Troisième générale · Arithmétique · Objectif 2 · Fiche de cours

Multiples, diviseurs et nombres premiers

La relation fondamentale. \(\boxed{a=b\times k}\), avec \(a,k\) entiers relatifs et \(b\) entier non nul. \(a=b\times k\) signifie : \(b\) divise \(a\) ; \(a\) est multiple de \(b\) ou « divisible par \(b\) ». \(42=6\times7\) : \(6\) et \(7\) sont des diviseurs de \(42\).

Notations et propriétés

\(b\mid a\) se lit « \(b\) divise \(a\) ».

Pour \(a\geqslant1\), \(1\) et \(a\) sont toujours des diviseurs de \(a\) : \(a=1\times a\).

Si \(b\ne0\), ses multiples sont \(\ldots,-2b,-b,0,b,2b,\ldots\)

Méthode : lister tous les diviseurs

Chercher les produits par paires, sans recommencer une paire inversée.

\[\begin{aligned} 36&=1\times36=2\times18=3\times12\\[-2pt] &=4\times9=6\times6 \end{aligned}\]

\[\mathcal D(36)=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}.\]

Notation : \(\mathcal D(n)\) est l’ensemble des diviseurs positifs de \(n\).

Définition : nombre premier

Un entier naturel plus grand que 1 est premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et lui-même.

\(\boxed{1\text{ n'est pas premier}}\) ; \(\boxed{2\text{ est le seul premier pair}}\).

Repères : les nombres premiers jusqu'à 100

À connaître jusqu’à 30 :

\[\mathbf{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}.\]

De 31 à 100 :

\[31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,\]

\[73,79,83,89,97.\]

Critères de divisibilité

2	Chiffre des unités \(0,2,4,6\) ou \(8\).
3	Somme des chiffres divisible par \(3\).
4	Les 2 derniers chiffres forment un multiple de \(4\).
5	Chiffre des unités \(0\) ou \(5\).
9	Somme des chiffres divisible par \(9\).
10	Chiffre des unités égal à \(0\).

Ex. : \(756\) est divisible par \(3\) et \(9\) car \(7+5+6=18\).

Division euclidienne : reste nul ?

Si \(a\geqslant0\) et \(b>0\), on écrit, de manière unique :

\[\boxed{a=bq+r\qquad 0\leqslant r<b}\]

\(q\) est le quotient, \(r\) le reste.

\[\boxed{b\mid a\ \Longleftrightarrow\ r=0}.\]

Ex. : \(86=7\times12+2\), donc \(7\) ne divise pas \(86\).

Crible : repérer les premiers ≤ 30

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

Vert : premiers ; les autres entiers \(>1\) sont composés.

Méthode : tester si un nombre est premier

Pour \(n>1\), essayer les nombres premiers \(p\) tels que \(p^2\leqslant n\). Si aucun ne divise \(n\), alors \(n\) est premier.

Ex. : \(97\) n’est divisible ni par \(2,3,5,7\). Comme \(11^2>97\), \(97\) est premier.

Diviseurs communs : partager sans reste

Un diviseur commun divise chacun des nombres.

\[\mathcal D(18)=\{1;2;3;6;9;18\}.\]

\[\mathcal D(24)=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}.\]

\[\boxed{\mathcal D(18)\cap\mathcal D(24)=\{1;2;3;6\}}.\]

Le plus grand diviseur commun vaut \(6\).

Usage : former des lots identiques sans reste.

Multiples communs : synchroniser

Un multiple commun est multiple de chaque nombre.

\[18,36,54,\boxed{72},90,108,126,144,\ldots\]

\[24,48,\boxed{72},96,120,144,\ldots\]

Premier multiple commun non nul : \(72\).

On cherche le premier rendez-vous de deux rythmes.

Voir le rendez-vous des deux rythmes

Le premier rendez-vous non nul des deux rythmes est 72.

Ex. engrenages : \(18\) et \(24\) dents ; après \(72\) dents, ils ont fait \(4\) et \(3\) tours complets.

SOS : ne pas inverser

\(3\) divise \(12\), mais \(12\) ne divise pas \(3\).

\(0\) est multiple de tout entier non nul ; \(0\) n’est pas un diviseur.

Test flash

TEST FLASH — Trois vérifications rapides. 1. \(157\) est-il divisible par \(3\) ? 2. \(97\) est-il premier ? 3. Premier multiple commun non nul de \(6\) et \(8\) ? Vérification : Non (somme \(=13\)) ; oui ; \(24\).

Arithmétique — Multiples, diviseurs et nombres premiers — Fiche de cours