut pas sur tout \([0;\pi]\) : son sens de variation change en \(\pi/2\).

Définition — Maximum et minimum

Sur un ensemble \(I\), \(f\) a un maximum en \(a\in I\) si \(f(x)\leq f(a)\) pour tout \(x\in I\). Pour un minimum, on remplace \(\leq\) par \(\geq\). La valeur de l’extremum est \(f(a)\) ; son abscisse est \(a\).

Corollaire — Extrema sur \(\mathbb{R}\)

Les deux fonctions ont pour valeur maximale \(1\) et pour valeur minimale \(-1\). Les abscisses correspondantes sont exactement : \[\begin{array}{c|cc} & \text{maximum }1 & \text{minimum }-1\\ \hline \cos & 2k\pi & \pi+2k\pi\\[1.5mm] \sin & \dfrac\pi2+2k\pi & -\dfrac\pi2+2k\pi \end{array} \qquad(k\in\mathbb{Z}).\]

Démonstration.

Les encadrements par \(-1\) et \(1\) sont établis. Sur le cercle, les coordonnées égales à \(1\) ou \(-1\) correspondent aux quatre points des axes. Leurs angles et les tours entiers donnent exactement les abscisses du tableau.

Exemple 11 — Tangente au cosinus en \(\pi/3\)

Pour \(f(x)=\cos x\), on a \(f(\pi/3)=1/2\) et \(f'(\pi/3)=-\sqrt3/2\). La tangente est donc \[\boxed{y=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac\pi3\right)}.\] Elle passe bien par \((\pi/3;1/2)\) et sa pente est négative, en accord avec la décroissance locale du cosinus.

Proposition — Pas de limite à l’infini

Le sinus et le cosinus n’ont de limite ni en \(+\infty\), ni en \(-\infty\).

Démonstration.

Pour le cosinus, les arguments \(2n\pi\) donnent toujours \(1\) et les arguments \(\pi+2n\pi\) donnent toujours \(-1\) quand \(n\to+\infty\). Une limite finie devrait être la même le long des deux suites : c’est impossible. Pour le sinus, on utilise \(\pi/2+2n\pi\) et \(-\pi/2+2n\pi\). Les encadrements par \(-1\) et \(1\) excluent une limite infinie. En remplaçant \(2n\pi\) par \(-2n\pi\), le raisonnement traite \(-\infty\).

Définition — Résoudre sur un ensemble

Résoudre une équation sur \(I\), c’est trouver tous les réels \(x\in I\) qui la vérifient. Leur ensemble est noté \(S\). Une solution de l’égalité qui est hors de \(I\) ne répond pas à la question.

Proposition — Égalité de deux cosinus ou de deux sinus

Pour tous réels \(x\) et \(\alpha\), \[\boxed{\cos x=\cos\alpha \ \Longleftrightarrow\ x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},}\] \[\boxed{\sin x=\sin\alpha \ \Longleftrightarrow\ x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.}\] On prend la réunion des deux familles. Les entiers de l’une et de l’autre sont indépendants ; ils pourraient être notés \(k\) et \(m\).

Démonstration.

Une abscisse fixée donne deux points du cercle symétriques par rapport à l’axe horizontal : leurs angles sont \(\alpha\) et \(-\alpha\). Une ordonnée fixée donne deux points symétriques par rapport à l’axe vertical : leurs angles sont \(\alpha\) et \(\pi-\alpha\). Ces points peuvent se confondre aux valeurs extrêmes. Tous les angles d’un même point diffèrent d’un multiple entier de \(2\pi\) : on obtient les familles annoncées. Réciproquement, les symétries et la périodicité montrent que chaque famille redonne bien la valeur initiale. Les deux sens sont établis.

Propriété — Choisir l’angle de référence

Si \(c\notin[-1;1]\), \(\cos x=c\) et \(\sin x=c\) n’ont aucune solution. Si \(c\in[-1;1]\), il existe un unique angle de référence :

• \(\alpha\in[0;\pi]\) tel que \(\cos\alpha=c\) ;

• \(\beta\in[-\pi/2;\pi/2]\) tel que \(\sin\beta=c\).

Démonstration.

Sur chacun de ces intervalles, la fonction est continue, strictement monotone et prend les valeurs \(-1\) et \(1\) aux extrémités. Le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu’une fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs comprises entre celles de deux de ses points. Il assure donc l’existence ; la stricte monotonie assure l’unicité.

Méthode — Du niveau à toutes les solutions

1. Écrire le domaine demandé et vérifier que le niveau est admissible.

2. Trouver un angle de référence, exact si possible.

3. Écrire les deux familles de solutions.

4. Pour chaque famille, déterminer les entiers qui placent \(x\) dans le domaine ; réunir, ordonner et vérifier les extrémités.

Une substitution contrôle les valeurs trouvées. L’exhaustivité vient des deux familles et de leur filtrage complet.

Exemple 12 — Résoudre \(\cos x=1/2\) sur \([-\pi;\pi]\)

Comme \(\cos(\pi/3)=1/2\), les familles sont \(x=\pi/3+2k\pi\) et \(x=-\pi/3+2k\pi\). Dans la première, \[-\pi\leq\frac\pi3+2k\pi\leq\pi \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac23\leq k\leq\frac13,\] donc \(k=0\). Dans la seconde, le filtre donne \(-1/3\leq k\leq2/3\), donc encore \(k=0\). Ainsi \(\boxed{S=\{-\pi/3;\pi/3\}}\).

Exemple 13 — Un sinus négatif

Résolvons \(\sin x=-1/2\) sur \([-\pi;\pi]\). Avec \(\alpha=-\pi/6\), les familles sont \(x=-\pi/6+2k\pi\) et \(x=7\pi/6+2k\pi\). \[\begin{array}{c|c|c} \text{famille} & \text{condition sur }k & \text{solution retenue}\\ \hline -\pi/6+2k\pi & -5/12\leq k\leq7/12 & -\pi/6\\[1mm] 7\pi/6+2k\pi & -13/12\leq k\leq-1/12 & -5\pi/6 \end{array}\] La première retient \(k=0\), la seconde \(k=-1\). Donc \(\boxed{S=\{-5\pi/6;-\pi/6\}}\). Rejeter \(7\pi/6\) ne permettait pas de rejeter toute sa famille.

Corollaire — Les niveaux \(-1\), \(0\) et \(1\)

Dans chaque ligne ci-dessous, \(k\) décrit \(\mathbb{Z}\) : \[\begin{array}{c|c@{\qquad}c|c} \cos x=1 & x=2k\pi & \sin x=1 & x=\pi/2+2k\pi\\ \cos x=-1 & x=\pi+2k\pi & \sin x=-1 & x=-\pi/2+2k\pi\\ \cos x=0 & x=\pi/2+k\pi & \sin x=0 & x=k\pi \end{array}\]

Exemple 14 — Deux bornes qui donnent le même point du cercle

Sur \([-\pi;\pi]\), \(\cos x=-1\) donne \(S=\{-\pi;\pi\}\). Sur \([-\pi;\pi[\), seule la première borne est autorisée : \(S=\{-\pi\}\). On ne confond pas un point du cercle avec un nombre réel.

Méthode — Résoudre \(\sin(ax+b)=c\) ou \(\cos(ax+b)=c\)

Si \(a=0\), l’égalité est constante : tous les réels du domaine conviennent, ou aucun. Si \(a\ne0\), poser \(t=ax+b\), déterminer l’intervalle parcouru par \(t\), résoudre en \(t\), puis revenir à \(x=(t-b)/a\). Lorsque \(a<0\), l’ordre des bornes de l’intervalle est inversé.

Exemple 15 — Un argument décroissant

Résoudre \(\sin(-2x+\pi/3)=1/2\) sur \([0;\pi]\). L’angle \(t=-2x+\pi/3\) parcourt \([-5\pi/3;\pi/3]\). Les solutions de \(\sin t=1/2\) sont \(t=\pi/6+2k\pi\) ou \(t=5\pi/6+2k\pi\). Le filtrage donne respectivement \(\displaystyle -\frac{11}{12}\leq k\leq\frac1{12}\quad(k=0),\)\(\displaystyle -\frac54\leq k\leq-\frac14\quad(k=-1).\) Ainsi \(t=\pi/6\) ou \(t=-7\pi/6\). Le retour à l’inconnue donne \(\displaystyle -2x+\frac\pi3=\frac\pi6\ \Longrightarrow\ x=\frac\pi{12},\)\(\displaystyle -2x+\frac\pi3=-\frac{7\pi}6\ \Longrightarrow\ x=\frac{3\pi}4.\) Donc \(\boxed{S=\{\pi/12;3\pi/4\}}\). Les deux nombres appartiennent au domaine initial.

Exemple 16 — Une division qui ferait disparaître des solutions

Résoudre \(\sin x\cos x=\sin x\) sur \([-\pi;\pi]\). On regroupe tout dans un membre : \[\sin x(\cos x-1)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x=0\ \text{ou}\ \cos x=1.\] La première équation donne \(-\pi,0,\pi\) ; la seconde donne \(0\). Ainsi \(\boxed{S=\{-\pi;0;\pi\}}\). Diviser directement par \(\sin x\) aurait perdu les solutions pour lesquelles ce facteur s’annule.

Méthode — Lire un arc, puis écrire un ensemble de réels

1. Fixer le domaine et examiner le niveau par rapport à \(-1\) et \(1\).

2. Résoudre l’égalité pour trouver les angles frontières.

3. Lire les positions autorisées : à gauche/droite pour le cosinus, en dessous/au-dessus pour le sinus.

4. Traduire les arcs en intervalles, en tenant compte de leur ouverture et des bornes du domaine. Répéter par périodes si nécessaire.

On peut aussi utiliser les variations sur les intervalles où la fonction est monotone. Une inéquation n’a généralement pas un ensemble fini de solutions.

Proposition — \(\cos x\leq c\) sur \([-\pi;\pi]\)

Si \(-1<c<1\), soit \(\alpha\in]0;\pi[\) tel que \(\cos\alpha=c\). Alors \[\boxed{S=[-\pi;-\alpha]\ \cup\ [\alpha;\pi].}\] Les autres niveaux se traitent séparément : \[\begin{array}{c|ccc} c & c<-1 & c=-1 & c\geq1\\ \hline S & \varnothing & \{-\pi;\pi\} & [-\pi;\pi] \end{array}\]

Démonstration.

Sur \([0;\pi]\), le cosinus décroît strictement : \(\cos x\leq\cos\alpha\) équivaut à \(x\geq\alpha\). La parité fournit l’intervalle symétrique \([-\pi;-\alpha]\). Les cas restants résultent de l’encadrement \(-1\leq\cos x\leq1\) et des abscisses où le minimum est atteint.

Exemple 17 — Inégalité large, puis inégalité stricte

Sur \([-\pi;\pi]\), l’égalité \(\cos x=1/2\) donne les frontières \(-\pi/3\) et \(\pi/3\). Donc \[\cos x\leq\frac12 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in[-\pi;-\pi/3]\cup[\pi/3;\pi].\] Pour \(\cos x<1/2\), on enlève seulement les points où l’égalité a lieu : \[\boxed{S=[-\pi;-\pi/3[\ \cup\ ]\pi/3;\pi].}\] Les bornes \(-\pi\) et \(\pi\) restent incluses, car leur cosinus vaut \(-1<1/2\).

Exemple 18 — Un sinus au-dessus d’un niveau négatif

Résoudre \(\sin x\geq-1/2\) sur \([-\pi;\pi]\). Les angles d’égalité sont \(-5\pi/6\) et \(-\pi/6\). Entre ces deux angles, le point est dans la partie basse du cercle et \(\sin x<-1/2\) ; ailleurs, l’inégalité est satisfaite. Ainsi \[\boxed{S=[-\pi;-5\pi/6]\ \cup\ [-\pi/6;\pi].}\] Les points d’égalité sont inclus, ainsi que les bornes du domaine, où le sinus vaut \(0\). Le test \(x=-\pi/2\) confirme que l’intervalle du milieu doit être écarté.

Méthode — Passer de \(x\) à l’angle puis revenir

Pour \(\cos(ax+b)\geq c\) ou une autre inégalité analogue, traiter d’abord \(a=0\) si nécessaire. Pour \(a\ne0\), poser \(t=ax+b\) et déterminer exactement l’intervalle parcouru par \(t\). Résoudre l’inéquation dans cet intervalle, puis revenir à \(x\) sur chaque morceau. Diviser une inégalité par un nombre négatif inverse son sens.

Exemple 19 — Conserver un point isolé à la borne

Résoudre \(\cos(-2x+\pi/3)\geq1/2\) sur \([0;\pi]\). L’angle \(t=-2x+\pi/3\) parcourt \(J=[-5\pi/3;\pi/3]\). Sur \(\mathbb{R}\), les angles de cosinus au moins égal à \(1/2\) sont \(\displaystyle t\in[-\pi/3+2k\pi;\pi/3+2k\pi],\)\(\displaystyle k\in\mathbb{Z}.\) On coupe ces intervalles avec \(J\). Pour \(k=0\), il reste \([-\pi/3;\pi/3]\) ; pour \(k=-1\), il reste seulement \(\{-5\pi/3\}\). Les autres périodes ne rencontrent pas \(J\).

Le retour au premier morceau donne \[-\frac\pi3\leq-2x+\frac\pi3\leq\frac\pi3 \ \Longleftrightarrow\ -\frac{2\pi}3\leq-2x\leq0 \ \Longleftrightarrow\ 0\leq x\leq\frac\pi3.\] Le point isolé \(t=-5\pi/3\) donne \(x=\pi\). Finalement, \[\boxed{S=[0;\pi/3]\ \cup\ \{\pi\}.}\] Le contrôle en \(x=\pi\) redonne \(\cos(-5\pi/3)=1/2\) : ce point ne doit pas disparaître.

Méthode — Étudier une fonction trigonométrique simple

Déterminer le domaine ; vérifier les symétries et une éventuelle période ; calculer la dérivée ; en étudier le signe sur l’intervalle demandé ; calculer les valeurs utiles ; dresser le tableau de variations et conclure. Pour une composée, suivre aussi l’intervalle parcouru par son argument.

Exemple 20 — Étudier \(q(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\) sur \([-\pi;\pi]\)

Domaine et symétries. Comme \(-1\leq\cos x\leq1\), on a \(2+\cos x\geq1>0\). La fonction \(q\) est donc définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(\displaystyle q(-x)=\frac{-\sin x}{2+\cos x}=-q(x),\)\(\displaystyle q(x+2\pi)=q(x).\) Elle est impaire et \(2\pi\)-périodique.

Dérivée. La règle du quotient, puis l’identité fondamentale, donnent \[\begin{aligned} q'(x) &=\frac{\cos x(2+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}\\ &=\frac{2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(2+\cos x)^2} =\frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}. \end{aligned}\] Le carré du dénominateur est strictement positif. Ainsi \(q'\) a le signe de \(2\cos x+1\).

Signes et valeurs. Sur \([-\pi;\pi]\), \(q'\) s’annule en \(-2\pi/3\) et \(2\pi/3\). Elle est positive entre ces deux points et négative à l’extérieur. On calcule \(\displaystyle q(0)=q(-\pi)=q(\pi)=0,\)\(\displaystyle q\left(\frac{2\pi}3\right) =\frac{\sqrt3/2}{3/2}=\frac{\sqrt3}3,\) puis \(q(-2\pi/3)=-\sqrt3/3\) par imparité.

Conclusion. Sur \([-\pi;\pi]\), le minimum vaut \(-\sqrt3/3\), atteint en \(-2\pi/3\), et le maximum vaut \(\sqrt3/3\), atteint en \(2\pi/3\). Les variations sont strictes sur les trois intervalles délimités par ces deux points.

Méthode — Modéliser avant de dériver

Nommer une variable, justifier son domaine, exprimer les dimensions puis la grandeur à optimiser. Étudier les variations ou chercher un majorant. Vérifier que la meilleure valeur est atteinte dans une configuration autorisée, puis donner les dimensions et les unités.

Exemple 21 — Maximiser l’aire d’un rectangle sous un demi-cercle

Une arche est représentée par un demi-cercle de rayon \(3\) mètres. Un rectangle non aplati a sa base sur le diamètre et ses deux sommets supérieurs sur le demi-cercle. On cherche son aire maximale.

Variable et domaine. Soit \(\theta\) l’angle entre le demi-diamètre droit et le rayon \(OM\). Les configurations non aplaties correspondent exactement à \(0<\theta<\pi/2\). Le sommet \(M\) a pour coordonnées \((3\cos\theta;3\sin\theta)\). La largeur est \(6\cos\theta\) et la hauteur \(3\sin\theta\). Chaque hauteur entre \(0\) et \(3\) donne deux abscisses opposées : ce paramétrage décrit bien tous les rectangles de la famille.

Aire et dérivée. L’aire, en mètres carrés, vaut \[A(\theta)=18\sin\theta\cos\theta.\] Sur \(]0;\pi/2[\), la règle du produit donne \[\begin{aligned} A'(\theta) &=18(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\ &=18(\cos\theta-\sin\theta)(\cos\theta+\sin\theta). \end{aligned}\] Le second facteur est strictement positif. Sur \(]0;\pi/2[\), le cosinus décroît et le sinus croît ; ils sont égaux à \(\sqrt2/2\) en \(\pi/4\). Ainsi \(\cos\theta-\sin\theta\) est positif avant \(\pi/4\), nul en \(\pi/4\) et négatif après.

Conclusion géométrique. L’aire maximale vaut \(A(\pi/4)=9\ \mathrm{m}^2\). Elle est atteinte uniquement pour \[\boxed{\text{largeur}=3\sqrt2\ \mathrm m,\qquad \text{hauteur}=\frac{3\sqrt2}{2}\ \mathrm m.}\] Le rectangle optimal n’est pas un carré : la largeur est le double de la hauteur.

Contrôle indépendant. L’identité fondamentale donne \[9-A(\theta) =9(\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta) =9(\cos\theta-\sin\theta)^2\geq0.\] Donc \(A\leq9\), avec égalité pour \(\theta=\pi/4\). Le produit des dimensions trouvées vaut bien \(9\ \mathrm{m}^2\).