Fonctions cosinus et sinus — Fiche de cours

Pour tout réel \(x\) :

\[-1\le\cos x\le1,\qquad -1\le\sin x\le1,\qquad \cos^2 x+\sin^2 x=1\]

Parité. Le cosinus est pair et le sinus est impair :

\[\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x\]

Périodicité. Les deux fonctions se répètent après un tour complet :

\[\cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x\]

Angles associés.

\[\cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi-x)=\sin x\]

\[\cos(x+\pi)=-\cos x,\quad \sin(x+\pi)=-\sin x\]

Méthode. Réduire l’angle modulo \(2\pi\), repérer le quadrant, puis lire la valeur et son signe. Par exemple, \(\sin(5\pi/6)=\sin(\pi-\pi/6)=1/2\).

Sur une période, \(\sin x\) est positif dans la moitié supérieure du cercle et négatif dans la moitié inférieure :

\[\sin x\ge0\text{ sur }[0;\pi],\qquad \sin x\le0\text{ sur }[\pi;2\pi]\]

Pour le cosinus, le signe est positif près de l’axe horizontal positif et négatif sur la moitié gauche :

\[\cos x\ge0\text{ sur }[0;\pi/2]\cup[3\pi/2;2\pi]\]

\[\cos x\le0\text{ sur }[\pi/2;3\pi/2]\]

Premier geste. Placer les zéros :

\[\sin x=0\iff x=k\pi,\qquad \cos x=0\iff x=\pi/2+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Les intervalles s’étendent ensuite par périodicité de période \(2\pi\).

Dérivées.

\[(\sin x)\prime=\cos x,\qquad (\cos x)\prime=-\sin x\]

Règle de la chaîne. Pour toute fonction dérivable \(u\) :

\[(\sin u)\prime=u\prime\cos u,\qquad (\cos u)\prime=-u\prime\sin u\]

Exemples. Si \(f(x)=\cos(3x-1)\), alors :

\[f\prime(x)=-3\sin(3x-1)\]

Si \(g(x)=\sin(x^2)\), alors :

\[g\prime(x)=2x\cos(x^2)\]

Étudier une fonction. Déterminer le domaine, calculer la dérivée, étudier le signe de \(f\prime\), dresser les variations et les extrema, puis conclure dans le contexte.

Exemple. Pour \(h(x)=2\sin x+1\) sur \([-\pi/2;\pi/2]\), \(h\prime(x)=2\cos x\ge0\) : \(h\) croît de \(-1\) à \(3\).

Tangente au point d’abscisse \(a\) :

\[y=f(a)+f\prime(a)(x-a)\]

Pour tous réels \(a\) et \(b\), les formules d’addition permettent de transformer une expression :

\[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\]

\[\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\]

Angles doubles.

\[\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x\]

\[\sin(2x)=2\sin x\cos x\]

Premier geste. Pour \(\sin x\cos x\), penser à \(\tfrac12\sin(2x)\) ; pour \(\sin^2x\), utiliser \(1-\cos^2x\).

Piège. En général, \(\sin(a+b)\ne\sin a+\sin b\).

Résoudre \(\cos u=a\). Vérifier d’abord que \(a\in[-1;1]\). Si \(\alpha\in[0;\pi]\) et \(a=\cos\alpha\), alors :

\[\cos u=a\iff u=2k\pi\pm\alpha,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Résoudre \(\sin u=a\). Si \(\beta\in[-\pi/2;\pi/2]\) et \(a=\sin\beta\), alors :

\[\sin u=a\iff u=\beta+2k\pi\quad\text{ou}\quad u=\pi-\beta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Exemple. Résoudre \(\cos(2x)=1/2\) sur \([0;\pi]\) : \(2x=2k\pi\pm\pi/3\), donc \(x=k\pi\pm\pi/6\). Après filtrage, \(x=\pi/6\) ou \(x=5\pi/6\).

Piège. Conserver le terme \(2k\pi\) jusqu’au filtrage dans l’intervalle demandé.

Méthode. Ramener l’inéquation à une forme en \(\sin u\) ou \(\cos u\), repérer les arcs sur le cercle, traduire en intervalles, répéter par période \(2\pi\), puis intersecter avec le domaine.

Pour \(\alpha\in[0;\pi]\), \(a=\cos\alpha\) et \(x\in[-\pi;\pi]\) :

\[\cos x\ge a\iff x\in[-\alpha;\alpha]\]

\[\cos x\le a\iff x\in[-\pi;-\alpha]\cup[\alpha;\pi]\]

Exemple. Sur \([0;2\pi]\) :

\[\sin x\ge\sqrt{2}/2\iff x\in[\pi/4;3\pi/4]\]

Attention. Un signe large \(\le\) ou \(\ge\) inclut les angles d’égalité ; un signe strict les exclut.